VII

conjugués et los oorrospondaiices sui' une courlx' de i^oni'e un, cl l'on ilonnc (les propriétés géon)étri(|uc's de ces svsli'nies de points.

Enfin on applique à la courbe du (|iialrièrne degré ii deux points douMes les résultats obtenus pour la courbe générale du picniier genre.

Les questions examinées dans la preniii're Partie n'(tiit pas encoi'c été résolues, à notre connaissance; dans la deuxième Partie, on nous permettra de signaler l'interprétation géométri([ue de chacune des équations établies par Clebsch (n° 48) et dont l'ensemble exprime (jue mn points d'une courbe de genre un et de degré n sont sur une courbe de degré jn\ nous appellerons également l'attention sur la solution du problème suivant :

Soil

nui = 2 /, i + /,\, + /•,/,-+-...+ r,i 1,1.

Trouver l' équation générale des courbes de degré m, qui passent par k ^ points doubles et Â\, points simples donnés sur une courbe de degré n et de <j;cnre un. et (pu ont avec cette courbe en Ij points, dont les arguments ont u/ie sonune donnée, un contact d'ordre r, — i ; y = i , 2, . . . , ly 1.

La forme trouvée pour cette équation générale coiuluit à de nombreuses conséquences géométriques; elle sert, en outre, à établir les tbéoirmes principaux démontrés dans la troisième Partie.

Parmi ces tbéorèmes nous signalerons ceux (jui sont relatifs à la courbe enveloppe des droites joignant deux points conjugués (n"" <S0 et 81;, ;i la position de ces points sur la droite ([ui les joint (n'"* 82 et 83) et l'apiilication de ces résultats aux conrlies du cinquii'iue degré.

La théorie des courbes du ijnatril'me degré à deux points doubles reiiferme un certain nombre de ]u-opositions l)ien connues, mais dont la démonstration, à l'aide des fondions 0. est peut-être nouvelle; |)lnsieuis propriétés du centre d'uni' cyclique in'"' I !() à 121) ne nous paraissent pas avoir encore été données; il eu est de niénu' tin théorème du n" 127 sur les cycliques homofocales, (pii entraîne de nombreuses conséquences; des propositions des n"'' \'^'^ \\ I il complétant la théorie des points conjugués.

( vin ) cl (If (('Iles (les II"" l.")4 à 16U l't'latives à l'intersection d'une cveliquc et (l'un ccicle.

Nous avons eu souvent à consulter, pour la rédaction de ce travail, les Mémoires bien connus de Clebsch, publiés au Journal de Crelle (t. 63 et 64), \es Leçons sur la Géométrie, du même auteur, la tbèse du P. d'Esclaibcs sur les courbes du premier genre, et l'Ouvrage de M. Darboux Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques.