Sur les déformations et l'extinction des ondes aériennes, isolées ou périodiques, propagées à l'intérieur de tuyaux de conduite sans eau, de longueur indéfinie

SUR LES DÉFORMATIONS ET L’EXTINCTION DES ONDES AÉRIENNES, ISOLÉES OU PÉRIODIQUES, PROPAGÉES A L’INTÉRIEUR DE TUYAUX DE CONDUITE SANS EAU, DE LONGUEUR INDÉFINIE;

Par M. J. BOU£SINESQ.

I. La propagation du son, le long des tuyaux de conduite pleins d’air, a été étudiée théoriquement, dans l’hypothèse de mouvements pendulaires d’assez faible amplitude pour permettre la réduction des équations à la forme linéaire, d’abord par M. von Helmholtz (1), en négligeant les échanges alternatifs de chaleur entre la paroi et la couche gazeuse contiguë, puis par Kirchhoff (2) en tenant compte de ces échanges. Les formules auxquelles ils sont parvenus, différentes seulement par la signification du coefficient au moyen duquel s’y exprime l’influence extinctrice et retardatrice de la paroi, ont été récemment employées par MM. Violle et Vauthier, dans un Mémoire des Annales de Chimie et de Physique (mars 1890, 6e série, t. XIX) où ceux-ci ont publié et discuté leurs remarquables observations, faites à Grenoble, en 1 885, sur un tuyau de conduite neuf de om, 70 de diamètre et près de i3km de longueur, parcouru plusieurs ‘fois par chaque onde que réfléchissaient successivement, aux deux extrémités, des parois planes y fermant le tuyau perpendiculairement à l’axe. Mais ces observations n’ont guère été relatives qu’à des ébranlements non périodiques, d’une durée totale restreinte auprès de chaque section, et dont les plus caractéristiques consistaient en ondes condensées produites, comme dans de mémorables expériences antérieures de Régnault, par des coups de pistolet tirés à une extrémité du tuyau, devant un orifice percé au centre de son fond plat et que l’on bouchait aussitôt après. Or, malgré quelques systèmes de mouvements vibratoires qui, surtout dans les premiers instants de la propagation, se superposent à fonde générale, ou la sillonnent transversalement, et lui permettent d’affecter l’organe de l’ouïe, de telles intumescences

(') Verhandl. d. natur. Vereins zu Heidelberg , t. III, p. 16; i863.

(a) Poggendorff’s Annalen, l. CXXXIV, p. 177; 1868.

où l’air est condensé presque d’un bout à l’autre, diffèrent profondément de la suite périodique d’ondes, à égales dilatations et condensations alternatives, supposée par les formules de MM. HelmhoJtz et Kirchhoff. Aussi MM. Violle et Vauthier ont-ils trouvé que celles-ci indiquaient, pour un parcours donné, un affaiblissement de la pression incomparablement plus rapide que le vrai et, au contraire, un ralentissement de la propagation presque négligeable vis-à-vis des petits ralentissements réels, observés déjà par Régnault.

La principale raison d’aussi graves désaccords ne se trouve sans doute pas dans l’assimilation, qui doit être permise approximativement ou comme premier aperçu, d’une intumescence isolée, d’une certaine longueur apparente, à la moitié convexe d’une onde d’un système périodique où chaque demi-ondulation aurait cette longueur. Mais elle est évidemment dans la confusion établie entre l’intumescence entière cheminant le long du tuyau et les ondes sonores successives, beaucoup plus courtes, qui la sillonnent, auxquelles seules conviennent le ralentissement et le coefficient d’extinction calculés. Ceux-ci, en effet, d’après les formules théoriques, sont, l’un, c’est-à-dire le ralentissement, en raison directe et, l’autre, le coefficient d’extinction, en raison inverse, de la racine carrée de la durée de vibration, ou de la racine carrée de la longueur d’onde; et ils deviendraient, par suite, le premier, bien plus sensible, mais le second, bien plus faible, si on les évaluait pour des ondes aussi longues que l’intumescence entière, à laquelle MM. Violle et Vauthier ont effectivement reconnu beaucoup plus de longévité ou de persistance qu’aux sons accessoires qui l’accompagnent au début.

II. Ainsi, les désaccords sont plus apparents que réels, malgré Ja portée restreinte ou le défaut de généralité des formules. Néanmoins, il y a évidemment lieu de reprendre le problème au point de vue théorique, en attribuant, aux condensations et aux vitesses successivement produites sur une même section quelconque, des expressions non plus pendulaires par rapport au temps, mais affectées d’une fonction arbitraire, propre à représenter les diverses successions possibles de pressions^ou de déplacements directement réalisables près de l’entrée du tuyau. Tel est l’objet du présent travail.

