THÈSE D'ANALYSE

IMUODUCTION.

CIchscli a lait voir que les coonlonnées dos points d'une courJ)e de i^enie un s'expriment en fonction rationnidle d'un paramètre et d'un radical portant sur un polynôme du quatrième degré de ce paramètre; ou encore, // étant le degré de la courbe, r et v les cooi'données d'un de ses points. (jn'on peut écrire

9 et -i étant deux Ibnclions douhlement périodi(|ues d'ordre // du paramètre t, ayant mêmes périodes et mêmes infinis.

Le présent travail a pour hut l'élude des courhes de geiir*^ un en parlant de ce mode de représentation.

A ce sujet, les deux premières questions (|ui se posent sont les suivantes :

I. Toute courhc dont les coordomivcs des poinls sont des fondions doidiliinrnt périodiquiS d'un piirumctic cst-cllc de i^r/irc un? Quel est son de^Tc?

II. Lu reprcsenlulio/i pu/rifnctnquc d une telle eourbe étant donnée, en déduire son équation .

(le dernier pr(d)l('me revient ii éliminer /entre les é(|ualions [u]; il a elé résolu par M. Hermite pour le cas où les fonctions doublement perioili(|iu's

(loiinées sont du troisième ordre, mais la méthode, appliquée à des fonctions d'ordre n, conduit, entre r et }-, à une équation de degré in — 3 et non de decré n.

On peut également, étant donnée la représentation paramétrique de la courbe, chercher à :

m. En déduire l'cqua/io/i de la courbe de degré /i — 3 adjointe à kl proposée, c'est-à-dire de la courbe de degré n — 3 gui passe par /« |« ( « — 3 ) points doubles de la courbe de degré n et de genre un donnée.

En dé luire également l'écjuation générale des courbes adjointes de degré

Ce sont ces trois (juestions que nous nous sommes proposé de résoudre dans la première Partie de ce travail. A cet effet, nous avons employé une représentation paramétri(iue nouvelle, en coordonnées homogènes, où ne figurent que des sommes de fonctions 6.

Ces fonctions 0 sont liées par des relations homogènes du second degré, d'où se déduisent des équations que nous avons n])\)e\ées fondamentales, et dont la considération résout les trois problèmes posés plus haut.

On termine la première Partie par l'exposition de quelques conséquences géométriques, déduites d'identités algébriques qui se présentent naturellement au cours des calculs. ,

Dans la deuxième Partie, on traite de l'intersection d'une courbe de genre un et d'une courbe algébrique quelconque, adjointe ou non adjointe à la première; on retrouve les résultats donnés par Clebsch au sujet des courbes de contact, c'est-à-dire des courbes qui passent par un certain nombre de points fixes 'de la proposée et ont avec elle en tous leurs autres points (le rencontre un contact d'ordre donné; on étend ces résultats, qui ne se rapportaient <|u'aux propriétés des systèmes de points de contact, en donnant la forme de l'équation générale des courbes de contact, d'où l'on peut déduire des propriétés de ces courbes elles-mêmes.

Dans la troisième et dernière Partie, on définit les systèmes de points