TROISIÈME PARTIE
rONJLdAJSOXS ET Cl ) It 1!J:S l'OM» ANGES.
7-'). Nous appellerons points conjugués tians un système s ileiix points situes sur la couilie S. dont les ai'C'uments ont la somme constante .s, ;i des innlliplcs près de o), /io>' .
/t('//ia/Y/ue. — Au point de vue géométrique, on peut définir eomme il suit un système de points eonjugués.
Soient, sur la courbe S, n — i> points fixes (|U(deon(|ues. (À)nsiderons les courhes adjointes de degré /i — 2 (jui |iassent par ces points. Ces eourhes
ont -^ h /' — 2, c est-a-dire i points iixes, et lornient
linsi 1111 faisceau. Les deux point mobiles où l'une quelconque de ces courbes •oiipe S ont évidemment deux arguments dont la somme est constante, et ^ont. |)ar suite, conjuiiués dans un système fixe.
Equation générale des droites joignant deux points conjugués. Enveloppe de ces droites.
7'i. l/e(|ualion qui ilonne les arguments des poinls d'intersection d'uni' droile (|U(dcon(|ue avec S est de la forme
/■(/) = rti 1\{I) + ('1 \\(t)+- ■ ■ + a„ !»„(/) =0.
Si celte droite passe par deux poinls conjugués dans le système .s, on connail la s(unme s de deux zéros de la fonction /"/); la somme des n — 2
anlres sei'a - ((o 4- iu<>' ] — s iv des miilliples prl's de co, no>' . I.a fonction /' /)
( 77 ) ser;i doiir de la loi'nic |t''(HKi(iun ( jj |
/■(/) = [y.^ v',(n + y., d\(l)][P, o;(/) -H 3, oAl) +. . .-^ 5„ , o"' i.(/ 1|.
l'iiiir (|iic' les n zéros de /(/) soient les ai'guinents de n poinls de S, situés sur mie droite, il faut et il suffît que les ([uantités -/,, a,; [i,, .... ;s„^ \^'v\tieiit i /; — 3) relations de la lornie [xV \\ )'
//?,, . . . étant des constantes.
De ces /( — i relations, on tirera les valeurs proportionnelles de [i,, [i^
rM r^ P«-2
J\, 11, . . . désii;nant des polynômes honioi^ènes, de det^ré n — :> en -/, et -/j. et l'un aura ainsi, sous l'orme syml)()li(|ue,
Dans le second memhre devidi)|)pé, z, et y.^ entrent au dei^ré n i, et. paisuite, ré(jnation i;'énérale des droites joii^nant deux piiinls (■(mjiii;nrs dans le système s sera de la forme
'Jn^-i, ... elant des polvn('imes liomoiçènes de deiçré n — >. en z,. y... Il resnlti' de lii (|U(' :
Ij'^ ilniilcs (jm joi'ji^nent ilcnv points conjtii^nvs dcins i(n sysicinv donne iincloppent une rotirhe de ( n — ■?. ]"'""' rhtsse ( ' ), Ufiifiirsa/c r/ doni le dc^j^iv est . en iièncml. ■2\ n — '} y.
7."). I.i' dc,ni-i' et la (dasse de celte cmirhe s'aiiaissent si la valeur donnée de .V est la somme des deux arii;unn'ii(s r, et c.^ (pii correspondent ii nii point douille de S : en ell'et, ['(Mpiation (|ui donne les ari;innenls des |)oints où S est coupée par une droite (|indi'on(|ue issue du |)oint donMe consiilére admet les /.ér(js r. et i\ iloiil la somme est s. La courlie enveloppe elierchee se
(') ('.l.i;i!Sf:ii. liHiriiiil iti- l'rcll)-, t. (il. p. u-
( 7« ) <l(Moni|iose donc en iiii point et nne couihe do classe // — 3. On peut se rendre compte de ce t'ait directement.
On a toiijonrs, pour la fonction /^/ :,
yV ) = (=<i?', + =«29';) (Pi o'o -+-... ).