Une question assez analogue d’ondes liquides, mais plus simple, celle de l’extinction graduelle d’une intumescence, d’une onde solitaire par exemple, le long d’un canal, par les frottements produits surtout près du fond et des bords, peut suggérer la méthode à suivre : je l’ai traitée au § II (nos 9 à 19) d’un Complément à ma Théorie des eaux courantes, publié en octobre 1878 dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées (t. IV, voir les p. 347 à 366). Là aussi, les principales résistances au mouvement sont localisées dans une mince couche contiguë aux parois, où les vitesses varient très rapidement, sur une épaisseur insensible, depuis la valeur zéro maintenue constamment sur la face extérieure, jusqu’aux valeurs complètes relatives à l’intérieur de la masse fluide et réalisées déjà sur l’autre face de la couche, valeurs pouvant être une fonction arbitraire donnée du temps. Les vitesses et les frottements, dans l’épaisseur de cette couche, s’expriment par des intégrales définies simples, prises de zéro à l’infini, mais dont malheureusement la sommation, possible à la rigueur après spécification de la (onction arbitraire, ne paraît eflectuable sous forme finie que dans peu de cas, parmi lesquels le plus simple peutêtre est justement celui de mouvements pendulaires. D’ailleurs, le serait-elle toujours, que l’utilisation de ses résultats exigerait encore une connaissance assez précise, théorique ou expérimentale, de la forme affectée par chaque variété d’ondes, forme dont dépendent les circonstances cherchées de la propagation. De là, une grande difficulté pour calculer l’affaiblissement graduel des intumescences. Mais, du moins, quand il s’agit d’une onde solitaire, dont le profil, éminemment stable pour chacune des valeurs successives décroissantes de l’énergie totale, se trouve représentée par une fonction toujours la même d’une variable à expression linéaire par rapport à l’abscisse et monôme par rapport à la hauteur ou à l’énergie totale de l’onde, le lent décroissement de cette hauteur ou de cette énergie se détermine facilement, à l’exception d’un facteur constant dans le calcul duquel reste incluse toute la difficulté de la quadrature ineffectuée.

Or, au contraire, les ondes aériennes condensées se propageant le long d’un tuyau ne tendent, avant leur extinction, vers aucune forme commune. Aussi, quoique une double application de la formule d’ Analyse, à intégrale définie simple, utilisée dans le cas des

ondes liquides, permette d’y exprimer, d’une part, les frottements successifs de la paroi, avec les vitesses réalisées dans la couche conliguë, d’autre part, les densités propres à cette couche, et ensuite de former les équations de mouvement des tranches gazeuses normales à l’axe, d’évaluer les vitesses de propagation des divers éléments de masse de l’intumescence, etc., il n’y a guère que les circonstances générales de sa déformation et de son extinction qui puissent facilement se reconnaître sur les formules. Les principales de ces circonstances, bien d’accord avec les résultats de l’observation, consistent dans un aplatissement et un allongement indéfinis de l’onde, du moins après une première période assez courte où son sommet s’est rapidement, s’il y avait lieu, rapproché de son front, c’est-à-dire de sa face antérieure, qui reste d’ailleurs très sensiblement plane à toutes les distances de l’extrémité de départ.

On verra que la théorie indique de plus, entre le coefficient d’extinction et le ralentissement causé par la paroi, une relation approximative, à laquelle les expériences tant de Régnault que de MM. Violle et Vauthier apportent une certaine confirmation.

III. Avant d’étudier l’influence de la perméabilité calorifique et du frottement de la paroi du tuyau sur les ondes, censées venues de loin, que propage la masse gazeuse remplissant celui-ci, supposons nulle, pour un instant, cette double influence, afin de pouvoir admettre partout la forme plane des ondes avec le parallélisme des mouvements à l’axe (rectiligne), c’est-à-dire tout à la fois, la parité absolue, à chaque instant, de la température, de la pression et de la vitesse, sur toute l’étendue d’une section normale quelconque du tuyau, comme si le milieu gazeux était latéralement indéfini. Alors, dans les équations indéfinies de mouvement du fluide,

i / «?N.r dTz dTy\ ,

p \ dx dy + dz J ~ U ’ i /dT~ «?Nr ,

p \ dx "+* dy dz ) V ’

I fdTy dTx dNz\ ,

p \ dx dy dz ) W ’ dp d.pu d.pv d.ow

dt dx dy dz

où les composantes N, T de pression ont les formules respectives, à deux coefficients de frottement intérieur ou d’imparfaite fluidité e, £, — 2 S,

/ du dv dw \ dx ’ dy ’ dz

les composantes transversales c, w de la vitesse seront nulles, et sa composante u , longitudinale, ou parallèle à l’axe du tuyau choisi pour axe des x, dépendra seulement de x et de t , ainsi que la densité p, la température absolue T et, par suite, la pression élastique /?, proportionnelle au produit oT.

Appelant p0 , p0, T0 la pression, la densité et la température constantes primitives, posons

P — Po ( i Y ) » T — T0(i-4-t),

où y, t désignent ainsi la condensation et réchauffement relatifs dus au passage des ondes. On sait, par le premier principe de la Thermodynamique, que, si M désigne la masse d’une particule gazeuse et G son calorique spécifique à volume constant, la quantité de chaleur (évaluée, comme C, en kilogrammètres) qui

pénètre du dehors par sa surface, durant un instant dt où sa densité et sa température croissent respectivement de dp et de dT , a comme expression, en appelant finalement m — i le rapport

constant — ^ CpT

dQ = M ( G dT -h p d--j = M ( C dT

P dp

= MCT = MCT

(±-m±\ = mCTdlos-P-.

