III. ' Oarl/cs A passant par un pot ni du plan
Soit f,r'|, .r',, .r !, ' un point du plan ; on [lent mener |)ar ce point // ronilirs .\ d'nn même systènu': les valeurs de y., correspondant ii ces // couriies, sont données par réqnalion
o = a"A„(j-',,x;,.i-;) -H/cz" 'A„^,(.r',, . . .) -f- . . . -t- \„(./', . ...).
.Soient z, 'i, .... A les // racines de cette e([uation. La somme de leurs produits /■ ji /,■ étant
la eouilie lie dei;re n — \, (jui |)asse par les points douilles de S et les 2// points (le contact avec S des n conriies A meni'es par le point f r', ,-i'.,. .r!, ), aura poui' i''(|uation
(•tant pos(''
Le (iremier nu'inljre de TcMpiation de cette couilie ne chani^e pas, ou IL m
cliaiii;(^ (le sii^iic, selon (|ii(^ // csl |>:iii' ou impair, qiiiniil on permute .i,, -t.,, ■r, el .*•; , .r'^, .r',.
(lela posé, appelons oourl)C polaire d'un point la courbe de dcL^ré // — i (|ui liasse par les [)oints doubles de S et les 2« points de contact avec S des /i courbes A d'un UH'me svsli'Uie, menées par ce |)oint. (le point sera dit pôle de sa courbe polaire.
On a ce ibéori'nie :
Si ht conihc polaiir (l'un point P passe par un poiitl V , la vauvhe pulaur lie V passe par V ;
el, par suite.
Les couihes polaires de Ions les points d'une courbe polaire passent par le pôle de cette courbe.
Les pôles de toutes les courbes pobtires passant par un point sont sur la courbe polatie de ce point.
Si // est impair, ré([ualion de la courbe polaire du point .v\,x.,,.v^ [leiil s'écrire
et, par suite,
5/ Il est unpau\ toute courbe polaire pusse par son pâle.
72. Ces résidtats s'appliquent aux coni(|ues osculatrices en deux points à une cubi(|ue plane. L'équation générale des coniques d'un système est de
la l'oinie
aW;, H- ix- \, + 33!A, + A„ = o,
a étant un j>araiii('tre variable.
On démontre aisément les propriétés suivantes :
I. Il y a neuf systèmes de eoni<pies bioscalalnces à une ciibiipir S ; la droite qui joint les deu.r points de contact avec S des coniques d'un inènu- système jHisse par un des neuf points d'injle.rion . Soit I ce point.
il. Par un point quelconque A du plan, passent trois co/iiques biosculatrices du mè/ne système; ces coniques ont un second point commun 15, sur la droite Al ; les SIX points de contact de ces trois coniques avec S so/il sur une conique, cpie nous appellerons conique polaire du point A ; .\ sera dit pôle de cette conique : d est clair que 15 est également un pôle de la conique el que tmiic conique polaire a ainsi deux pôles.
