OA D

Je cherche la solution de (14) qui se réduit à f(x); f,(x); f:(x); f(x) sur quatre lignes droites

MCE Eee Sr — Ôx.

(16) ÉD PEREe 0) La solution générale de (14) est de la forme 2 = F(x) + G(y) + p(y

1) CÊË. d'ADHÉMAR 1. ©. p. 311—314.

ax) + y (y + dx).

OLOF SJÜSTRAND

Il s’agit de déterminer les fonctions F, G, œ et y à l’aide des équations suivantes: [A (x) RG Pdor TT EE b) (17) fo(x) = 1 Er PB + ax P(8 + 5% |/a(x) = F,+ GE Po + ax T Yr + dx HAE PRG Evo DR DO ne Ici nous écrivons selon M. d'ADHÉMAR!)

= BEN G = G(ax): Pas ae = PA a)%];.

Ayant nn LB B+a B+b |. | DU Las Co SR nN AE RUN TE CE + Ass — Ag PVO PO Pa tor LD nous écrirons VY ce Vox Vox FT os Vaosx Vazax:

ro ea a Dex 1 b, B + 4, p + bd ke ER EN PNOTOE Er Nous tirons de (17)

(18) yvy = — ff OA er Lorean D Le Nes (La a+a x 1e ARLES RE Le Y; y +a| QUE DAME ENT MSA TR EI (Ne 6, d+a. 1, à od +a lat | et

— fals + fifa a |1, a, a +a x NT A) ts , P+a) 1,6, à +a A A

d'où il faut déterminer y. Pour F, G, g on aura des équations similaires. De l’autre côté, il est facile à comprendre que ces fonctions F; G; y; y satisfont non seulement à ces dernières équations mais aussi aux équations (17).

3. Comme les fonctions f sont supposées analytiques, il s’agit de résoudre une équa-

tion de la forme

] es e en (19) Paix Paox TT Vasx RS Ponsriee me, A,% ;

DÉLICSD 200.

Soit (20) pi Co HOME CHE EEE RICE

une solution de (19). On a

(21) Ca — a" + us —...—04") = À,

SIN = 0 MIS autRque

Il s'ensuit de (18) que cette condition est remplie quelles que soient les fonctions f.

Si # — 1, on aura

Ci (a do da . a) — A7

Le déterminant entre les parenthèses est nul. Il faut que

4410; Cette condition aussi est remplie quelles que soient les fonctions /, car les déterminants du type | 1, B, Ba PET NEO; | 1,0, 0 +a Si n —= 2, on obtient Cfa? —af+aÿ —....— a.) = À.

Le déterminant entre les parenthèses

1, fe, (B+ a), (840) | La) eGer0) 1, &, (0+a)?, (Ô +b)?

I1 faut que

Ô?z (70 (0) = +25 a- Lo sr m Jucnane 0 à | fs" (0) = Vo+ 2507 +7 ÔxÔy La" (0) = ro + 250 0 + to 8 | Ô?z Er d’où

OLOF SJÔSTRAND

f" (0) | BR, (0) | Lara et (0) so le (0) | la LE 1 nee LPO IN OADAE=O0) | 1, 6, d 1, 6, &? | 1, 6, 1,7.

Cette dernière équation veut dire que À, — 0. Les autres C, sont calculés d’après (21), et on obtient une solution analytique de (19)

si l’on peut montrer que

(23) | FAN a a Pate. "a, 20

si n > 3.

Avant de démontrer ce théorème, je déterminerai les constants arbitraires C,, C, et C..