CRE
d'ordre fini qui n'est pas nul: si D est nul, si (: . est différent de up |
k, sont tels que les mineurs
zéro et si, de plus, les indices à TS Re
EC RC REA Ale ’ d'ordre. y = 1,2,..r7— 1, formés en.prenant pour u .. 1, et
PAT AUX %, -. x, respectivement toutes les combinaisons possibles des nombres à, .. et k,..k,, sont égaux à zéro, tous les mineurs d'ordre 1,2,..r7—1 sont nuls.
Soit (1) un système infini d'équations linéaires dont le déterminant D est de la forme normale et a la valeur nulle, et déterminons les nombres Mi ut, h
.-.-k, de ladite. manière; si l'on assujettit les inconnus à la
condition de ne pas dépasser en valeur absolue toute limite finie, les équations U = OU, = O,..U, —= © Seront Superflues, les inconnus xx, 2%, , .. %y resteront indéterminés et les autres x, Se présenteront nécessairement par la formule (6) comme des fonctions linéaires homogènes de x, , 2, .. 2.
Pour le cas d'un système infini d'équations linéaires non-homogènes: (i=— @,,+ œ)
où les quantités c, sont plus petites en valeur absolue qu'un nombre donné, on pourrait, par des considérations analogues, facilement établir un théorème correspondant.
v. Koch. k
34 Helge von Koch.
$ 3. Sur Les intégrales des équations différentielles linéaires.
21. Considérons une équation différentielle linéaire homogène d'ordre #
(1) P(y) = TE + P{o)S +... + P,(x)y = 0
où les coefficients P,(x), P,(x),.. P,(x) sont des fonctions holomorphes à l'intérieur d’un certain anneau circulaire dont le centre coincide avec l’origine du plan des x et dont les rayons R et R' satisfont aux inégalités
(2) RER EFh
Représentons les fonctions P,(x) à l’intérieur de l’anneau (RER) par des séries de LAURENT:
nous avons vu, dans la note citée plus haut, que, pour qu’une série de la
forme + co
END NT Xe
représente une intégrale de l'équation (1), il faut que » et g, satisfassent aux équations en nombre infini:
+ (4) G;(p) = e(p + M)» + Pr À 19) —140 (Zm; Mm=— &.,+ œ)
ou
o(p)=plo—1)..(o—n+1)+p(o—1)..(o0—n+3)e, 0 +. +a, ET que (o “* à)(0 1: As 1) DE (o Le An dm 3) Gates <m oc ch Un,m—à—n 3
et, en étudiant les propriétés du déterminant infini
(5) Q(v) A [HéRenRs ue
où Aix re Pas) = po +i) Date) = 1,
nous sommes parvenus à former un systéme fondamental d’intégrales de l'équation considérée. Toutefois, comme nous l'avons déjà fait remarquer, cette solution ne s’est présentée que sous certaines restrictions. Pour nous affranchir complètement de ces restrictions, qui provenaient principalement de ce que les exposants des intégrales peuvent être, dans certains cas, des points singuliers pour la fonction (0), il convient d'introduire un nouveau déterminant D(o) qui se comporte régulierement pour toute valeur finie de la variable ».
Désignons par p,,9,,..p, les racines de l’équation
de sorte qu’on ait ge) = (p — pie — p3) +: (p — p);
posons
Roi Er h(p) =°,6 AUTRE IE,
et multiplions les équations G,(9) = o par les facteurs respectifs h,,(0); le système nouveau:
(7) | h,(p) Gntp) — ©, (m=— 0 ,,+ 0)
qui est évidemment équivalent à l’ancien puisque les X,(9) ne deviennent ni nuls ni infinis en dedans d’un domaine fini quelconque, prend, en posant
hh(D) Ana = Am); h,(p)e(p < m) Ty FEAT
la forme
(71) 2 Xm(2)9à — ©, (m=— 2x,,+ 0)
36 Helge von Koch.
Le déterminant de ce système infini:
(8) D(p) = FAITEANRES
est de la forme normale à l’intérieur de tout domaine fini; en effet, si l'on pose
h!,(p) in 0)
de sorte que
At !
À ma ae m*? h;, (p), À ox u A»
et qu'on assujettisse la variable 9 = # + iv à la condition de rester en dedans d'un domaine fini Ÿ, il existe un nombre positif 4 plus grand que les valeurs que prennent les fonctions |4/,(o)| en dedans de ce domaine; on peut donc écrire
| Yanà | Fe h
or, en se servant du même mode de démonstration que précédemment (Sur une application des déterminants infinis etc. p. 56) il est facile d'établir que la série double
ei
(m1 ; ÂZm) À à m |
converge et converge uniformément en dedans de 7; la même chose ayant lieu pour la série >, 4, il en sera de même de
(Zn)
De plus, puisqu'on a D CNE CAR D ee pr (rer (+250),
il est clair que la .série
+ oo (2)