De plus, l’accord très satisfaisant de la vitesse expérimentale du son avec sa formule théorique donnée par Laplace, montre l’extrême petitesse des échanges de chaleur s’effectuant dans les sens parallèles à la propagation, ou entre les couches gazeuses successivement atteintes par les ondes; de sorte que l’on peut

écrire ici 6/Q = o, et supposer la pression p proportionnelle à pm, c’est-à-dire à (i -4-y)m. Nous aurons donc

(5) p — /?0(i -f- y)7” dans une onde latéralement indéfinie,

ou mieux, en substituant à /?0 sa valeur en fonction de la vitesse connue a du son, exprimée par \/mfo’

po«2

Enfin, les frottements intérieurs ou autres parties non élastiques des pressions seront assez faibles, pour qu’on puisse négliger, dans (2), les termes non linéaires qui contiendraient en facteur, outre une dérivée partielle des vitesses u , v, w , la petite variation des coefficients e et e, — -2e due au changement relatif t de la température, ou aussi à la condensation y (si s, e, — 2 s dépendaient sensiblement de la densité, ce qui ne paraît pas avoir lieu), quantités évanouissantes avec l’amplitude des ondes. En d’autres termes, les valeurs de s et de £1 — 2s à introduire seront celles de ces coefficients pour la température et la densité primitives constantes p0, t0. Et, de même, le diviseur p pourra être réduit à p0 dans les termes des premiers membres de (i) où figureront e, .

Cela posé, en observant que les hypothèses faites annulent e, w, v', w>' et rendent u, y fonctions seulement de x et de les valeurs (2), (3) des N, T et de p, après substitution à p de son

expression (6) et à u! de ^ -h u ^ ? réduiront les quatre équations (1) du mouvement aux deux suivantes :

~dt + a

r )m~l -p- A- u —j— 1 dx

d . u y dx dx

d 2 u p0 dx 2

IV. A une première approximation, où sont négligeables les termes non linéaires en u et y, ainsi que celui où figure le petit coefficient s,, ces deux équations deviennent

du dv dv du

Tt+a Tx=°' dt+dï=°-

DES ONDES AÉRIENNES, DANS LES TUYAUX DE CONDUITE, et elles donnent, par l’élimination de u ,

dt2

L’intégrale générale de cette dernière doit être spécifiée pour les ondes dont il s’agit ici, propagées au sein d’un gaz en repos.

Admettant, par exemple, qu’à une époque initiale très ancienne, y, u s’annulassent pour toutes les valeurs de x comprises entre une abscisse négative fort grande et x = cc, on peut convenir de n’étudier le mouvement ultérieur qu’en ces endroits, où le fluide était primitivement immobile. Alors, si cp désigne une fonction, d’ailleurs arbitraire, s’annulant pour la valeur H-00 de sa variable, il vient, comme on sait, y=zo(x — at ); après quoi la

seconde équation (8), écrite — ay + u) = o et intégrée sous

la condition imposée que les deux fonctions y, u s’annulent pour x infini positif, donne u — ay, valeur rendant identique la première (8), vu l’expression de y. L’on a donc, à une première approximation,

(10) y = cp(a? — at), u=-av(x — at);

formules d’où il résulte que toute fonction des deux quantités u ,

/< » /-» co

y, et même toute intégrale comme / y dx — / cp(a) dx, ...,

d X dx — at

dépendent presque uniquement de la variable x — at , et admettent la formule symbolique approchée de différentiation

dt a dx

A une deuxième et suffisante approximation, les termes de (7) qui ont pu être négligés dans (8) seront donc évaluables par les formules (10), (11); ce qui permettra de remplacer, au besoin, dans ces termes ou dans leurs dérivées, u par a y et les différentiations relatives à t par d’autres relatives à x. Si, d’ailleurs, à (1 H- y)w-2 l’on substitue non plus l’unité, mais la valeur beaucoup plus exacte i + (m — 2) y, ces équations deviendront

du „ dy dï+a ~dx

d dx \

s 1 dy ■ p—J-a-dpo dx

du d. y2

7hc^a~d^

Différentiées la première, en #, la deuxième, en t , puis multi-

pliées respectivement par — i, 4-1 et ajoutées, elles donneront comme équation en y, au lieu de (9), une relation de la forme

dt2 dx 2 dx ’

dx p0 dx 2

Son intégration, pour les ondes dont il s’agit, propagées vers les x positifs et à la tête desquelles s’annule K, permet de la remplacer par l’équation, du premier ordre en £,

dy dy K

dt dx ‘±a

d’après une démonstration (utile dans l’étude de plusieurs sortes de mouvements ondulatoires), que l’on peut voir aux p. 364* et 365* du tome 11 de mon Cours d’ Analyse infinitésimale . En substituant à K son expression, il viendra donc, pour déterminer les déformations successives de l’onde, l’équation

dy dy m- 1- 1 d. y2 £t d2 y dt dx 4 dx 2p0 dx 2

V. Cette équation implique la conservation, à toute époque, de la somme f y dx, prise sur toute la longueur de l’onde ou entre les limites ^ = ztoo, et elle entraînerait aussi l’invariabilité de l’intégrale f y 2dx entre les mêmes limites, sans l’imperfection de la fluidité, c’est-à-dire si l’on avait = o. En effet, l’équation ( 1 5 ) , multipliée soit par dx , soit par 2y dx, et intégrée de x = — co

