XI. On remarquera que, — at ) eta<f(x — at) exprimant
y et U dans tous les termes de deuxième approximation, les premiers membres des deux équations (28), (3o) ne diffèrent de ceux des précédentes (12) [n° IV] que par l’addition, dans chacune, du dernier terme, où figure une même intégrale définie. Ces deux termes sont donc les seuls par lesquels se traduise l’influence tant retardatrice qu’extinctrice de la paroi. Et ils se réduisent même à un lorsque, après avoir respectivement difîerentié en x et t , puis multiplié par — 1 et + 1 , ces deux équations (28), (3o), on les ajoute pour éliminer U. 11 vient alors en y, comme dans le cas idéal d’une paroi sans frottement et imperméable à la chaleur, l’équation (i3) [n° IV], mais où K, quantité encore nulle à la tête de l’onde (pour x = 00), a l’expression
dx
d v(x — at)
‘<22cp(a? — at )2 — ~ ,
2 1 p o dx
— 2 i* £a J* v(x — at -h P2) d$ j ,
avec un nouveau coefficient p défini par la relation
Dans le cas de l’air à la température ordinaire et sous la pression atmosphérique, on a, d’après MM. Violle et Vauthier (p. 20 de leur Mémoire), en prenant le mètre et la seconde pour unités de longueur et de temps,
et l’on sait d’ailleurs que m = 1 , 4 ou que \m — 1 » i832. Il en résulte
p. = o,oo58,
valeur assez forte, si le tuyau n’est pas d’un diamètre de l’ordre de a ou que le rapport ^ s°it considérable, pour rendre le dernier terme de la parenthèse de (32) très supérieur au précédent, où se trouvera comparable à ~ et atteindra seulement quelques unités du cinquième ordre décimal.
L’équation en y du premier ordre par rapport au temps sera donc encore (i4), c’est-à-dire, au lieu de (i5),
dy dy û? |m + i . £1 dv(x
dt + adï + d* I — «,(»-«*)»- — -J-
at)
dx
<p(# — at -F P2) = o.
On pourra y remplacer, au besoin, y par T ; car la Formule (3i) montre que la différence T — y est une fonction de x — at ou a sa dérivée en t égale au produit, par — a, de sa dérivée en x.
D’ailleurs, la remarque précédente permettra généralement de supprimer, dans la quantité entre crochets de (34), le terme en . On pourra même y effacer le précédent, affecté du carré cp2 de la condensation y, sauf au commencement de la propagation où l’onde n’est pas encore affaiblie et où, comme nous avons vu au n° VI, l’effet de ce terme est de tendre à rapprocher le sommet de l’intumescence de son extrémité avant.
XII. Ici, la masse de l’onde, représentée proportionnellement par f y dx ou mieux par fV dx , n’a plus la même importance que dans le cas d’intumescences rigoureusement planes, parce que l’action des parois ne tarde pas à rendre inefficace une partie de plus en plus notable de cette masse totale, en la disséminant, à l'arrière du gros de l’onde, sur une grande étendue où la condensation y est insensible (*) et où ne se conserve plus, dans le fluide presque en repos, la parité des mouvements supposée par nos formules à l’intérieur de chaque section normale.
Mais à cette portion disséminée de la masse de l’onde, il ne correspond qu’une énergie totale insignifiante : car, vu la double proportionnalité (sous volume égal) des éléments de masse à y et des éléments d’énergie à a1 y2, ceux-ci ne sont en tout, pour la partie en question, que de l’ordre de sa masse finie multipliée par la valeur moyenne, négligeable , qu’y présente y.
( 1 ) L’inévitable longueur de cette queue se reconnaît, sur l’équation ( 34 ) multipliée par dx et intégrée depuis l’abscisse actuelle^ d’un de ses points jusqu’à x = ac,
à ce que la dérivée en t de /y dx qui en résulte, — p. — i - / y(x. — a£-b32)<73.
est négative (pour tp > o), et non pas nulle, tant que x0 ne devient pas — oc.
