Chapitre
1. Dans le chapitre précédent j'ai résolu le problème de M. GOURSAT pour une équation aux dérivées partielles du second ordre à un nombre quelconque de variables indépendantes. Peut-on bien résoudre le problème pour une équation d’un ordre quelconque? Il me semble qu'il ne soit pas si facile de répondre à cette question d’une manière générale, mais afin de l’élucider, il serait très important de traiter un problème simple de cette espèce, d’après une méthode indépendante de l’ordre #.
En partant des suppositions analytiques, M. D'ADHÉMAR!) a trouvé pour l'équation
ee À ax (D),
où a est un constant réel, la solution qui se réduit à des valeurs données sur trois lignes droites, toutes passant par le même point, par exemple l’origine. Excepté les conditions de possibilité que l’on peut géométriquement prévoir, il en peut aussi exister d’autres, se rapportant aux positions réciproques des lignes et des caractéristiques?). Mais c’est seulement pour le cas où toutes les trois lignes sont situées entre deux caractéristiques voisines que M. D'ADHÉMAR trouva que le problème était tout à fait délivré de ces dernières conditions®). Soit en remplaçant le constant a par une fonction de x et y, soit en remplaçant les lignes droites par des courbes quelconques, soit en laissant le second membre contenir z et les dérivées d'ordre un et deux, tous ces efforts de généraliser les résultats de M. D’ADHÉMAR ne semblent pas être sans difficultés. M. D'ADHÉMAR nous a promis un mémoire traitant ces questions, mais malheureusement il n’a pas encore été publié. L'ouvrage de M. D'ADHÉMAR m'amène à résoudre sous des suppositions analytiques le problème de M. GouRsAT pour l'équation ze À 0"z (1) Dee A, DT = =; f(x, ), p=0
1) Journal de Mathématiques VIÏÈME série t. V. p. 203.
?) 11 y en a trois cas (excepté les cas triviaux):
À. toutes les trois lignes sont situées entre deux caractéristiques voisines,
B. deux lignes sont situées dans un angle des caractéristiques, la troisième dans un autre angle des caractéristiques,
C. une ligne est située dans chacun des trois angles des caractéristiques.
M. D'ADHÉMAR a fait de B deux cas différents, ce qui n'est pas nécessaire, mais il n’a pas traité C.
#) Le cas C n'est pas douteux non plus. On peut s’en convaincre aisément.
U [Ro]
OLOF SJÔÜSTRAND
où A, sont des constants réels. Elle es! supposée d’avoir n caractéristiques réelles et distinctes passant par chaque point. Je cherche la solution de (1) qui prend des valeurs données sur n hgnes droites passant par l'origine et qui sont toutes situées entre deux caractéristiques voisines.
Comme l'équation (1) a n caractéristiques réelles et distinctes, on peut aussi dire que l'équation homogène
(2) A5 x? "0 es est satisfaite par » valeurs réelles et distinctes du rapport Si nous désignons ces valeurs par a, b,..., les équations des caractéristiques passant par l’origine sont (3) ME TE LACET Faisons la transformation (4) Ë—= y ax ,; n —=7y + 0x.
l/'équation homogène correspondant à (2) devient
(5) » AA an DE) ne Se =0!
b=0o Cette équation est satisfaite par an + bE an + bË
Due fe c'est-à-dire par (6) 0 = OU ee d12 0"z
Il s'ensuit que l’équation transformée ne contient pas 3e et Fee S
l'équation (1) est
ainsi transformée à
(7) Pers don" P FE, 1) D En posant Fe NOE One
on obtient
0" — 2 (9) Pie Le DA
NS) Lop des à
b=—0 Cette équation est de l’ordre n-2 et a n-2 caractéristiques réelles et distinctes. En continuant de cette façon, on arrive finalement à une équation du premier ou du second
ordre. Il s'ensuit alors que l’on peut toujours trouver une soluhion spéciale de l'équation (1).
Ii suffit donc de chercher pour l'équation
10) > A ee 0 POINT PLU
la solution qui prend des valeurs données sur les lignes en question. Selon la transformation (4) on peut choisir comme l'axe des x et des y les caractéristiques entre lesquelles toutes les
lignes données sont situées. Ie problème posé est donc le suivant: Soit donnée l'équation 0"z ô"z Ô"z
0401 Ù À Ôx20y" — ? D A Et ox. Lôy = 0,
où À, sont des constants réels. Elle a n caractéristiques réelles et distinctes
(12) XV (Cie y — 0; 4 — — ax; y —— CE te y :
