Helge von Koch

Soit po’ un zéro quelconque de D(p); d'aprés ce que nous avons vu ($ 2), il existe toujours un mineur qui ne sannulle pas pour © = 6”. Supposons donc que, pour 9 = p', le mineur

( ne 1 Re

soit différent de zéro. Formons les mineurs suivants:

Cie 0 at DEN -re ( ) .) (anne iii) Ayo À; Abel c’est-à-dire tous ceux des mineurs d'ordre 1, 2,..7 dont les indices « et x sont des nombres dans les suites respectives 4, ..1, et k, ..k,. Pour abréger le language, désignons par M l'ensemble de ces mineurs, par M®, M®, M°,.. les ensembles de ceux des mineurs M dont l’ordre est respectivement égal à 1,2, 3... Nous supposerons que les indices jt tu :

) soit le seul des RC te

h..%, M ..k, soient choisis de maniére que (

mineurs M qui ne s'annulle pas pour 9 = p”.

Si r— 1, c'est-à-dire sil existe un mineur du premier ordre qui ne s’annulle pas, on n'aura pas besoin d'aller plus loin; mais supposons r > 1. Soit (o — p'}* la plus haute puissance de 0 — 9" qui divise’ D(»); soient

(DENT) MDES Oo EE RENr0

les plus hautes puissances de 9 — 9’ qui divisent respectivement tous les mineurs M‘, tous les mineurs M°,,. tous les mineurs M),

On a nécessairement y > y; en effet, si l’on avait y < y,, on pourrait conclure de l'identité ((e), n° 13) que les mineurs suivants

( ) (= 0,4 00 ; 4= A. Ar) k

* Soient G(o), H(o) deux fonctions entières; nous dirons que @(p) est divisible par H(o) ou que H(p) divise G(p) si le quotient G(p): H(p) est une fonction entière.

et par suite, en vertu de l'identité ((9), n° 13), que fous les mineurs du premier ordre seraient divisibles par (o —»'}'; ce qui est impossible, puisque (o — p")" est la plus haute puissance de 9 — p' qui divise le premier membre de l'égalité

dD d\ dyx D 4 rÉ

Par le raisonnement précédent on voit d’ailleurs que fous les mineurs du premier ordre sont divisibles par la puissance (0 — p')" au moins. On a p, > y,. En effet, il existe parmi les mineurs M® au moins

un qui est divisible par la puissance (9 — p')* au plus; soit (:) ce

0 . . , , . 1 \ mineur. Si l’on avait y, <y, en appliquant au déterminant ( ) et à ses mineurs les relations du n° 13, on verrait que les mineurs suivants

; ) du premier ordre, seraient divisibles le

c'est-à-dire fous les mineurs de ( par (o — p'}", ce qui n'est pas possible.

On voit en même temps que fous les mineurs de D du deuxième ordre sont divisibles par (o — p'}* au moins.

De plus, parmi les mineurs suivants:

PRE ee à ne) (zh)

il existe au moins un qui n'est pas divisible par une puissance de 9 —

! ’ 1 . a . . Æ (© plus élevée que la °°°. En effet, soit : celui des mineurs M° RE \X ( pour lequel l’ordre de multiplicité de la racine 9’ ést précisément égal /

ÿ : : / , à {1,; supposons que y et v. Koch. 6

soient les exposants des plus hautes puis-

42 Helge von Koch.

LOUE SEE, À : GMA a f sances de y — 9’ qui divisent respectivement les mineurs 3 et ( . x k LA 1 1

Soit d'abord u! < u,'; dans les identités 2 © ll ;

MIRDORMENLE

G)G ie CU (es,

() () | (5. (? sont LE (o — p'}" au moins et (s ñ x É 5)

* x le dE VIe

EH À AR/a a par (o — p'}* au moins, mais 4 par (0 — p'}* au plus; donc ) x À k, et () sont divisibles par 9 — 9" au moins y + y, — y fois. Or le t premier membre de l'identité

GER GS Ae)0S

étant, au plus, divisible y, + y, fois par 0 — p', on en conclut qu’il n’est pas possible que les mineurs

Cie Gus CoeC

soient tous deux divisibles par une puissance plus élevée que (0 — p'}". Si l’on suppose en second lieu y, > y’, on voit par un raisonnement analogue, qu'au moins un des mineurs

ane)

est, au plus, divisible par (0 — p'}*. Donc notre assertion se trouve toujours justifiée.

Supposons, en vertu de ce résultat, que les indices 4, ..4, et k,..k,

6 lt soient rangés dans un ordre tel que le mineur (

p —p' précisément y, fois D'une manière parfaitement analogue à la

précédente, on pourra démontrer que y, > y, et qu'il existe parmi les

mineurs suivants:

) soit divisible par

(à lo ) fase) AS Le k=hiukr EE

au moins un pour lequel »’ est une racine d'ordre de multiplicité pré- FU EL k, k,

continuera ainsi de proche en proche jusqu'à ce qu'on arrive au mineur Fe Con: n) k .….k

Il est facile de voir qu'on a y > r; en effet, tous les mineurs d'ordre

cisément égal à 4. On supposera que ( ) soit ce mineur ct l’on

r— 1 prenant, pour 9 =, la valeur nulle, tous les mineurs d'ordre r — 2 s'annulleront d'ordre 2 au moins, tous ceux d'ordre 7 — 3 s'anulleront d'ordre 3 au moins, ..., tous ceux d'ordre 1 s’annulleront d'ordre r— 1 au moins; donc # est pour D(p) une racine multiple d'ordre y

au moins, c'est-à-dire on a >.

De plus, puisque le second membre de l'identité

a è dy ) ne D ! i 1 ; is kr (p)

NET à

ne s'annulle que d'ordre y + y, tandis que le premier devient nul d'ordre

2 au moins, on à nécessairement 2/4 < 4 + /H OU, ce qui revient au même,

pe {ha

44 Helge von Koch.

et de même, puisque le second membre de

bars k: k,/\k R:

Hits k 4/\k &,

ne s'annulle que d'ordre y, + y, et que le premier devient nul d'ordre