DES ONDES AÉRIENNES, DANS LES TUYAUX DE CONDUITE. a3
Donc presque toute l’énergie tant actuelle que potentielle du mouvement, encore subsistante, réside dans le gros de l’onde non disséminé auquel s’appliquent nos formules, et a son expression sensiblement proportionnelle à l’intégrale /y2 dx, calculée entre les limites # = ±00 pour la fonction y que régit l’équation (34). Or celle-ci, multipliée par 2y dx, puis intégrée terme à terme, entre les limites dz oo, comme on a fait pour obtenir la seconde formule ( 1 6 ), donne, en réduisant d’ailleurs y à <p(# — at) dans les termes de deuxième approximation,
— I y2dx = / cp'(a? — at)2 dx
dtJ J Po
^ f ^^x~at^^x~at+^dx’
Telle est la relation qui remplacera la seconde (16) pour évaluer le décroissement incessant d’énergie de l’onde. Malheureusement le second membre, même simplifié par la suppression du terme en permise d’ordinaire (comme on a vu), ne paraît pas moins difficile à interpréter d’une manière générale que le dernier terme entre parenthèses de (34). Aussi nous bornerons-nous à voir ce que donnent l’une ou l’autre de ces équations, mais surtout la première, plus compréhensive, (34), dans des cas où s’effectuent simplement les intégrations qu’elles impliquent.
XII 1. Le premier de ces cas est celui de mouvements devenus depuis longtemps pendulaires, avec un certain nombre constant, /r, d’oscillations complètes par seconde. On conçoit qu’alors la forme plane des ondes se conserve indéfiniment, à l’intérieur, malgré l’influence des parois; car celle-ci, s’exerçant dans des sens alternativement opposés, comme ceux des vitesses et des variations de densité qui la provoquent, ne peut s’accroître d’une période d’oscillation à l’autre. L’équation (34) reste donc applicable même quand la tête ou le front de l’onde s’est propagé, pour ainsi dire, jusqu’à une distance infinie x de l’origine des coordonnées, et quand l’on a, par suite, sensiblement, à un facteur constant près, pour toutes les abscisses x de grandeur modérée, en adoptant comme origine des temps une époque où s’observe aux points x = o
un maximum de condensation,
2mz(x — at )
cp(a? — at) = cos
Alors la parenthèse de (34), réduite d’ailleurs à son terme en p, devient
nz(x — at) 2/i7r(32
*Wli [™- “•
. 2mz(x — at)
- -!£=*[< i \J n TT a L
. 2/l7Tp2‘]
un — t/p
2iiiz(x — at) . txmz{x — at)~
L’équation (34) a donc, pour son troisième terme,
y \ . 2itk(x — at) ‘inizix — at)~\
— — sin -h cos
ou encore
fj. y/ Ai TC
ti 71 x r t
et enfin, plus simplement,
2mz(x — at) 2 /nr(r — «O
■y- cos h COS
tc cit a a
iW^ Z A, 1 ch
2 a \ 1 2 /i7c dt
Cette équation (34) peut, dès lors, s’écrire
\j niz a
[jl \J n 7T y
a -7- h- •— ctx 2 a
et son intégrale générale est de la forme
ui/niT 7
avec m = -, o> =
4 \//iTr a
4/nx »
Si l’on remplace ^ par ou par ~ (en supposant ainsi les
tuyaux, circulaires et de rayon R), dans ces deux formules de m et de (o, elles deviennent précisément celles que KirchhofF, et antérieurement M. Helmholtz ^sauf la réduction de p à y/ avaient obtenues par de tout autres méthodes. Le coefficient d}extinc-
tion m et le ralentissement ou retard a — ou sont donc bien, le premier, en raison directe et, le second, en raison inverse de la racine carrée du nombre n d’oscillations par seconde, c’est à-dire en raisons respectivement inverse et directe des racines carrées de la période de vibration ou de la longueur d’onde. Le coefficient d’extinction, en particulier, croît quand la période diminue; et ces ondes aériennes s’éteignent, comme les ondes liquides, d’autant plus vite qu’elles sont plus courtes (1).
XIV. Mais notre but, ici, est de considérer spécialement les intumescences limitées, pour voir, par exemple, comment s’abaisse peu à peu leur sommet (ou comment y décroît la condensation y maxima) et aussi de combien la vitesse de propagation de ce sommet, alors que les frottements l’ont déjà fort abaissé, se trouve excédée par la vitesse a du son à l’air libre.
Intégrons, à cet effet, l’équation (34), à partir d’une époque quelconque tQ, pour un temps t — t0 assez modéré, de manière que la solution de première approximation y = <p(# — at) y reste effectivement approchée avec la forme de la fonction <p à l’époque c’est-à-dire en admettant que l’expression exacte de y à cette époque soit <p(# — at0). Alors la relation (34), d’ailleurs réduite à l’équation du premier ordre
(39) M+aÈ = ^\/îf0
aura pour son intégrale générale
(40) Y = cp(|)-t-(^ — + où il est posé \ —x — at.
La dérivée en x de y, nulle au sommet de l’onde, sera donc
Appelons la valeur de i* qui, à l’époque t0 , correspond au sommet considéré et, par suite, au maximum de cp(£).