à x — oo: en observant, d’une part, que 2 y égale (f y3) et que

d2 y , , d2. y2 dy2 ,, dy

2Ï 555 eSale Tfo* - 2 dk’ d autre Part’ tIue Tx

tête et à la queue de l’onde, donne simplement

s’annulent à la

Les deux sommes / y dx, f y 2 dx sont donc, la première, invariable, mais, la deuxième, sans cesse décroissante, sauf quand e, =0.

C’est ce qu’on aurait pu prévoir : car, <r désignant l’aire de la section du tuyau, le produit de la première par le facteur constant p0<T, savoir p0(jfydx} ou f (p — p0fidx, représente évidemment la masse totale de l’intumescence, quantité de matière gazeuse ini-

tialement introduite à l’entrée du tuyau, en sus de l’air qu’il contenait à la densité uniforme p0; et l’expression p0a2<r f v2dx, proportionnelle à fy2dx, représente très sensiblement, à toute époque, V énergie totale de l’intumescence, c’est-à-dire le travail qu’elle emmagasine, non moins constant que sa masse quand on néglige l’imperfection de la fluidité. Effectivement, d’une part, V énergie actuelle ou demi-force vive de l’onde, u2 p(<r dx), c’est-à-dire, à fort peu près, /^(ay)2 p0ar dx, constitue Ja moitié de l’expression considérée p0a2o- f y2 dx\ et, d’autre part, son énergie potentielle ou de ressort, qui est, pour chaque particule de masse M M

et de volume — > le travail que produirait, durant sa détente, la partie variable (seule active) p — jO0 de sa pression, savoir

= (sensiblem.) — — f my dy ou -Ma2 y2, é-ïierg. act. delà part., Po d0 2

sera de même, pour toute l’onde, ^p0 a2 <7/ y 2dx, ou l’autre moitié de l’intégrale considérée.

VI. Imaginons une famille de plans, normaux à l’axe du tuyau, et mobiles de manière à intercepter sans cesse entre eux une même masse d’intumescence, ou de manière que chacun, dont# désignera l’abscisse à l’époque t, ait sans cesse devant lui une partie constante tu— / y dx de l’intégrale / y dx, qui mesure proportionnellement la masse totale de l’onde. Alors la vitesse de transport^ de l’un quelconque de ces plans sera ce que l’on

peut appeler la vitesse de propagation de l’élément contigu dvs — — y dx d’intumescence, et, en la désignant par to, la diffé-

rentiation de l’égalité m—l y dx par rapport au temps, sous la

condition ts = const., donnera

ïmH~X -dtdx=o'

ou bien, en substituant finalement à i sa valeur tirée de (i5) et R. 1.

J. BOUSSINESQ. — DÉFORMATION ET EXTINCTION effectuant l’intégration,

\£dTtdx=a(:

£1 l dj\

•ipoa y dx J

Si, pour figurer l’onde par une courbe, on attribue à chacun de ses éléments dm, d’abscisse horizontale actuelle x et de longueur actuelle dx (prise en valeur absolue), une ordonnée verticale représentative, égale à la condensation correspondante y, et que d’ailleurs l’onde ait reçu initialement une forme simple où y, à partir de zéro, s’élève peu à peu, depuis la tête ou le front de l’onde jusqu’à un certain sommet ou maximum y*, pour décroître de même graduellement de y1 à zéro entre le sommet et la queue, les deux éléments dm de même hauteur actuelle y, situés l’un en avant et l’autre en arrière du sommet, auront évidemment des vitesses de propagation inégales; car, dans la parenthèse de (17), le terme en e*, seul différent de l’un à l’autre, sera positif pour le premier, à pente C~ négative, et négatif pour le second, à pente

positive. Il est clair que, par l’effet de ces célérités inégales, l’espacement des éléments dm antérieurs et postérieurs augmentera, entraînant, du moins en moyenne, une augmentation de leurs longueurs dx et une diminution corrélative de leur hauteur y, qui est, dans chacun, inverse de la longueur. Ainsi, grâce à l’imperfection de la fluidité, exprimée dans (17) par le terme en e, considéré, l’onde s’allonge et s’aplatit, comme aurait pu le faire prévoir la seconde formule (16), où l’intégrale f y2 dx = f y dm ne peut décroître continuellement sans que la valeur moyenne de y diminue.

