D, AD CD

Les nombres & et C étant données, on peut choisir à volonté deux nombres 4, c, remplissant la condition À, de façon que

sil &

Par conséquent, les inégalités (17) peuvent s’écrire

rue 1 , D RER | :

(19) q 2 n — 1 i q 2 ns n — 1 : Mi >; D; ne Î an PE D: D ñ = M2 | D \ D (19°) q 2 Ha ma — 1 < q 2 Se M2 — 1 : Ma LAN D; rS ù Selon (18) on a 15E ER : Dee, De : Di ee De l D; Dee D, Des D.

On a en outre selon (18’) 10. 00 SARA 2 ARR EC UE D LI 1 1 n = î m1 n . î mi ca D, on, DER REERR rs D RTCRE Due NE + Mi —n +1

Les conditions (19) sont donc remplies sans contredit si

Mi — NH Mai — HN 9 2

wi < 7 à VER Det = LRU n — M2 n— m2 F 2 2 “ ei 7 Me CN

Dre + 1 7 D

Ces inégalités peuvent s’écrire sous la forme d’une seule

to] se.

(20) à DD + = à 1 ne IT suffit donc, q etant donné, de trouver un nombre q < = tel que la condition (20) se trouve remplie.

OLOF SJÔSTRAND

10. Pour prouver la possibilité de satisfaire à (20) j'étudierai encore une fois les déterminants D), D. Soit a une racine de l'équation

+a+qg—=0

du déterminant D,,, par a, ceux de la troisième par a? etc., puis ajoutons à ceux de la

par exemple a = — — — ES g, et multiplions les éléments de la deuxième colonne

première colonne. On aura donc Dsi=(lho) D FC 1e (+0) — ee (EP 0) D,+(— D ee

a est un nombre négatif. Posons a — — f. Par conséquent f — ou rt et

ou finalement

pi+2 a D, ,1= 6 281

> En remplaçant qg par —ÿ (9 > 0) et fparp—— ae + g on obtient de la même

manière

J1 s’agit d'examiner le rapport

LE) à

D;+: 2h Ee B , RS RES En Puisque g > 0, on a f>1. On peut choisir le nombre f de façon que

1 —f Dr

c’est-à-dire

(22) p= es Pour la valeur obtenue de Ë on a

> << d’où il s'ensuit à son tour que

Pour 2 pair ou impair on aura 9 à i+2 DEN D ant B

&E <Q Ve D april p .

Pour que l'inégalité (20) soit vérifiée, il suffit de démontrer que

HÉCTR (‘) Es 2 Dee Ie e CN HD ce qui (selon (21)) veut dire DSL D OUT Do ro

d’où ENT nl

Cela est vrai selon (22).

11. Je ne traite pas les cas où a ou c sont nuls, puisque la méthode de M. GOURSAT

(de 1897) s’y laisse généraliser immédiatement!). Pour a — c — 0 le problème est déjà

résolu par M. BEUDON?). Le cas où q — 2: c'est-a-dire (en se servant des désignations

à la page 38) BP—4ac—0 n'a pas été traité, parce que alors le probléme est impossible selon la méthode employée.

Car cette méthode exige que le constant À soit positif (Cf. page 40), ce qui n’est pas le

| 1 ASS on, c q à HA . * = . 1 12. Traitons finalement le cas B à savoir g D Selon le $. 10 on aura

1) Cf. 2) à la page 30.

2) Cf 3) à la page 30.

OLOF SJÔSTRAND

ee pal En Te o\n +1 en " 2B8—1

où

Ici « est le même nombre qu’à la page 39. On obtient

, Sin (n + 1) w

Sin ©

ñn

(9) P Co oo

Si —— est un nombre rationnel —, on a D, — O, aussi souvent que A 5}

est un nombre

entier. Le problème est par conséquent #mpossible ou, à la rigueur, indéterminé.