(*) II ne serait pas difficile de reconnaître la parfaite concordance du coefficient d'extinction m donné par la seconde formule (38), avec celui d’une houle à vagues longues (comparativement à la profondeur d’eau) qui se déduit de la formule (28) du Mémoire cité du Journal de Mathématiques (t. IV, p. 355; 1878).
Ce sommet se déplaçant avec une vitesse presque égale à <z, l’excédent £ de son abscisse x sur at ne dépassera , au bout du temps t — t0 , que d’une quantité du premier ordre de petitesse, et, vu l’annulation de cp' ( Ç , on aura très sensiblement <p7(5) = cp^Si )(x — at — ). D’autre part, le terme <p(£) de (4o)
ne différera du maximum voisin <p(Ç,) que d’une quantité négligeable du second ordre et enfin, dans les petites parties en pi, de (4o) et (40? 5 se trouvera, de même, réductible à Appliquées au sommet de l’onde, les deux équations (4°) et ( 4 1 ) deviennent donc
| o-?"(£i)(^ — at— îi) + (*'— ?"(?i + P2)^?-
Différentions la première par rapport à t , après l’avoir divisée parla valeur même, o(Ç4 ), de y à l’origine t0 de l’époque considérée. Il viendra, pour régir le décroissement, à cette époque, du maximum, l’équation différentielle
dp.
Son intégrale, si l’on appelle am le second membre, constant au moins pendant un temps modéré, est = const., relation
exprimant que la condensation maxima décroît comme l’exponentielle e~ma<'t~t 0), pendant qu’elle se propage sur un parcours sensiblement égal à af — <£0). Donc m n’est pas autre chose que le coefficient cT extinction cherché*, et si, d’autre part, l’on différentie également en t la seconde équation (42) divisée par <Z3"(I*,), en appelant w la dérivée de x ou vitesse de propagation du sommet, les deux formules (pour le sommet de l’onde) du coefficient actuel
d' extinction et du retard relatif actuel a M » seront
y/ Cl TC
— ?'(Êi
?(Êi)
dp,
a~ = X C* ?"(£i-+- P2) d% \ a \J cm 5 Jq ? (ît )
XV. Dans le cas, par exemple, d’ondes périodiques, où la fonction c p a sensiblement l’expression (36), on peut prendre = o et
les deux formules (44) donnent presque immédiatement les valeurs (38) de m et de to.
Mais attribuons plutôt à la fonction cp(£) une forme qui, tout en rendant facile le calcul des seconds membres de (44 ) ? puisse convenir à une intumescence isolée, ou s’annule asymptotiquement aux deux limites ^ = dzoo sans présenter, dans l’intervalle, aucune discontinuité. La plus simple, en y faisant abstraction du facteur constant qui exprime la condensation maxima initiale (relative à l’époque t0 ), me paraît être celle-ci, symétrique de part et d’autre de la valeur de sa variable, = o, pour laquelle se produit son unique maximum i,
c y désigne une ligne donnée, en rapport avec la longueur apparente de l’onde à l’époque considérée t0. Si, introduisant une variable auxiliaire r\ qui, de la tête £=oo à la queue ç= — oo de
I intumescence, croîtra de zéro a -» nous posons
(46) £ = ccot27), on aura <p(jj) = sin2 2r(, ®(î)^E= — 2C dr,;
et l’intégrale f — atù)‘1dx = /<p(£)2 d\, représentative de l’énergie initiale, sera simplement [vu la valeur moyenne ^ de cp(£) ou de sin2 27]] la moitié de l’intégrale / cp(ç)<f£ === — 2cf dr{ = tcc, représentative de la masse sensible ou concentrée de l’intumescence.
II viendra donc
(46 bis) f cp(£)2 de, = - ne.