Mais il y a plus de complication dans la manière dont se déforment séparément les deux parties de l’onde qui s’étendent, l’une, de la tête ou du front au sommet, l’autre, du sommet à la

queue; car, suivant le plus ou moins de pente qu’elles offrent

aux divers points de leur longueur, le dernier terme, en de la parenthèse (17), peut ou non l’emporter, dans des mesures variables aux endroits soit bas, soit hauts, sur le précédent, simplement proportionnel à y, et rendre plus prompte à l’avant, plus lente à l’arrière, tantôt la propagation des éléments dm de faiblehauteur y, tantôt celle des éléments dm plus élevés.

DES ONDES AÉRIENNES, DANS LES TUYAUX DE CONDUITE. n Lorsqu’on admet assez de petitesse soit dans le coefficient e(, soit dans les pentes et surtout, par suite, dans les courbures

pour rendre le dernier terme de (17) ou celui de (i5) négligeables devant les précédents, les éléments dm qui correspondent aux plus grandes hauteurs y sont évidemment les plus rapides; et le sommet se rapproche sans cesse du front ou s’éloigne de la queue,

en adoucissant de plus en plus les pentes ^ à l’arrière, mais, par

contre, en les accentuant à l’avant jusqu’à ce que le terme en e, y prenne de l’influence et les empêche de devenir abruptes, ou le sommet d’être à pic, de surplomber presque.

On le voit, du reste, plus simplement, par l’intégration exacte de l’équation (i5) où le terme en est actuellement négligèable, intégration dès lors facile qui donne

x — a|i + m 1 yjt ou x — (a- h m 1 u}jt = fond, arbitr. de y ; ce qui oblige à attribuer une vitesse vers les x positifs,

uniformément croissante avec y (ou avec m), à chaque ordonnée y, invariable en grandeur.

Il n’existe donc pas de forme permanente pour l’onde, quand on néglige les frottements; et la seule qui le soit lorsqu’on en tient compte est celle qui suppose l’annulation totale de l’énergie, ou qui a pour équation y = o, forme limite n’exprimant que l’extinction finale du phénomène. Ainsi une intumescence aérienne isolée se distingue complètement, sous ce rapport, de fonde liquide solitaire propagée le long d’un canal, qui comporte et affecte une forme permanente bien déterminée pour chacune des valeurs successives de son énergie, également décroissante sans cesse (* ).

(J) Il n’en serait plus tout à fait de même pour une intumescence continue, c’est-à-dire pour une onde sans queue, où la hauteur représentative y, nulle à la tête x — 00 de l’onde, tendrait peu à peu vers une cerlaine valeur 2 c et s’y maintiendrait asymptotiquement jusqu’à x — — 00 (ce qui implique une énergie totale infinie)', car il suflirait, pour lui conserver sa forme, de lui donner celle

VJI. Mais voyons comment le frottement de la paroi du tuyau et sa perméabilité calorifique modifieront ces lois, en annulant, sur tout le contour y. des sections normales <7, la vitesse u du fluide et les variations relatives t de sa température.

Et, d’abord, la petitesse tant du coefficient £ de frottement intérieur de l’air, que de sa conductibilité calorifique, localiseront dans une couche très mince les perturbations considérables qu’entraîne une pareille immobilisation du fluide et de sa température, de manière à laisser subsister très sensiblement, à l’intérieur des sections, la forme plane des ondes, ainsi que la longitudinal! té des mouvements, avec leur parité du centre jusque auprès du contour et celles de la condensation y, de la température T, enfin, de la pression p. Ce ne pourra être, du moins, que dans des ondes très longues et assez loin en arrière de leur tête, c'est-à-dire après une action prolongée des frottements et de la conductibilité sur les mêmes particules fluides, que les perturbations dont il s’agit auront eu le temps de se propager, avec une intensité notable, jusqu’à des distances de la paroi comparables au rayon du tuyau. Aussi MM. Violle et Vauthier ont-ils constaté que le front de l’intumescence garde indéfiniment sa forme plane, jusqu’aux points les plus rapprochés de la paroi (om,o8) où ils eussent installé un appareil indicateur de l’arrivée de l’onde.

On le conçoit, du reste, d’autant mieux, que la forme plane s’y rétablirait presque instantanément si quelque cause accidentelle l’y avait altérée; car les premières particules, centrales ou périphériques, atteintes par le mouvement sur une section a-, trans-

qui rend l’expression (17) de w indépendante de x ou lu même d’un bout à l’autre de l’onde, et qui assure, par conséquent, avec des espacements constants dx entre les éléments successifs dz, j = y dx , la permanence de leurs hauteurs y.

La parenthèse de (17) s’y réduisant à 1 -+- —~~~c pour x= — oc où y=2 c^const.,

il viendra, comme équation du profil qui définit cette forme,

ou bien

/ N Po CL ,

— (m + i) - — dx,

et, en intégrant,

log

DES ONDES AÉRIENNES, DANS LES TUYAUX DE CONDUITE. i3

mettraient aussitôt ce mouvement au devant d’elles près des parois non moins que près de l’axe, sur toute l’étendue des zones sphériques de rayon croissant les ayant pour centres.

