AVANT-PROPOS

L'objet principal de ce travail est la résolution du problème d’inversion de la théorie de la distribution des valeurs dans le domaine rationnel. Le moyen utilisé est constitué par les surfaces que Ullrich a proposées et appelées surfaces à un nombre fini de bouts périodiques. Mais outre cet intérêt central, l'étude des surfaces mentionnées nous révèle aussi des vues instructives concernant l'influence de la dyssymétrie dans la structure topologique des surfaces de Riemann sur l’ordre de croissance de la fonction uniformisante #— /(z), sur la distribution des racines de l'équation /(z)—4, et enfin sur le type de la

surface.

Dans le Chapitre [, nous rappellerons les principaux résultats de la théorie de la distribution des valeurs de M. Nevanlinna, afin de formuler le problème

d'inversion en question.

Dans le Chapitre II, nous expliquons la représentation par réseau des surfaces de Riemann à un nombre fini de points fondamentaux de ramifications, pour arriver à la définition des surfaces à bouts périodiques qui constituent le nœud de la solution du problème d'inversion posé.

Dans le Chapitre IL, sera exposé brièvement la théorie des transformations quasi conformes qui vont nous servir de moyen d'investigation pour étudier la fonction uniformisante des surfaces mentionnées.

ven

Le Chapitre IV montre comment obtenir une représentation « presque conforme » de ces surfaces sur le plan fini, c'est-à-dire une représentation quasi conforme qui, à certains points de vue, s'approche asymptotiquement de la représentation conforme dont l'existence est garantie par le théorème fondamental de Riemann. .

Dans le Chapitre V, nous déterminerons à l’aide de cette représentation « presque conforme », l’ordre de la croissance de la fonction uniformisante. Nous verrons que cet ordre, contrairement aux prévisions de M.:Ullrich, n’est rationnel que dans des cas exceptionnels et dépasse en général la valeur rationnelle prévue, égale à la moitié du nombre de bouts périodiques. Le rehaussement de l’ordre au-dessus de cette valeur minimale, dû à une structure en général dyssymétrique de la surface, n’est pas sans rapport avec le fait connu que la dyssymétrie favorise chez les surfaces de Riemann le type hyperbolique. Ici la conséquence de la dyssymétrie est la distribution en spirale des valeurs de la fonction uniformisante, ce qui explique pourquoi l’ordre de croissance

Pre a : M . . ñ ñ ‘ .

s'élève au-dessus de la valeur minimale = indiquée par le théorème de Denjoy-

Carlemann-Ahlfors pour les fonctions possédant (c’est le cas de l’uniformisante des surfaces en question) » points critiques logarithmiques.

Le Chapitre VI étudie la distribution des valeurs de la fonction uniformisante au point de vue des défauts et indices. Cette étude montre que la structure périodique des surfaces partielles impose plus de conditions que M. Üllrich ne l’a prévu et prépare la solution du problème d’inversion posé.

Dans le Chapitre VIT, nous abordons la solution du problème d’inversion, en indiquant comment il faut choisir les bouts périodiques pour les réunir en une surface W dont la fonction uniformisante possède les propriétés requises. Ce choix n’est pas unique et nous indiquons à la fin quels sont les bouts périodiques les plus simples qu’on pourrait prendre pour arriver au but.

Enfin, dans le dernier Chapitre VIII, nous donnons à l’aide des fonctions doublement périodiques, la solution du problème d’inversion dans le cas à, nuls, €, rationnels, cas non résoluble par les surfaces à bouts périodiques.

Les principaux résultats de ce travail ont été présentés au Congrès de l'A. F. A. S. à Genève et publiés dans les Commentarit Mathematict Helvetici, vol. 23, 1949.

Qu'il nous soit permis, en cet endroit, de remercier M. G. Valiron du bienveillant intérêt qu'il a toujours témoigné à nos études et recherches. Nous lui en gardons une bien vive gratitude.