~(\. l'arnii les équations qui lient -/,, y..^; [i,,, ... est la suivante ' n" 4.") )
(fil) ./(<?i) :'ï'i(«'i)=.Ae'i) :.'-i(e',);
or on a, puisf[ue ^, + c\ = s,
Ae\) = A-'<-e,j
ci. d'après les relations (Sy),
•2iTZ Iit:
!,'é(pialion (61) devient donc, en remplaçant o\{e\),o\{e\)\fM' leurs valeurs,
[^1 9',(ei) + y..2 ?'l(fL)] [hi OoC^^'i) +• • ■]'
cl l'expression y.^'d^{e^] + 'j.^6\[e^) est en (acteur. Si on réi;ale à zéro, on
écrit (|ne
c'csi-ii-dire <[ue la droite considérée passe pai' le point double [e^ , e\ ).
Si on ne l'annule pas, l'équation (62), débarrassée de ce facteur, devient une relation linéaire et homoi^ène entre %, ..., ^«2, qui permet d'exprimer une de ces ([uantités en fonction linéaire et liomogène des autres. On a ainsi
J\l) ■= (Xi, c.^ji'fi,, p,, . . . , p,,^,),
cl Ion en conclut, comme on l'a l'ait plus liant, que réi|uation ijénéiale des droites joignant deux points conjugués dans le système ^'1 +c,. et ne passant pas par le point double {e,,c\), est de la forme
o = X, o„3 + .r.2 'i/^^s + .rj y „3, 'p„., étant des polynômes homogènes de deijré // — 'î en y.,, y...
( 79 ) Ces (Iroilcs emx'loppcnl donc une courhe de [n — '.V]"'""' rhisse iiitii-iiisalc d. en général, de degré 'j.in — '\ \
77. Cet/c eoiirhe c/Hi-Zoppc Unielie hi tangente menée (ni point il(>id)l<- (r, , é^ éi la eonrhe A, de degré n — 3, adjointe à S.
Kn fllel, ton le coui'hc de dci^i'é n — 3 passant par les ' // {// — '>)— i poiiiK (loiiltlcs (le S, autres que le point ((",,(',), coupe S en deux points mobiles diint les ari;nuients ont pour somme e^ + e\ (n" -13 his).
La (Iritile I) joiitnant ces deux points sera doue une des droites considérées. Or, si la eonrhe de deiiré /.' — 3, dont ou vienl de parler, se ra|ipro( lie de la eonrhe A, la droite I) tend ;i se coul'ondie avec la (angenlc^ menée \\ A au point ;/■,, e\ ). c o- i • i'-
Tangentes doubles de la courbe enveloppe.
7S. il est aisé de déterminer dii'eclement le nomhi'e des lauiACnles doubles de la eonrhe enveloppe des drt)iles joignant deux points conjngiH's, e'i'stii-dire le nombre des droites qui passent par deux eonpies de poinis e(mjni;ués dans le systf-me donné .v.
\a\ ionetion f{t), cori'espondanl ;i nne de ces droites, sera de la lorinc (n" .iS, remar(|ne II ]
l"ji ('crivant, comme plus haut, les // — l relations (jni lient /',, p.. />,: d et qui sont de la l'orme
<> =r (t^ii/i, /i, + /'//'oH- '/i7';i) + '^';t '»',t>i + ■ ■ •) -)-. . ..
///,, ... étant <les constantes, ini oh tiendra, par l'eli minai ion de il , */„ , ,
deux e([nations de degré // — \ en p, , p., />,. I^es deux e(|uations se présenteront sous la lorme de deux déterminants i(lenti(|iies l'un ii Tanlre, a nne ligne [très, et l'on sait (|ne deux pai'eilles é(|nations sont verilii'es. en
g'/'uéi'al, par ',(// — 4)(" — '^) svsti'mes de valeui's de —, — ■ Ainsi :
TnKoiir.Mi:. — Il existe .'. In — 3 ) { n — '| : droites //ni passent par deti v couples lie points eonjiigtii'S. et (pii sont, par suite, des tangentes doubles de I enveloppe.