Donc, les formules (5) à (11) continueront à subsister dans l’intérieur des sections, du moins à une première approximation.

Cela posé, si, considérant un élément clf du contour de la section quelconque cr, d’abscisse x, et, en même temps, une portion contiguë à aèy, sensiblement plane, de la couche superficielle où sont localisées les perturbations, l’on appelle N, dans le plan de a-, une coordonnée rectiligne normale à d’y, introduite pour mesurer la distance à la paroi de chaque feuillet de cetle portion de couche, la vitesse a et la condensation y, très rapidement variables à partir de la paroi ou pour les très petites valeurs positives de N, deviendront sensiblement indépendantes de cette variable dès qu’elle atteindra une grandeur appréciable; et elles tendront alors, à fort peu près, vers des expressions de la forme (io), savoir u = av(x — at), y=iv(x — cit).

Mais formons, au même degré d’approximation, les équations indéfinies du mouvement troublé, pour l’intérieur d’un pareil fragment de la couche superficielle.

Les composantes transversales e, w de la vitesse, milles, comme u, à la paroi, mais nulles de plus à l’intérieur, sur l’autre face de la couche, seront négligeables partout, comparativement à w, et, de même, les accélérations latérales e', wf disparaîtront à côté de l’accélération longitudinale elle-même réductible, ici,

à son terme principal ou linéaire • Enfin les deux dérivées secondes de u soit en x et y, soit en x et s, pourront être négligées vis-à-vis des dérivées secondes de u par rapport aux coordonnées

transversales y ou z, vu que les dérivées ^ et nulles à l’intérieur de la couche, prennent leurs très grandes valeurs, dans chaque section cr, le long de chemins N extrêmement petits, mais, au contraire, varient graduellement suivant le sens des x. Il suit de là que, dans les trois premières équations indéfinies (i) du mouvement, les valeurs (2) des pressions N, T, différentiées en x ,

y , 3, se réduiront aux termes en p et aux deux termes £ ^ ^ 2 dz2) 9

dont la somme £ + ~JZ2) Pourra évidemment s écrire aussi £ A2 u

i4 J. B0USS1NESQ. — DÉFORMATION ET EXTINCTION

et, finalement, Gomme on sera d’ailleurs libre de remplacer

par p0 les dénominateurs p des premiers membres, il viendra

/ gx ï dp p d^u du i dp i dp

po dx p0 «?N2 dt ’ p dy ’ p dz °

On voit donc que, même près du contour la pression p a ses dérivées en jk et z négligeables à côté de sa dérivée en x, laquelle y est de l’ordre de sA2u. La pression élastique p , partout proportionnelle à pT, ou égale à po(i -f- y)(i -b t), ou enfin, sensiblement, à p0 (i -f- y -f- t), et qui d’ailleurs, d’après (5), devient à très peu près p0 [i H- m <p(x — at )] à l’intérieur, sera ainsi constante sur toute l’étendue des sections, même dans l'épaisseur de la couche superficielle. L’on aura, par conséquent, d’une manière générale,

(19) Y + T = mcp(a? — at).

VIII. Cela posé, pour évaluer d’abord u à l’intérieur de la couche, remplaçons p , d’après (6), par [1 j cp(x — at)\m ou par l’expression sensiblement égale — h-o0a2<p(x — al ), dans la première équation (18); et cette équation deviendra

, , , x £ d2 u du

-a*, (*-«*) + ^3nî=**

ou bien, en observant que cp ne dépend pas de N,

[u — acpO — a«)J= “ — acp(x — a*)]-

Ainsi écrite, elle a la forme de l’équation classique des températures dans un mur, et contient comme fonction inconnue l’excès u — acp, égal à — acp pour N= o, mais très sensiblement évanouissant dès que N acquiert des valeurs positives perceptibles. Les valeurs notables de la fonction u — ■ acp, réalisées toutes dans le voisinage de la paroi ou de N = o, seront donc à fort peu près celles de la température près de la face chauffée d’un mur très peu conducteur, dont la masse intérieure aurait anciennement été portée et resterait, pendant un temps presque indéfini, à la température zéro, tandis que sa couche superficielle subirait, sur sa face externe, -la suite des températures données — av(x — at), sensiblement pa-

DES ONDES AÉRIENNES, DANS LES TUYAUX DE CONDUITE. i5

reilles à un même instant dans tout le voisinage de l’élément de contour dy. L’intégrale (connue) de (20) qui donne u — acp dans ces conditions, est

u — a cp(a? — at) —

^x — at - 1-

«PoN«\ 2 sa2 /

e 2 da,

comme on peut le voir par lesnos346* et 466* de mon Cours d’Artalyse infinitésimale (t. II, p. 178* et 468*), où il est démontré aussi que la dérivée, par rapport à N, de u ou du second membre de ( 2 1), égale

1 ru

x — at -+-

ap0a2 2 £

Ai e 2a* da..

