LE ()|< A" CD

Toutes ces fonctions sont continues et forment une série uniformément convergente à l’intérieur de l'intervalle considéré. (12’) est donc une solution continue de (10), et nous avons

pour & (x) une inégalité de la forme

| £ (x)| M x, d'où l’on tire selon (8), (9) | M x° (14) lp (x) | < TS

L'équation (4”), traitée de la même manière, nous donne e M y° (147) eOI< Er Après avoir trouvé y (x) et y (y) nous avons obtenu une intégrale de (1) de la forme (3), qui a les valeurs données sur ABC. Selon (3), (14) et (14”) on a (15) IZ (x ») —Z4|< M x,

d’où l’on conclut que la solution Z (x, y) est continue dans la région BAC et sur son contour.

6. Il est facile de démontrer que l'équation (7) n’a qu’une seule solution de la forme

Ex Lara E> He Eee

, Où © (x) est une fonction continue pour x > 0. Supposons

qu'il y en ait plus d’une. Il existerait donc une fonction & (x), continue pour x > 0, ayant

£ (0) — o et satisfaisant à l'équation

& (a) — y (9 EU) = — Ÿ K (x, 9) E(s) ds.

OLOF SJÔSTRAND

Par conséquent,

# i— 1 A) CE") K (x; s) É(S) ds, d’où l’on tire A ed nl Rae.

La où:

AE RENNES À C7 | (rs) dy (x) 7 di... GS) EE): Ainsi ee) x4 E (x) = — x (6) y (ta)... 7 (ris) J K (x, 5) E (s) ds = x1+1 Puisque Mots ED IEEE} IP CEA pour rer NO

et de la même manière

x" RENAN PSS AD RE ; | € (x) | É

I faut que & (x) soit nul identiquement.