~\). Si .V ost la somme des deux ariiiimeiUs e, et e\ d'un [loinl doulile de S, ee iiomijre de tangentes doubles se réduit, comme on le voit aisément.
Propriétés de la courbe enveloppe.
■SU. La courbe enveloppe des droites D. qui joignent deux points conjugués dans un système donné s, touche la courbe S en un certain nombre de points, que nous allons déterminer.
Sdit un point ([uelconque de S, d'argument /. Les valeurs proportionnelles de 7., et Xo, (|ui correspondent aux // — 2 droites D (ju'on peut mener par ee point, sont données par l'équation
(63) 0= [x>o\{l) + x,o,(t)][/,{x,,x,)o',(t)-\- J\(a,, y.,)(fl{t) + . . .] (11" TV);
/'. /"., sont les valeurs proportionnelles trouvées plus haut pour [i,, [i., . .., c'est-à-dire des [)olynônies de degré /> — '^ et homogènes en y.,, a,, . . .. L'éqiiatioii (()3) admet tout d"al)ord la solulion
([ui correspond évidemment à la droite joignant le point considéré, d'ar- ;;iiment /, au point d'arguments — /.
(kda posé, remartjuous que les points de S situés sur l'enveloppe des droites n sont évidemment les points dont les arguments sont t(ds (|uc
rc(]uation (()■)) ait deux racines égales en — > et qu'en ces points l'enve-
|o|q)c |(uiche la droite D qui correspoml ;i la racine double.
Or, parmi ces points, nous rencontrons ceux dont les arguments / sont t(ds ([uc les deux facteurs du second membre de l'équation (G3) aient une racine commune, c'est-à-dire ceux dont les arguments satisfont à l'é- (juation
(6', ) o=y,[o, (0- - ?, (0]?UO +./2[?; (0- - ?', (0] o'UO +• • • ■
Soit /u une solution de cette équation. La droite Do, joignant les points d'arguments („ et .s — /„, coupe S en des points dont les arguments vérifient re(|uution ((')3)
( 8i ) a',' et x',' satisfaisant à la relation
Dr la toiution
./(:<?,:<^)9,(0-^---, c'est-à-dire
s'annule, par hypothèse, pour / = /„ : les deux facteurs du second nicnduc de l'équation (G3 bis) s'annulent donc séparément pour/ =/„. et, par suite. la droite D^, est tanirente ;i S au point t„.
D'un autre côté, nous avons vu que l'enveloppe des droites D passait [i;ir le point /„ et y touchait la droite 0. correspondant ;i la racine douhle
Cette droite D est ici la droite Do. et. par conséquent :
fM courbe ern'eloppe des droites I) /ondic S en fous les points dont les aru,timents vérifient V équation (04).
Cette équation est de la forme
(63) 0(o = io,(O9','(Oo'," '"'(0=o (/,=o, I, .../,-3),
Oj{t) étant fonction linéaire et homogène des fonctions o!,, ol, . . . de l'équation (G3).
Or, dans le parallélogramme lo, «o/, o,{/) a // — 2 zéros; g', et o\ en ont deux: il en résulte immédiatement (|ue le premier memhre île la relation (65) en aura
(«—■?,) + '?(// — 3), c'esl-à-dire 3// — 8.
La somme desdeux zéros de o, ou 9, étant s, celle tles// — 2 zéros de 9,(/) est -{'ù-{- nio') — s, et celle des 3« — 8 zéros de 0(/) sera évidemment
Ainsi :
V enveloppe des droites D touche S en 3 /^ — 8 points, dont les arguments ont
pour somme
à des multiples près de <■>. // o .
