Q(0). IL

Mm=-

puisque le second facteur est un produit absolument convergent, le ré-

sultat de la multiplication s'obtiendra en multipliant — pour chaque indice m — les éléments de la ligne #7 par le facteur y,,(0). On aura donc

+ co (9) 9(0) IL 7,,(0) Fa RAIN Lans Pre ER D(p)

ou, en posant j + œ n

(Lo) Ligasto) = JL CT 2 Ir(0),

m = FT Yi

Dans la note citée, nous avons dit, sans insister sur la démonstration, que la fonction (0) est périodique et de période 1; il est facile maintenant d'en donner la preuve rigoureuse. En effet, puisqu'on a

Dia(o Sr 1) = dareato)

si l'on remplace dans l'égalité

9(o) E (VAE © par © + ï, on aura

2(o ci 1) PE Rore RATER

dans cette égalité, le second membre est le déterminant obtenu en choisissant l'élément (9) pour origine dans la table des éléments (0); ce déterminant ayant la même valeur que celui qu'on obtient en choisissant dote) pour origine (voir $ 1, n° 3), on aura

38 Helge von Koch.

Donc, la fonction (0) étant périodique de période 1, on voit par la formule (11) que l'on a |

et que, par conséquent, D(p) est périodique et de période 1 ou de période 2 suivant la parité ou l’imparité de l'entier ». Puisqu'on a |

(14) Hit) = ;

v= + oo

il faut, en comptant un pôle ou un zéro autant de fois qu'indique son ordre de multiplicité, que le nombre des pôles incongruents' de 4() soit égal au nombre des zéros incongruents; donc le nombre des zéros incongruents de D(p) est égal à n. En désignant un système de zéros incongruents de cette fonction par 9’,p",..9", on pourra écrire

? r sin (0 — ox DD SONT

pour déterminer la constante C, remarquons que les égalités (10), (11), (14) nous donnent

Cetri@— 2) 2 1, ce qui montre que la différence 29 — 2», est nécessairement un nombre

entier; en choisissant le systeme p', p",..9p" de manière à donner à cet entier la valeur nulle, C prend la valeur 1 et l’on a

ñn

à ( 2.4 (w)\z (15) D(p) = TT RC"

* Dans ce qui suit, nous dirons que deux quantités complexes quelconques À et B sont 2ncongruentes si leur différence nest ni nulle ni égale à un nombre entier; dans le cas contraire, À et B seront dites congruentes.

Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires. 39 De plus, puisque le coefficient de 9" dans @(o) est égal à — -n(n— 1), la valeur de Xp, et par suite aussi de Xp, est un

nombre entier:

(16) 20 — Lo, — Sn(n — 1).

22. Soit maintenant æ un point quelconque à l’intérieur de l'anneau circulaire (RR”) et posons x

mMm—À, ,

X mx Sie A mit

il est facile de voir que la série Z,2;,|7,,l convergera uniformément par rapport à # en dedans de tout domaine fini (cf. loc. cit, p. 61) et que, par suite, les théorèmes des n° 17, 18 sont applicables au cas qui nous occupe. En particulier, nous pouvons dire que:

si, dans le déterminant D(p) ou dans un de ses mineurs, on remplace les éléments d'une ligne quelconque par les puissances x", le déterminant ainsi obtenu pourra s'écrire comme une série ordonnée selon ces puissances: et celle série, convergeant par rapport à x en dedans de (RER), convergera par rapport à jo absolument et uniformément à l'intérieur de tout domaine fini.