LEP ERE LS

Sur les déterminants infinis ct les équations différentielles linéaires. 45

et l'on pourra, de plus, toujours ranger les indices à ..1, et k, ..k, dans un ordre tel que p' soit pour les mineurs respectifs:

a) é a ( es à RER \ I EE

une racine d'ordre de multiplicité pu, pm, 1.

Nous donnerons désormais aux déterminants

5 ) cs ue ) k , fe, ) u Je k: k, ka L k, Le k, "

le nom de mineurs caractéristiques et aux nombres 4, ,..p,, le nom de nombres caractéristiques correspondant à la racine y’.

Il résulte de cette définition et des théorèmes précédents que les nombres caractéristiques correspondant à une racine quelconque sont entiérement déterminés, quand bien même on pourrait trouver plusieurs systémes de déterminants caractéristiques.

: RE CEE

Pour trouver actuellement le mineur caractéristique fs 4); il

suffit d'examiner un certain nombre fini de mineurs. En effet, apres avoir

déterminé, par la méthode donnée dans le $ 2, un entier #’ tel que le mineur — NN .. + w , FEV ,} ne s'annulle pas pour » = p’, les nombres 4, ..5,, k,..k, — M... + m/ se trouveront dans la suite — 2» .. + m' et l’on n'aura qu'a envisager ceux des mineurs d'ordre 1,2,.. 2% + 1 qui se définissent par des nombres dans cette suite. |

24. Les théorèmes précédents nous donnent le moyen d'obtenir dans le cas général les intégrales de l'équation différentielle (1). Pour que la série

y = 2ignx+}

46 Helge von Kocb.

représente à l'intérieur de Panneau circulaire (RR’) une intégrale de (1), il ne faut pas seulement que les g, satisfassent aux équations

(17) REF CHER = O! (m=— 00 .,+ ©)

mais aussi, puisque par hypothèse le point 1 est situé à l’intérieur de (RR"), que les valeurs absolues des 9, ne dépassent pas toute limite finie; en d'autres termes, on doit avoir

(17) | ga | s Œ, Q=—o,..+)

G désignant un nombre positif fini.

Or nous avons vu que le déterminant D(p') du système (17) est de la forme normale pour toute valeur finie de y’; pour trouver les valeurs des y, nous pouvons, par conséquent, avoir recours aux théorèmes du K 2.

Pour que le système (17, 17’) ait une solution, il faut que la valeur du déterminant

Cato neue = 1(p")

soit nulle.

Premier cas: 9’ est une racine simple de D(p). Parmi les mineurs du premier ordre, 1l existe au moins un qui n'est pas nul pour p = p';

ny \ si ( ) est ce mineur et qu’on pose

G) fe) = Fi JP)

les quantités ÿ,(p') représenteront la solution du systéme (17), l'inconnu J(p') restera indéterminé; et la série Z,7,(p')æ° *}, convergeant en dedans de (RK”) (n° 22) et n'étant point identiquement nulle, représentera une intégrale de l'équation (1).

Second cas: y’ est une racine multiple d'ordre y (y > 1) de D(p).

Soient k/ NOIR EEAT ARTEL

Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires. 47 un système de mineurs caractéristiques et ls His Has ee [ls

les nombres caractéristiques correspondant à la racine 9’. En introduisant, pour abréger, les notations suivantes

RENE Pole Mar EEE:

on 4:

PSE ÉD EE NTESTE DE Votants

La solution du système (17) est donnée par les relations

é eh A ê be +. ï) HP ë ATP ï Axe PGO Un MA le RTE DONSE dE (Â=—@0,,+ œ)

le signe 1 indiquant les valeurs que prennent les mineurs pour © — y’, et Ju > JG, désignant des constantes arbitraires. La série Z,9,2°*”* ainsi obtenue converge à l’intérieur de (RAR); en effet, cette série est une somme de déterminants infinis qui s’obtiennent en remplaçant dans certains mineurs les éléments de certaines lignes par les puissances de x.

Donc, cette série représente une intégrale de (1) et, puisqu'elle contient > constantes arbitraires, il existe » intégrales linéairement indépendantes de (1) de la forme