Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires

152 une note récente,’ j'ai appelé l'attention sur le parti qu'on peut tirer des déterminants infinis pour la théorie générale des équations diftérentielles linéaires et, particuliérement, pour la résolution du problème suivant. Etant donnée une équation différentielle linéaire homogène dont les coefficients sont holomorphes à l'intérieur d’un certain anneau cireulaire: obtenir pour ce domaine un système fondamental d'intégrales sous la forme analytique qui, d’après les recherches de M. Fucxs,? caractérise toujours les intégrales à l'intérieur d’une telle partie du plan.

Grâce aux travaux de MM. Fucxs, HamBurGer, Picarp et MirraG- LEFFLER," on possède des méthodes pour résoudre implicitement le problème, c’est-a-dire, on peut trouver certaines formules analytiques qui donnent les intégrales pour le domaine considéré sous une forme qui est, toutefois, essentiellement différente de celle signalée primitivement par M. Fucxs.

Le problème direct, qui consiste à obtenir les intégrales sous leur forme explicite, a été l'objet de recherches nombreuses, parmi lesquelles il convient de rappeler ici celles de M. Fucus déjà citées et celles de M. THoué.* Ces auteurs ne se sont pourtant occupés que de certains cas particuliers. De plus, on sait que les recherches profondes et extrême-

Sur une application des déterminants nfinis à la théorie des équations différentielles linéaires, Acta mathematica, t. 15.

* Fucas, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veräünderlichen Coeffrcienten, Journal für Mathematik, t. 66.

* Fucxs, Journal für Mathematik, t. 75; HAMBURGER, Journal für Mathematik, t. 83; Picarp, Comptes rendus des séances de l'académie des sciences de Paris, Mars 1879; MirrAG-LEFFLER, Acta mathematica, t, 15.

* THoMé, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen, Journal für Mathematik,t. 74 et suiv.

v. Koch. 1

2 Helge von Koch.

ment remarquables qu'a publiées M. Poincaré’ au sujet des intégrales irréguliéres, n'ont pas eu pour but d'obtenir actuellement ces intégrales, mais de les représenter asymptotiquement au moyen de certaines séries divergentes.

Dans la note citée, j'ai indiqué comment on pourrait traiter le problème d’une manïére générale à l’aide des déterminants infinis, mais je n'ai donné la solution définitive que sous certaines restrictions. Dans lè mémoire présent, le problème sera résolu dans toute sa généralité. Pour atteindre ce but, il faut d’abord s'occuper un peu de la théorie des déterminants infinis En effet, cette théorie nouvelle dont l'introduction dans l'analyse est due à MM. Hizc” et PoInCARÉ," n'a pas encore, à ce qu'il paraît, captivé l'attention des géomètres tant qu’elle le mérite et, naturellement, il doit rester bien des lacunes à combler et beaucoup de théorèmes à établir. Dans ce qui suit nous nous bornerons à, développer (I, $ 1) ce qui parait nécessaire pour pouvoir appliquer l'instrument nouveau d'une manière absolument rigoureuse au problème que nous nous sommes proposé.

Le $ 2 contient une application des déterminants infinis à la résolution de certains systèmes d'équations linéaires où le nombre des inconnus de même que celui des équations est infini.

Dans la partie Il se trouvent les appliquations qui se rapportent à la théorie des équations différentielles linéaires.

matica, t. 8 Voir aussi: Sur les équations linéaires aux différentielles ordinaires et aux différences finies, American Journal of Mathematics, t. 7. * Hrzz, On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon, Cambridge, Wilson 1877; Acta mathematica, t. 8. * PoInCARÉ, Sur les déterminants d'ordre infini, Bulletin de la Société mathématique de France, t. 14.

$ 1. Sur quelques propriétés des déterminants infinis.

I. Soit 44 (à, = — © .. + ©) une suite doublement infinie de nombres donnés et désignons par

1 F2 DEA AREMTEES

le déterminant des quantités 4,, (à, & = —m.. + m); si, pour des valeurs indéfiniment croissantes de », la quantité D, a une limite déterminée D, on dit que le déterminant infini

RAR on

est convergent et a D pour valeur. Dans le cas où la limite D n'existe pas, le déterminant en question sera dit divergent. En d'autres termes, le déterminant infini

CAES œ

est convergent, si à chaque quantité positive d correspond un nombre positif entier »’ tel qu’on ait

pour toute valeur de n supérieure à »' et pour des valeurs quelconques de l’entier positif p; le déterminant est divergent, si un tel nombre »’ n'existe pas. |

Convenons d'adopter les dénominations suivantes. La diagonale prin-

cipale du déterminant D est l'ensemble des éléments À; (i = — © ..+ œ); la ligne à est constituée par les éléments 4, (4 = — © .. + ©) et la colonne k par les éléments 44 (i = — © .. + ©). Un élément quel-

conque À, s’'appellera élément diagonal ou non-diagonal suivant qu’on a à — ou iZk. Enfin, l'élément À,, sera nommé l'origine du déterminant considéré: c’est celui des éléments diagonaux qui appartient à la fois aux deux diagonales de chacun des déterminants D, |

4 Helge von Koch.

Il est clair qu'on peut former avec les éléments 4, une infinité de déterminants infinis ayant les mêmes diagonales principales maïs des origines différentes; rien ne permet d'affirmer a priori qu’ils sont convergents ou divergents en même temps ou, s'ils convergent, que leurs valeurs sont les mêmes. Un déterminant infini n'aura donc en général aucun sens déterminé que quand on connaît sa diagonale principale et son origine.