H. Il
81. Si ^ est la somme des deux arguments p,, p', d'un [loiiil double de S, ou verra de même que l'enveloppe touche S en 3« — lo points dont les arguments ont pour somme {n — 5)s-h " Uo + «<■/); ce qu'on peut énoncer
ainsi :
Soit E un point double d'une courbe S de degré n et de genre un : les courbes de degré n — 3 qui passent par les autres points doubles de S coupent cette courbe en deux points mobiles; la droite cpu Joint ces points enveloppe une courbe unicursale de degré 2{n — V). ''/^' classe {n — 3), f/ui touche S en 3 /i — 1 o points dont les arguments ont pour somme [n — '))s -\- - {o, -h n o>' ] à des multiples prés de co, n w' .
lY.
Propriété géométrique des couples de points conjugués.
82. Théorème. — Le conjugué harmonique par rapport à deux points conjugués dans un système s, du point où la droite qui les Joint coupe une droite fixe, décrit une courbe unicursale de degré n ( ' ).
Soient, en effet,
l'équation de la droite fixe considérée, / et ^ — / les arguments de deux points conjugués IM et N; le conjugué harmonique du point d'intersection des droites U et MN, par rapport aux points M et X, a pour coordonnées
\l=\}{l)X,{s~~t)-\^\}{s^t)Xi{t) (/= 1,2,3),
étant posé ■
U(0 = «■•'■■(0 + ai-^i-At) -+- rt3^r3(0,
U(.V" /) — a^.i\{s~- t) + n,x,{s — t.) H- a^x^{s — t). Les deux fonctions ^ et t^ sont doublement périodiques aux périodes w,
//(./d'ordre 2n; de plus, elles ne changent pas, si l'on y remplace/ par* — /. Il en résulte (n"' 32 et 33) que la courbe décrite par le point (X,,X.,X3)
est unicursale, et de degré ^, c'est-à-diii' //. ^, ^. ^^
( ' ) p. d'Esclaibes, Tlièse, p. g.
83. Remarques. — I. Si la droite U passe par deux points de S conjugués dans le système s, d'arguments a et s — a, la fonctiou U(/) s'annule pour / = a et / = 5 — a, et il en est de même de la fonction \}{s — /). Les trois fonctions X,(/), Xo(/), X3 (^ ont donc deux zéros communs, et le degré
delà courbe unicursale décrite par le point (Xi.Xo.Xj) sera ^^^ — '-■: c'està-dire rt — I .
II. Si la droite U est tangente double de l'envidoppe des droites qui joignent deux points conjugués dans le .système .v, le degré sera "— — ' ■ c'est-
;i-dire // — 2.
III. Si la droite U passe par un des quatre points de S dont les argu-
nienls sont respectivement-» -H — > — \ — (•/, -H h - (o , par le
point - par exemple, les fonctions U(/) et \}(s — t) s'annulent pour/= -■
Il en est, par suite, de même des fonctions .\|(/), X.(7), X;,!/). Or, de la relation
on déduit, par dérivation,
Cette dernière équation montre que les fonctions \\\t), X,(/), X', (/) s'annulent pour / =^; - est donc un zéro double de X,(/), X. (/), X3(/), et la
courbe décrite par le point (X,, Xo, X;j ) est de degré n — \.
Il est clair, en vertu de ce raisonnement, que, si la droite U passe par le
|ioint d'argument -> et par deux autres points de S conjugués dans le svs-
tème.y, le degré du lieu décrit par le point (X,,X^,X;,) sera '" ~ '. c'està-dire n ~ 1.
Kn général, si la droite U passe par h des quatre points d'arguments - ,
s (j) s /l , s Ij)
! ) i oj , — I
- OJ , - + - +■ -0)', et par // couples de points conjugués dans
le système s. le lieu du point f X, . X,. X, ) sera de degré ^ " ~ ^ ' " ^ ' . c'està-dire u — Il — 1> .
lïXEMPLE. — Sur une courbe S du quatrième degré et de genre un. le eonjuguè harmnnujue par rapport à deux points conjugués dans un systè/ne s, du point oii la droite qui les joint coupe une droite fixe, décrit une conitpu' pour quatre
( 8i ) /Kisilions (le la droite fixe. Les (judlre droites en //iiestio/i sont eelles (/ai joignent
