ET

et le terme constant.

Ib G

Les autres termes du développement de H se déduisent en effet de ceux-là en raison de la double symétrie indiquée.

Les polynomes P et Q, qui doivent satisfaire déjà aux conditions (5), seront nécessairement du troisième degré, F étant du premier degré et H du quatrième.

Les conditions de symétrie leur imposent la forme

avec ANA 70 Si l’on calcule alors, dans le second membre de la relation (4), les coeflicients

des différents termes dans l’ordre où ils sont écrits en (5), on obtient successivement :

| Pour re 25, av, Pour = .... 25}2ap, Pour ie — Gap, + sav; + (s + 2)avA,, Pour 2 se... — 6x; +saul,+(s+2)am;,

(7) Pour eme Saph;+ sav, — (5 + 4)aplis— (5 +4) avi,

Pour yee G(1+ a) + 2(s +i)avis, Pour Dre 6(1+aæ), + 2(s +1)aus, Pour æ2 y. 3(1+@?))3 — hop; + (s +1) av + (i + œ?) lo

| Pour Poe .. 301 +), — Gays + (s +r)auA,; + (1 + æ)As,

— ve

| Pour à

o — 2(S+6)avl—2(s +6)aui, + (+ )i;+o(s+o)arky+(s+a)an,, x?

Pour “SRI — 2(5 + 6)opA;—2(s+6)aà, + (+ a)À,+02(s+2)aphs + (s +2)avan, (7) RO — (s+ 6) av, — (5 +6) auà, (suite) 1 Sr +2(1+ œ)À, — 2apls—(s + 4lavl — (s + 4)apiu:, Pak 2x... —2(5+5)avA;—2(s+5)am,; +oa(i+aæ)ls, æ # »

Pour re — 2($s+0)aud,; — 2(s + 5)avi; + 2(1+ œ?)s, | Pour const... — 4(s + 4javhs — 4(s +4) ao.

Si nous calculons dans HE, sous la forme (2), les valeurs des coefficients des termes correspondants, on trouve

Pour z°7°.%.: œ*y*Go, HEù é ; Pour ne .… S(s+i1)(s+2)(s+3)B,ut—s(s+1)(s+2)Gsotp +s(s+r)Bat pt sB; au + Boatut, Por — sB, ty + AGoat pv, TE , Pour — — s(s+1)(s+2)B;axv + 2s(s +1)Bsaiur —3s6;atp?y + 46,atuiv, (8) Pour s(s+1)Baatv— 356, atyu + 66Gav?nu?, POUR ET — HBoa(r + a?)ui, de : Pour re s(s+1)(s+2)Bsa(1+ &)—2s(s+1)Gaiu(1+ a) + 386: u(1 + a?) — 4 ui(1 + œ°), Pour rer 358 v?(1 + x?) — 126, pv? (1 + &°), Pour cut — 25(s+1)5@v(1+ &?)

+ 656, auv(r+ at) —126,atu?v(r + œ°),

11 SUR LES COEFFICIENTS Pourecsne 25(s+1)Bautv— 656, «tp?

| + 28,av[2av+ 3(1+ x) + Ga],

Pour —:.... 4s(s+n(s+o)(s+3)B,at—4s(s +1)(s + 2) Bsatp

is

+ s(5 +1) [4 actu? + a?(1 + a) + a at v?] — sB,f4atui+ Gatwu+3(i+e)ap]

+ Blot pt +iaat pu + 6(1+ &) œpu?],

Bourne — 3s(s+1)(s+2)Baatu + 6s(s +1)B, xp — 3s6,[atv+ (1+ a )oy + Sat] | + 126,[œ vi +)? + œtyin + œitu3v], (8) (tte M APOUTEZ — 4s(s +1)Baañv(r + a?) Hi2sB,;asuy(1 + a?)

— B(1+ a) [6x + 24 auy + 4av(i + &?)°T,

Pour “ sr. 5s(s+1)(s+2)B;a(1+ a) —6s(s +1) 3afu(1+ œ) + sB,(r+a) [Gay +a(i+a) +oxpu?] — 46,(1+a)[3añui + Gain + au(i+ a?)], Pour const... Gs(s+i)(s+2)(s+3)B,at—6s(5+1)(s +—2)Bsatm

+ s(s+1)8,[6atu?+ fat +a2a(i + o)]

— S6,[6atp5+r2apy+ Gau(r1 + «)?]

+ B[6 at ut + Gaïvt ra u?(1 + 2)?

R +12 (14 x) +24 at? + (1 + x?)#].

Si l’on égale alors chacune des lignes de l’accolade (7) à la ligne COrrespondante de l’accolade (8), on formera de la sorte quinze équations homogènes du premier degré entre les seize inconnues

Bu» B3, Cr QMUIL) Bo3 Nos coefficients B,, ..., 8, se trouvent ainsi déterminés.

Il est facile d’avoir des limites supérieures des degrés des polynomes B,, 8, Bas 3 B: considérés comme polynomes en x. Les valeurs de B,, ..., À,, sont

données par les différents déterminants d’une matrice à 16 colonnes et 15 lignes dont un très grand nombre de termes sont nuls. Si l’on n'écrit pour chaque élément du Tableau que le terme de plus haut degré en &, on aperçoit sans

peine que les degrés maxima de B,, B6,, B,, B,, 8, sont respectivement 8, 0,

10, 11, 12, ces coefficients étant considérés comme polynomes en u.

Vu et approuvé :

Paris, le 14 juin 19057.

Le Doyen DE LA FACULTÈ pes ScIENCES, Pauz APPELL. Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 14 juin 1907.

Le Vice-RECTEUR DE L'ACADÉMIE DE Paris,