2. Soit donné un déterminant infini D; pour que D converge, il suffit que le produit des éléments diagonaux converge absolument et que la somme des éléments non-diagonaux converge absolument.

Posons, en effet, À, — a, (pour iZk) et 4; = 1 + a,: par hypothèse, la série

2 Cix | (i,k=— 0.4 œ)

est convergente, d'où l'on conclut immédiatement qu'il en est de même du produit

Pre IL,G + te, l). (ik=— ©, + œ) Formons les produits +m + im + om + om Fe — II (: + > Qi); l'a — II (1 + > | a |); i=—m k=—m i=—m k=—m

si, dans le développement de P,, on remplace certains termes par zéro et change les signes de certains autres termes, on obtiendra D,,; par conséquent, à chaque terme dans le développement de D,, correspond un terme dans le développement de P, de telle manière que celui-ci n’est jamais plus petit que la valeur absolue de celui-là; de plus, en remplaçant certaines quantités @, par zéro, certains termes s'annulleront dans les développements de D,,,, et P,,, et, parmi les termes de P,,, qui s'évanouissent, on trouvera évidemment ceux qui correspondent aux termes annullés de D,,,,; or, en remplaçant les quantités a, [i, k= +(m<+#1),..,+(m+p)] par zéro, D,,,, et P,,, deviennent égaux à D,, et P, de sorte que, dans ce cas, D,,,, — D,, et P,,, — P, représentent respectivement les termes de D,,, et P,7 qui s’annullent. Par conséquent, on a

DS, LA D, & P}:3 PS, Pn.

En vertu de la convergence du produit P, on peut faire correspondre a chaque quantité positive d un entier positif »’ tel qu'on ait, pour # > » et pour des valeurs quelconques de l’entier positif p,

Pirp — P, < 0 +. |D,,, — D,| < 6, ce qu’il fallait démontrer.

Pour le cas où les éléments diagonaux sont tous égaux à l’unité, ce théorème est dû à M. Porxcareé (Bulletin de la Société mathématique de France, t. 14, p. 77).

L'étude des déterminants infinis dont les éléments remplissent les conditions énoncées plus haut et dont la convergence vient d'être établie, sera l'objet principal des pages suivantes. Nous convenons de dire que ces déterminants sont de la forme normale.

3. Dans le n° 1 nous avons défini un déterminant convergent comme la limite D' vers laquelle tendent les déterminants D,, indéfiniment croissantes de m. Dans le cas des déterminants de la forme normale, on voit facilement qu'un mode de génération plus général conduit au même résultat. Désignons par D, le déterminant [Al452,.i» et par P,, le produit

pour des valeurs

Pie = IT (: +2 | dix dr

si p désigne le plus grand des nombres » et », il est clair que tous les termes de D terme de P,, est aussi un terme de P,,, d’où il suit, en raisonnant comme

se trouvent dans le développement de D,, et que chaque

plus haut, que

LUS is LE es Ph,p Las

pour des valeurs indéfiniment croissantes de » et de n, les quantités Pyps Pan tendent vers la méme limite P; donc D,, et D,, tendent vers

une limite commune et, comme D,, désigne le méme déterminant que

nous avons désigné auparavant par D,, cette limite est égale à D. Donc, pour définir le déterminant D, on peut faire usage des déterminants D, ;

tout aussi bien que des déterminants D, du n° 1.

6 Helge von Koch.

Appliquons ce résultat à un cas particulier. Soit À un entier quelconque, mais déterminé, et posons, pour un moment,

DRE) DEA ERAT les deux suites infinies :

(D) D: PSD SD res RP ARS (A) ANA CEE 1 nd VAE ce

auront la même limite D; or nous savons, d’après le n° 1, que la suite (D) définit le déterminant [A4;},:-..:. et que (A) définit le déterminant LAisiaualie- + Cest-a-dire celui qu'on obtient en choisissant l'élément A,, pour origine dans la table des éléments 4,4. Par conséquent, dans un déterminant de la forme normale, on peut prendre un élément diagonal quelconque pour origine: la valeur du déterminant reste toujours la méme.

4. Un déterminant de la forme normale reste convergent si l’on. remplace les éléments d'une ligne quelconque par une suite de quantités qui sont toutes plus petites en valeur absolue qu’un nombre positif donné.

Remplaçons, par exemple, les éléments de la ligne numérotée o:

41, ag 4, LE 4

par des quantités DR Er VIE AT

vérifiant l'inégalité lu,| < y, 1110:

et soient D’, et D’ ce que deviennent D, et D. Désignons de plus par P, et P' les produits obtenus en supprimant dans P, et P le facteur correspondant à l’indice o; on voit immédiatement qu'aucun terme de D, ne peut être plus grand en valeur absolue que le terme correspondant

du développement de wP,, et, en raisonnant comme dans le n° 2, on obtient