Or, pour la moitié convexe d’une onde sinusoïdale où <p aurait l’expression (36), la valeur moyenne de cp2 serait justement et l’intégrale f cp(ç)2 d\ y vaudrait d\, c’est-à-dire la moitié de la longueur de la demi-onde considérée. Appelons L cette longueur, quotient de la vitesse a du son par le nombre m des oscillations simples durant une seconde, et l’intumescence exprimée par (43) sera l’équivalent, en énergie, de la partie convexe, de même hauteur, d’une onde sinusoïdale, qui aurait sa longueur totale 2L, ou l’inverse n de sa durée totale, liés au paramètre c par les formules
2 /ITT
Cela posé, évaluons de zéro à go l’intégrale f cp ( Ç — f- en
calculant d’abord cp ( Ç —1— ) par le second membre de (45), et
puis l’intégrale indéfinie par la méthode classique (après avoir substitué c cot 2'r\ à Ç). Il vient, comme une différentiation immédiate permet d’ailleurs de le vérifier,
/(Mi
, . , . /vrv- . sJ C tang7))2+ c cot 7)
- CO S3 Y) SUIT) log4 / )■■■ ° — -
2 V (Pv2 — \' c tangTj )2-b c cotrj
sin37) cos Tj I arc tang
+ y/c tan
\/ C COtT)
g 7) VJ
— -+- arc tang
S v/2 — \/c tangrj
sJ c cot 7)
expression finie et bien continue pour toutes les valeurs de [3, quel que soit l’arc 7 ) entre zéro et 11 suffit donc d’v faire ^ = go, et l’on a
j ' cp(£ + (32) 6^(3 = sin
7) cos - 7).
Différentions deux fois par rapport à ç, en nous souvenant que
la dérivée de r\ en H est — 'îlï) 0u — -sin2r, cos2tï; et, si nous
faisons finalement £ = = o, 7j = — > siny^ = cosr, = il viendra
(5o) r<f'at+p).dp= — p) ap =--??=■
4 \‘2C do 8cy2C
Comme, d’ailleurs, on trouve aisément que cp(£) vérifie, en vertu de (45), l’équation différentielle du premier ordre
et, par suite, en la différentiant, celle du second ordre
l’on a, non seulement cp ( Ç4 ) = 1 , mais aussi cp"(^ ) = — : et les
deux formules (44) deviennent
2 ac rs
a — oj —
3 ji./nac X.
d’où
m ( a — tu ) —
3 TC IA2 X2 1 28 a2
En remplaçant, dans les deux premières, c par le troisième membre de (47)5 puis comparant les résultats aux expressions de m et de a — to qui résultent de (38), on voit que, pour l’intu-
isolée, le coefficient d’extinction m égale la fraction — >
mescence
3 y At
ou environ les 0,886, et, le retard a — w, les -X— = o,665, de
leurs valeurs respectives dans un système d’ondes périodiques dont chacune aurait sa moitié convexe de même hauteur et de même énergie que l’intumescence isolée tout entière.
Quant au produit m(a — w), indépendant de c comme il l’est de n dans le cas d’ondes périodiques, la troisième formule (5i) donne pour sa valeur, à l’intérieur d’une conduite circulaire d’un diamètre connu D (d’où <7 = ^ttD2), et en se rappelant
finalement que p. = o,oo58,
. . . o,oooo3q6
(environ)- — ■ — 2 ou
Cette formule doit être approximativement applicable à toute intumescence isolée; car une telle intumescence aura toujours sa partie antérieure (de la tête ou du front jusqu’au sommet), qui seule intervient dans les relations (44)^ plus ou moins ressemblante à celle de l’onde dont l’équation est (43).
Avec la valeur ni — 0,0000866 obtenue par MM. Violle et Vauthier pour un tuyau de om,7 de diamètre (où ils ont trouvé en outre 33om, 33, après réduction à la température de o° et à un état hygrométrique nul), cette relation donne
a — w = om,94,
valeur du même ordre que les différences respectives des vitesses de propagation constatées par ces physiciens ou antérieurement par Régnault dans des tuyaux de divers calibres.
On en déduit a = 33om, 33 -h om, g4 = 33 1 m, 3 environ, pour la vitesse du son dans l’air libre, sec et à la température de o°C.
XVI. Si l’intumescence que représente à l’époque t0 l’équation (45) conservait indéfiniment cette équation à part l’introduction, à son second membre, du facteur lentement décroissant qui
exprimerait sa hauteur h , son énergie totale proportionnelle à f ^ dx, varierait comme h 2 ou comme une exponentielle de la forme . Le coefficient d’extinction, que j’appellerai m\
propre à cette énergie C, et dont l’expression à l’époque t est évidemment
1 — ~ 1 cl r 2 7 C a dt a j de dl ^ C X '
aurait donc la valeur am (*). Mais la condensation y décroît plus vite au sommet qu’elle ne fait, du moins en général, aux autres régions de l’onde, ou autrement dit, l’intumescence s’allonge tout en devenant moins aiguë, de manière à conserver relativement plus d’énergie que de hauteur ; et le rapport de m' à ‘j. m est notablement inférieur à l’unité.
