DE
1) Cf. le remarque ?) du $ 4.
OLOF SJÔSTRAND
et qui, sur la ligne Y—=ax, a>0,
se réduit à une fonction donnée f(x). Cette fonction est continue ainsi que ses dérivées jusqu'au troisème ordre dans le domaine J” qui est limité par les lignes droites
X—= 0; VI AR; yFax=t; x— En Y=—ah; V——ax:
où
ER ENIC EE S 197)
Après une substitution convenable on peut supposer (21) a+ a— I.
On comprend que le domaine 7” renferme le triangle dont les sommets sont les points d’in-
tersection des lignes données.
(1, dl)
l- eh
Fig. 9.
Si la fonction y est continue ainsi que ses dérivées jusqu’au troisième ordre,
(22) 2= p(y+ ax) —p(y+ ak) —p (ax) + (ak) est une solution régulière de (20) qui est nulle pour x = k et pour y — 0. Il s’agit donc d'adapter la fonction g à la condition pl(a+a)x]—p(ax+ ak) — (ax) + (ak) = f(x) qui selon (6) peut s’écrire (23) p (x) = p(ax + ak) + p (ax) — p (ak) + f(x). Je différentie cette équation deux fois par rapport à x
px) = a p{ax + ak) + a%p(ax) + f(x).
Nous posons p'(x) = px), d’où (24) y (x) = & y (ax + ak) + a? y (ax) + (x).
Résolvons cette équation par des approximations successives en posant
(25) p (a) = PO) + pa) + + p) +,
pO(x) = f(x),
px) = a y (ax + ak) + a y(ax),
po (x) = a y (ax + ak) + a y Dax),
Selon la supposition f/’(x) est continue dans F”, c’est-à-dire dans l'intervalle (26) Deal, Alors y®%)(x) est continue dans le même intervalle, car selon (21) on a O<ax+ak<al+ak<al+al=]1, O<ax<al< |.
De la même manière on comprend que toutes les y{){x) sont continues dans (26). Si
dans cet intervalle
f'|<M, il s'ensuit que | p2(x) | < Ma + a), [px | < M(o? + a},
| po) (x) LE M(@ + a),
Parce que, selon (21), d'+a<]l,
la série (25) est une solution de (24) continue dans l'intervalle (26). Alors en partant de
l'équation (24), on aura
ax + ak a
À (8) dé — a ll) dt + a Tant dt + (0) — FR)
car les deux membres sont nuls pour x — k, et, en outre, ils ont la même dérivée. Puisque
{(k) = 0, on a de la même manière
OLOF SJÔSTRAND
x Ë À dé Jy(e) dt ja fe p at+ Ÿaë) (9 (6) dé + f(x) — (x — À) f'(R).
Nous transcrivons x £ ax + ak Ë ax Ë ak Ë (27) VAE te) dt — À 48 Jp dt+ À dE Jp(o dt — [de y dé + f(x) +
+ J dé j pt dr jas lv) t) dt + jas | y (2) dé (KR) FA). La dernière ligne peut s’écrire k ee jy à —#@|
L'équation (27) est satisfaite pour toutes les valeurs des x dans (26). Pour x — 0 nous avons, en observant que f(0)—0, k
a À w(9 dt — ÿ(#) — 0 d’où as Jp à = Va LT 0 dt+ Î dé jvc ai— Ÿ as jy !) dt + f(x). Si l’on pose 0 dé,
la fonction y (x) satisfait donc à l'équation (23). Elle est, ainsi que ses dérivées partielles jusqu’au troisième ordre, continue dans l'intervalle (26). La solution (22) est donc régulière dans le domaine 7”.
