O-IMO
(rj — l)(o — 2). ■ .(A — 1 1.2... 0 — 1 — /.
De plus, le système comprendra toutes les courbes de degré :. cumptérN lieux fois.
Exemple. — Les co/iu/ius htniiciilcs en ei/u/ pm/i/s a une eoiirhe du tiiKjutenK degré, à ci/n/ fxii/i/s doubles, ftninenf (juatre systèmes : trois d'entre eur comprennent cJteicun seize eonujues; le dernier système, pour leeiuel ht sonune des arguments des cinq points de conteicl est t!(w + "xo ;, ne comprend (pie cuuj coniques proprement dites. Il comprend, en outre, toutes les droites du plan, comptées deux fois.
Nous retrouverons, dans la IIl'' Partie, les cinc] coniques dont nu xicnt de démontrer l'exisleuce.
6!S. Si la courbe S a des points de rebroussenient, les l'ésullals précédents se modifient légèrement [Clebsch (')].
Supposons que les courbes de degré m que l'on considère passent par /•i points doubles de S et que, parmi les î5 — /•, auti'es points doubles, il y ait U points de rebroussenient, auxquels correspondent les arguments
La relation
/(e,):.r;"(e,t=/(c,): x',"(c-;) doit être remplacée : n" 52) par la suivante
/'(«-,) J-,(e,) — mf{e^)x\(c,), f et .2-', désignant les dérivées de/(^! et -l'^ii) [>ar lapport ;i /. Or lUi
et. |)ar suite.
•:ri(ei)
(') Journal de Crcllc, t. 6i. Ji. ajâ.
( 72 ) .7(e,) 110 peut être nul que si la courlje f{.r,,x.,,x.i) = o passe par le point (le rehroussenient e^, ce qu'on ne suppose pas; en égalant à zéro la quantité entre crochets, on a une relation linéaire et homogène enai.a^, ...,%,.
De même pour les relations qui correspondent aux R — i autres l'ebroussernents.
On en conclut que le nombre des groupes que comprend un systi'ine de courbes de dei'ié jn est
et
/■ 2 , SI /■ < n
()9. Pour montrer le parti qu'on peut tirer de la théorie précédente, au point de vue des applications géométriques, nous allons traiter nn cas particulier.
litiiflicr /es courbes de degré [n — i ), qui passent par tous les points doubles d'une courbe S, de degré n, de genre un, et qui ont avec cette courbe, en deux points, un contact d'ordre /i — i .
On a
/,', = ô. A', =; o, r ^^ II, / •= 2.
Nous appellerons les courbes précédentes courbe A.
I. Il y a 71- systèmes de courbes A; la fonction /(/), qui corresjiond aux courbes d'un même système, est de la forme
7., et y.., étant des constantes arbitraires, et l'équation générale des courbes du système sera
A(.r,, x,, X;) — 2t',' A,, + ny.'l'^ 3;,A„^, +. . .H- y.'lK,,. La courbe de dearé n — i
passe par les points doubles de la courbe S, (|u'ell(' coupe en in autres points, (huit les arguments vérifient l'équation
Par suite, la courbe A„/, = o est la courl)e de degré n —i, qui passe |)ar les points doubles de S et qui a, avec cette courbe, un contact d'ordre n —k — i
( 73 ) ;ui\ ili'iix points (le contact de S et de A„ = o, et nn ronlart d'onlie / — i ;iM\ lieux points <ie contact de S et de A„ = o.
711. II. Soient // conriies A, d'nn inènic systi'nn' (|ih'li-on(|ne,
Les 111 points de contact de ces courbes avec S sont sur nui' cmirlie de (lei^i'é II — \ , passant par les points donhles de S. et dont réi|nation e>l (nMi(i)
1) = 3c,3 . . . À \„ -^ ( zy . . . -^ ,3 . . . À -i- z ... /. -^ . . . ) \„i + . . . -v- A^,.
\a- eoellicii'ut de A;, est la somme des produits /■ ;i /' des n (jnanlilcs y., 3 "/..
