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3° Sommets apparents qui appartiennent à deux demi-feuillets seulement et sont par suite des points réguliers de la surface.

Pour représenter la surface W, on se donne un nombre (fini ou infini) de polygones curvilignes D# (v—1, 2; m1, 2, 3, ...) topologiquement équivalent à D, c’est-à-dire possédant le même nombre de sommets. On place ensuite ces polygones DŸ à l’intérieur d’un domaine plan simplement connexe, les uns à côté des autres, de manière à couvrir ce domaine une fois et sans lacune, et de manière que deux polygones DŸ, D® possèdent un côté (a;a;,,) en commun si et seulement si les demi-feuillets D, qui leur correspondent ont le côté image en commun. Nous obtenons de cette façon un carrelage poly gonal qui indique comment les demi-feuillets D, doivent être reliés entre eux pour reconstituer la surface.

Les sommets intérieurs du carrelage sont ou bien des sommets apparents appartenant à deux polygones D seulement, ou bien des sommets d'ordre m—1, communs à » polygones DŸ et à » polygone DF. Les sommets d'ordre infini sont les points frontières du carrelage. ;

Nous prenons maintenant dans chaque polygone du carrelage un point intérieur ou nœud et relions ce nœud avec ceux des polygones voisins par q segments Sis, Sogs -- Sa SANS points communs, de sorte que S,,.,, traverse le côté (a,a,.,) pour aboutir au point nodal du polygone voisin limité à ce côté. Ainsi deux nœuds peuvent être reliés par plusieurs segments (au plus 9 —1), c’est ce qui arrive si les polygones correspondants ont plusieurs côtés en commun. |

La figure obtenue, qui est la figure duale du carrelage, s'appelle le réseau ou l’arbre topologique de la surface.

Ce réseau partage le domaine plan en « domaines élémentaires » qui correspondent aux points de ramification (véritables ou apparents) de facon biunivoque : à un point de ramification d'ordre m— 1 (1<m.<) correspond un domaine élémentaire limité par 2m côtés. Pour m—1, on a un « diangle » :il correspond à un point régulier de la surface qui se projette en un point fondamental a,. Pour 1<°m<, on a un vrai polygone fermé, un domaine algébrique. Les polygones ouverts, limités par un nombre infini de segments du réseau, s'appellent domaines logarithmiques de la surface.

Chaque nœud du réseau représente un demi-feuillet D, ou D, de la surface, limité par la courbe fermée L : on l'indique d'ordinaire par un rond ou une croix, selon qu’il s’agit d’un demi-feuillet D, ou d’un demi-feuillet D,. De chaque nœud partent toujours g segments qui aboutissent à v (v“q) nœuds voisins. À cause de l’existence des diangles, v peut être inférieur à g. Si le nœud n’a que deux « voisins » : y—2, on dit qu'il est non ramifié. Il est dit ramifié, S'il a plus de deux « voisins » : »==3. La façon dont les nœuds sont reliés entre eux par les segments nous indique comment les différents demi-

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feuillets sont reliés entre eux dans la surface. Réciproquement, si nous nous donnons les points fondamentaux et la courbe fermée L qui les relie, le réseau détermine la surface de façon unique.

En particulier, si l’on a une représentation conforme plane de la surface, on obtient sans peine le réseau : le carrelage est formé par l’ensemble des courbesimages de L, le réseau s’en déduit aisément. Mais cela ne nous intéresse pas ici, car nous voulons justement partir des surfaces définies topologiquement pour étudier leur fonction uniformisante. Toutefois cette remarque nous permet de construire, pour fixer les idées, le réseau des surfaces engendrées par quelques fonctions usuelles, Nous indiquons dans les figures qui suivent, le carrelage en pointillé et le réseau en trait plein.

La figure ra représente le réseau de la surface & —z:?. Le carrelage est composé de diangle de sommets 3 —0 et z—%, qui sont les seuls points de ramification ici (d'ordre 1). Le réseau est un quadrilatère, dont l’intérieur et

Fig. ra et 1 6.

l'extérieur sont les seuls domaines élémentaires et correspondent aux points de ramification mentionnés. On conçoit que toutes les fonctions ration-

nelles R(u) du deuxième degré, telles que R(u) — i(u— 2) donnent nais- 2 (44

sance à des réseaux identiques à celui-ci. Seuls les deux points de ramification changent de place. |

La figure 1 représente le réseau de la surface logarithmique w — e*. Les deux domaines logarithmiques correspondent aux deux points de ramilication logarithmique en 4 = 0 et #— «.

La figure 2 représente le réseau de la surface —sinz. La surface a deux points de ramification logarithmique sur le même point fondamental & — et

une infinité de points de ramification d’ordre 1 sur les points +1 et —1. Le réseau a la forme d’une échelle.

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THÈSE LE VAN THIEM