Divisons, en effet, par la première (5i), la moitié du dernier membre de (53), où nous savons, d’après (46 bis), que
(*) C’est justement ce qui a lieu clans le cas des mouvements pendulaires où la formule de cp est (36). Alors le dernier terme de l’équation (35), qu’on peut
se simplifie, à cause de la valeur de cp'(^+ (3S), savoir
inn /2 met
— sin
2 mz f . 2/nrS
sin cos
2 711TÇ
— - — h cos a a
qui donne
P 00 ,.y 70 tz / n( . 2/ixl-
Jt , + — +cos —
Le produit de cette dernière expression par cp(l*),
iz / n ( ï . 4 tit-X
i / - - sin -f- cos2 >
peut évidemment, sous le signe d’intégration relatif à être remplacé par sa valeur moyenne; ce qui permet d’en supprimer le premier terme entre parenthèses,
à valeur moyenne nulle, et il reste — Ainsi, le dernier terme de
l’équation (35), valeur de la dérivée en t de j^dx, devient
— \x.\Jmz |/«p(Ç)*rfÇï
et le dernier membre de (53), expression du coefficient m', est lui-même ^ ^-nJl h , justement le double de la valeur (38) de m.
DES ONDES AÉRIENNES, DANS LES TUYADX DE CONDUITE. 3i
/tp(£)2a?£ = fitc et où la dérivée en t de f y - dx est réductible au dernier terme de (35). En tenant compte de la troisième relation (46) et de la formule (49) ou plutôt de celle qu’en a déduite une différentiation en £, il viendra, toutes réductions faites,
Or les deux intégrales eulériennes figurant au troisième membre s’expriment, par la formule
au moyen de valeurs de la fonction T que permettent ensuite de réduire les relations, bien connues,
Ces deux intégrales deviennent ainsi, respectivement, — -)-? -- ,
et la formule (54) donne enfin
(55) - = —— =0,1 environ, ou m! — m\/i (1).
(’) Des calculs trop longs pour trouver place ici m’ont permis de reconnaître que le coefficient d’extinction analogue, m" , propre à l’énergie de la partie antérieure de l’onde (depuis le front jusqu’au sommet), est
log(i -f- v/2)j m = (v^ 4- °,374)/rc ou 1.788m.
La partie antérieure s’allonge donc, mais bien moins que l’ensemble. Si l’on admet d'ailleurs que son équation se maintienne assez analogue à (45) pour permettre d’y regarder à toute époque l’intégrale f^2dx, d’après (46 bis), comme le produit du carré de sa hauteur h par -‘tu c, les formules (5i) et (56) conduiront assez facilement aux lois de variation de c et h exprimées par la double égalité
Tcïc - \jiac^ 4-0,106
ulv/tu 7 ,
— zat = \2aco
c0 et h0 étant les valeurs, censées données, de c et de h à l’époque t — o.
Donc l’onde décroît, proportionnellement, moins en énergie qu’en hauteur (condensation maxima); ce qui exige un accroissement de sa longueur sensible propre à y compenser en partie V abaissement du maximum. On doit, en effet, pouvoir attribuer approximativement à l’intumescence une longueur sensible totale (tant à l’arrière qu’à l’avant du sommet), proportionnelle au quotient de l’énergie par le carré du maximum de y. Or cette longueur totale , ainsi appréciée, variera ici comme rexponentielle
g(2 m-rn')a(t—t0)= e^2—\/V ma(t—t0) — g0,586 /na{t—t0)m
Par conséquent, l’onde paraît s’allonger, mais moins vite qu’elle ne s’abaisse ( 1 ).
(*) La réussite, quand cp(i-) a l’expression (45), des intégrations indiquées au dernier terme de (35), conduit à déterminer de même approximativement l’extinction d’une onde solitaire par la voie suivie dans mon Mémoire cité de 1878 ( Journal de Mathématiques, t. IV, p. 36a à 364), mais en attribuant à cette onde l’équation même (45), au lieu de l’équation exacte, presque analogue,
cp (£) = coh-2 -, avec c = 2 H 4/ ^7 et a = t*> = \J g H.
Alors on introduit aisément dans l’équation (42) du Mémoire nos variables actuelles £ et rt, à la place de t et n, en observant que £ = x — at, p = n\[â , et/(0 = ?(£)•
Cette équation (42) devient, grâce à l’eflectuation finale des calculs comme ci-dessus et après élimination de a , c,
On en déduit, pour le coefficient e' qui figure aux équations de la p. 364, valeur ^ \3tzs. \/ p2 \Jg, et la formule définitive (47) donnant l’énergie décroissante
C de l’onde est
dx
(Extrait du Journal de Physique , 2e série, t. X; juillet 1891.)
17529 Paris. — Imprimerie GAUTHIER-VILLAKS ET FILS, quai des Grands-Augustius, 55.
