I .; ;• S 3.Ç S ',1 is (,) S

tes potes a (irifuments -et ; — l et 1 ; \ h 2<o ri

1 h 2(0 ; h 2w et + 2(0 .

3 ç La conique devient une droite si — '— est égal à l'une des quantités

H- -) - + 2(o', - + - + 2(o', c'est-ii-dire si s a l'une des douze valeurs

/' 01 , , , , Il ',) 7 . , 0) , ll',\ 1,1111 ■•

h 2h (0 ; (o H h 2« (0 ; T -1- t^') -\ h 111 (O ; [II, h = o, r

Courbes menées par des couples de points conjugués

84. TiiKORÈMF,. — Les courbes de degré n — i passant [)ar k ^ jjoi/its doubles donnés de S, et dont les autres points d'intersection avec S sont deu.r à deux conjugués dans un même système s, foj'inent un faisceau.

Soit ^1 la somme des ik^ arguments ijui correspondent aux/-, points doubles donnés; on aura

«1 + [ i n ( « — 3 ) — /, I ] ,•,■ = ^ /( ( « — 3 ) ( 01 + /( oi' ) + h 01 + «// 0)',

Il et II étant des entiers qu(dconques. On tire de l;i, pour*, ((^ — /•,)-' valeurs (à des multiples près de (o, «o/).

Il y a donc ((5 — X-, )- systf'mes de courbes de degré {n — 3) répundant à la question.

Soit la fonction /(/) qui correspond aux courbes de l'un des systèmes. On a [Uem. II, n"58)

/(O^ 'MO [/',?,(/) +--- + />o-/.,-.,9ô-a-,-m(0].

/>,,j>2^ ••• étant des constantes. Pour que les zéros (ley'(/) soient les arguments de points situés sur une courbe de degré (n — 3) passant par X-, points doubles, il faut que /j,,/>2, .■■,p?, a,+i vérifient î^ — /•, — r relations linéaires et homogènes (n"* 4.5, .50, .51 ).

Ou pourra donc exprimer ?i — /, — i de ces constantes en fonction linéaire cl lioniogi'ni' (l(>s deux autres, et l'on aura

p^ et p., étant des constantes arbitraires. L'équation générale des e()iirl)es de degré ( // — 3) appartenant au système considéré est donc de la forme

et ces courbes forment un faisceau.

Sô. Plus généralement considérons les courbes de degré (« — 3 , passant par k\ points doubles donnés de S. On peut les assujettir à couper en outre S en f5 — X-, — i couples de points conjugués dans un système donné s; si ce système n'est pas un des [^ — X-,)- systèmes définis au numéro précédent, la somme des arguments des deux derniers points d'intersection avec S des courbes considérées aura une valeur constante s' différente de ,v.

La fonction /(/) correspondant ii de telles courbes sera de la forme

/'(O = {Pi,Pi, /''ô-/„)(,3i, '^i^i-

Les constantes />, forme

S, sont liées par 1^ ~ X-,

On déduit de là les relations

relaliiiiis (le la

/,, ... étant des polynômes homogènes de degré '^ — X, - 1 eu ;^, et ';,. L'équation générale des courbes de degré (// — 3 : cnusiderees sera doiic d(> la forme