Bornons-nous à en déduire le frottement § qu’exerce, dans le sens des x négatifs, l’unité d’aire de la paroi, sur la couche gazeuse

contiguë, frottement dont l’expression est Il faudra donc

prendre cette expression à la limite N — o, et il viendra, en changeant finalement la variable d’intégration de manière à poser

x — at

ap o«2 2 £

= — 2ap0i/— f v'(x — at->r^)d^.

V 'TCpo J0

da.

IX. Passons maintenant au calcul analogue des variations relatives t de la température, sur les divers feuillets de la même portion de couche gazeuse contiguë à dy , en vue d’évaluer les condensations y, reliées à t par l’équation (19).

A la paroi, c’est-à-dire pour N = o, l’on aura

t = o, ou y = m y (x — at)

et, à l’intérieur, c’est-à-dire dès que N acquerra des valeurs positives perceptibles, y tendra sensiblement vers <p(# — at ), ou t, d’après (19), vers (m — i)cp(.r — at) • L’excès y — cp(# — at) variera donc très vite, comme u , depuis une valeur notable censée donnée, qui est ici (m — 1) cp(.r — at), jusqu’à zéro, quand la variable N, d’abord nulle, passera elle-même par toutes les très

i6 J. BOUSSINESQ. — DÉFORMATION ET EXTINCTION.

petites valeurs positives. Or la relation (4) [n° III] fournit aisément l’équation indéfinie nécessaire pour achever de le déterminer dans cet intervalle.

Appliqués à un feuillet, d’épaisseur c/N et de masse M=p cTN par unité d’aire, du fragment considéré (contigu à dy) de couche superficielle, les premier et quatrième membres de celte relation (4), divisés par dt , donneront, en y remplaçant dT par T0 d'z, c/p par p0 et puis, à fort peu près, p, T par p0, T0,

(23> §=CT.Po«iN [*-(«-: ,)$]•

D’ailleurs, la quantité

de chaleur, reçue par le feuillet durant

l’unité de temps, ne sera plus négligeable comme pour les particules intérieures, malgré l’extrême petitesse du coefficient k de conductibilité de l’air; car, dans l’expression des deux flux calorifiques qui traversent les deux bases du feuillet (suivant le sens inverse de celui des N croissants), cette petitesse du facteur k

sera compensée par l’énorme grandeur de la dérivée — ou

-b “^■7 e/N le multipliant. L’on aura, par conséquent, toujours

pour l’unité d’aire du feuillet, en prenant la différence de ces deux flux après avoir donné à k , sauf erreur négligeable, sa valeur k0 aux température et densité primitives T0, p0,

L’équation (23), divisée, CT0 p0 û?N, deviendra

ko d* t çfc v rfy

p0CdN*“<fc 1 dt *

Remplaçons-y enfin t par sa valeur tirée de (19) et nous aurons, pour régir la différence y — — at) dans toute l’épaisseur de

la couche superficielle, l’équation indéfinie cherchée, analogue

Intégrons celle-ci de la même manière que plus haut l’équation (20), en observant que la valeur de la fonction inconnue pour N = o est maintenant (m — 1) <p(.r — at).

DES ONDES AÉRIENNES, DANS LES TUYAUX DE CONDUITE. 17 La formule de cette fonction sera, pareillement à (21),

(■26) y — y(x — at) = (m — 1)

1 Ajf

«rap0CN2 ^ 2 An a2

Nous aurons, ci-après, à en déduire la valeur de l’intégrale

qui, d'après (a5), est

/ a tT -?(*-“)]

po C J0 dN*

dN = - ) ,

mp 0C \aN/o

et se réduit, par suite, au produit de — — par la dérivée du

second membre de (26) prise à la limite N — o. En évaluant cette dérivée comme, plus haut, celle du second membre de (21), et

puis posant finalement a = S 4 / — x » il viendra 1 J 1 y amp0 C

. t A /** ,/ amp0Ca2\

= cpp-a<+ J «fa

X. Maintenant que nous avons exprimé, en fonction des valeurs de Met de y à l’ intérieur de la masse gazeuse, le frottement exercé d sm surface et les conden sations spéciales qu’elle y éprouve, nous pourrons former, à une seconde et suffisante approximation, les équations de mouvement de tonte une tranche fluide, comprise, à l’époque t , entre les deux sections normales <7 du tuyau qui ont les abscisses respectives x et x -f- dx.

Appliquons d’abord à cette tranche le principe des quantités de mouvement, suivant le sens des x , en écrivant que la somme

dx / M'(p dn ) des produits des masses élémentaires p d? dx qui la d a

composent, par leurs accélérations longitudinales u\ égale celle des actions extérieures exercées du dehors sur la tranche, suivant le même axe des x \ ce qui comprend, d’une part, la somme algébrique

dx ~r I N xd<r des actions normales sollicitant ses deux bases dx J «

et, d’autre part, le frottement total changé de signe, — dx I -f dy, que subit sa tranche.

