PAR

La figure 3 représente le réseau de la surface engendrée par la fonction

û £ RE , =

doublement périodique de Weierstrass æ = p(z). La surface n’a que des points de ramilication algébrique d’ordre 1. Le réseau se compose de rectangles.

= X—— © ——x — 0— 20 —— x — 0 —xê 1 1 1 Fig. 3

Enfin la figure 4 représente l’arbre « modulaire », c’est-à-dire le réseau de la surface engendrée par la fonction modulaire : c’est la surface de recouvrement universel du plan trois fois pointé. Contrairement aux cas précédents, cette surface est du type hyperbolique.

Fa \ ea \ | / A nee DU

Fig: 4.

Une suite infinie de nœuds non ramiliés s'appelle d’après A. Speiser un bout logarithmique. Ainsi la surface æ— et se compose de deux bouts logarithmiques. En général si, abstraction faite d’un nombre fini de nœuds, le réseau se compose d’un nombre fini de tels bouts logarithmiques, la surface est dite à un nombre fini de bouts logarithmiques. La surface à un nombre fini de bouts périodiques sont les généralisations de celles-là. ;

7. Dans le cas d’une fonction rationnelle R(z3), le réseau est fermé. Ses . domaines élémentaires, ses nœuds et ses segments forment sur la sphère de Riemann les faces, les sommets et les côtés d’un polyèdre, auquel nous pouvons appliquer la formule d'Euler : K—S+E+2—0,oùK,SetE représentent respectivement le nombre des côtés, des faces et des sommets.

Soit 4 le nombre de points fondamentaux, » le degré de R(3), c’est-à-dire le nombre des racines de R(3)— « et n,(a) le nombre des racines multiples, une racine d'ordre # étant comptée # — 1 fois. Le nombre de domaines élémentaires sur 4, est alors » — »,(a,). Le nombre de sommets ou nœuds est 27, celui des côtés ou segments est rg (car de chaque nœud partent g segments et chaque

AE segment aboutit à deux nœuds). Finalement on a

q J DA ZE NE : 4 NE En, Ko, SEX — (a)]= ag —Ù nas).

Vi== 1 Du —=4 q q Mais la dernière somme DR (a,) est justement l’ordre total Dr des points de

ramification de la surface, de sorte que la formule d'Euler devient

q ; Dit 2 — 9 1.

Cest la formule de Riemann-Hurwitz que nous aurons plus tard l’occasion

d'employer.

S. Les surfaces W à un nombre fint de bouts périodiques. — Nous partons d'une fonction rationnelle R(4) et formons la fonction méromorphe périodique

we= Re),

L'inverse de cette fonction a deux points de ramification logarithmique (*) dont les traces sont œæ —R(o) et æ—R(x). Si nous coupons la surface engendrée ®,, le long d’une courbe qui joint ces deux points de ramification logarithmique, la surface se partagera en deux demi-surfaces ®’, que nous appelons, d’après E. Ullrich (°), bouts périodiques. Les bouts logarithmiques correspondent au cas particulier R(u)— u. «

Dérinirion. — Les surfaces W à un nombre fini de bouts périodiques sont celles qui, abstraction faite d'une partie compacte appelée noyau, sont formées d’un nombre fint de bouts périodiques.

En particulier les surfaces — R(e°) appartiennent à cette classe, de même que les surfaces à un nombre fini de bouts logarithmiques. La surface R(e‘) ne possède qu’un nombre fini de points fondamentaux : ce sont, en dehors des points R(o) et R(æ) qui peuvent coincider, les points fondamentaux de la surface algébrique # = R(3). Il en résulte que les surfaces W à un nombre fini de bouts logarithmiques n’ont aussi qu’un nombre fini de points fondamentaux et sont par suite susceptibles d’être représentées par un réseau. On peut alors les caractériser de la manière suivante (*) :

(5) On peut avoir R(o) = R(æ), les deux points de ramification logarithmique se projettent dans ce cas au même point fondamental.

(5) E. Ucrrica [1].

(7) E. Uccrica [1].

MST | Rs

Le réseau de W, abstraction faite d’un noyau formé d’un nombre fint de nœuds, doit présenter un nombre finit de domaines logarithmiques, séparés les uns des autres par un nombre égalde bouts périodiques de nature quelconque ( fig. 6,8 et 9).

D’après des critères de type connus (), ces surfaces sont paraboliques. Comme nous verrons plus tard, le noyau fini n’a aucune importance dans la distribution des valeurs de la fonction uniformisante, seuls les bouts périodiques comptent. Nous allons les étudier de près.

Chaque bout périodique est la moitié d’une surface D, : æ —R(e°), dont le réseau est périodique. Chaque réseau périodique se déduit du réseau de la fonction rationnelle R(u) de la manière suivante (7) :

Nous dessinons sur la sphère de Riemann le réseau de R(z) composé d'un nombre fini de nœuds. Si les points R(o) et R(æ) n'étaient pas déjà parmi les points fondamentaux de R(w), nous marquons encore par des « diangles » les points réguliers de la surface qui se projettent aux points R(o) et R(œæ) considérés comme points fondamentaux apparents.

Nous déformons alors topologiquement la sphère de Riemann en un cylindre, les points zéro et « (pôle nord et pôle sud) allant aux deux bouts. Si l’on roule

ce cylindre sur le plan des z, il imprimera sur ce plan le réseau périodique de R(e°).

De cette facon on obtient par exemple les réseaux de e° et de sinz à partir des réseaux de

N ROLE 7 et Ru) =} (ue — c CLEO)

9. Considérons maintenant une surface W avec » bouts périodiques. Nous désignons son réseau aussi par W. Entre deux bouts périodiques, nous avons un domaine logarithmique. Nous fixons autour du noyau un sens positif de rotation puis numérotons les bouts périodiques et les domaines logarithmiques de 1 à », de manière que le v°" domaine logarithmique soit séparé du (v+ 1 )ième par le v°" bout périodique ( fig. 6).

Les nœuds du y°* bout qui se trouvent au bord du v°" domaine logarithmique seront dits nœuds frontières positifs de ce bout. Les nœuds frontières