Dans les premières de ces forces, la partie principale de N* sera la pression élastique changée de signe, — p, constante sur toute l’étendue cr de chaque section, et exprimable par la formule (6) [n° III] où nous pourrons supposer la valeur de y relative, par exemple, au centre des sections. Quant à l’autre partie de N*., due à l’imperfection de la fluidité, et tout entière de seconde approximation, elle pourra être réduite très sensiblement à sa

valeur dans l’intérieur de la section, savoir à £

> '^0,ia

d.a<o(x — at ) ,

quantité dont elle ne diffère dans un rapport notable que sur une étroite zone périphérique de <7, relativement négligeable. Enfin, comme la valeur (22) de § sera la même pour tous les éléments dy du contour d’une section, le second membre de l’équation s’écrira

( =-a<*r|^p<la2(i + Y)'n-1^ —

On le simplifie encore, en observant que p0«2( 1 H- y)m~ 1 n’excède

p°a2^que d’un terme de deuxième approximation, réductible

à p oa^Çm — i)y ou même à p 0a2(m —

Quant au premier membre dx / u'pdv, ou pQdx / (ur-hyu')d<r,

la partie linéaire et principale de u'-\-yu' y est celle de u\ savoir

et son autre partie, de deuxième approximation, peut, comme plus haut celle de N*, n’être prise que dans l’intérieur de <7, où elle se

réduit sensiblement à u +Y~^r et même à a2cpcp'-{-<px( — a1 cp')=o.

Appelons, d’ailleurs, U la vitesse moyenne exacte à travers la section <7 (moyenne très peu différente, évidemment, des valeurs

de u à l’intérieur, ou même de acp), de manière à pouvoir remplacer

r du t d r j d. U a d\ J t ,, , . , , ,

J dv ou J u a<7 par = a- et 1 équation cherchée,

divisée par p0 vdx, sera enfin, grâce à la dernière expression (22) de

dû

~dt

° dx dx L

a2 y(x — at)'2 — — a o'(x — at )

Po 1 J

f ~ at + P2) = O*

La seconde relation nécessaire pour déterminer les variations successives des deux fonctions inconnues U et y est fournie par l’équation dite de continuité , qu’il suffira d’appliquer à l’espace compris, dans le tuyau, entre les deux sections fixes d’abscisses x

et x + dx. La masse gazeuse dx / p d<7 ou p0dx I (î-f-y ) â?<7,

remplissant cet espace à l’époque t , s’accroît dans l’unité de temps de l’excédent, — dx—J'pudcr, de la matière J* p u d<j entrée

par la première section sur celle, d’expression analogue, qui est en même temps sortie par laseconde. Et comme p w = p„(w + wy), il vient ainsi, après division par p0 dx ,

Or, dans le calcul du troisième membre, le dernier terme, de seconde approximation, peut être évalué en négligeant les perturbations localisées sur le contour et en remplaçant même y, u par <p(x — at ), az>(x — at). D’autre part, dans le calcul du premier membre, l’aire totale <7 comprendra : i°, l’élroite zone périphérique, où la condensation y pourra être remplacée par sa valeur de première approximation, égale à celle de y au centre, augmentée de l’excédent de y sur (p(x — at) qui exprime sensiblement cette valeur dey au centre, et, 20, la partie intérieure, principale, où y, devenue indépendante de la distance N au contour, est à très peu près la valeur de y au centre, que nous désignons simplement par y. Le premier membre de (29) se dédouble ainsi en deux termes, dont le plus simple, qui à lui seul l’exprimerait sans

les perturbations produites au contour, est^- C d(T = iJ^~y tandis

que le second, composé d’éléments de la forme

^ Eï — ?(*-«*)]

sera évaluable en divisant la zone périphérique en rectangles élémentaires dN par des normales et des parallèles au contour.

Gomme, d’ailleurs, pour la bande qui correspondra à chaque élément d du contour, l’intégration par rapport à N pourra se faire de zéro à l’infini [à cause de l’annulation asymptotique de y — — at) dès que N devient sensible], la formule (2^ ) four-

nira la valeur de ce second terme, et les deux membres extrêmes de (29), divisés par a-, donneront enfin l’équation cherchée, qu’il faudra joindre à (a 8),

I dv d\ J d. o(cr — aty

j dï+dï+a ‘~~cho

\ <x y T:mp0 LJ ‘

Tandis que les deux équations (28) et (3o) du problème contiennent la vitesse moyenne U sur une section a- et non la vitesse à l’intérieur, c’est la condensation y produite à l’intérieur que la formule (6) de la pression p nous a fait introduire dans la première, (28), et que nous avons employée aussi, par suite, dans (3o), à la place de la valeur moyenne de y sur toute la section a- d’abscisse x , qui aurait figuré plus naturellement dans le premier membre de (3o), en le débarrassant de son dernier terme, le plus compliqué. Si nous appelons T cette moyenne des valeurs de y sur toute une section, le produit, par <7, de son excédent sur la valeur de y à l’intérieur, égalera évidemment l’intégrale de l’expression [y — v(x — at )] dN dj^ prise pour tous les éléments d? — dN dj^ de la zone périphérique, intégrale qui, obtenue en se servant de la formule (27) intégrée de t = — 00 à t=t, est évidemment

Ou aura donc, pour remplacer, au besoin, y par Y dans les équations du problème, la relation