LD

Helge von Koch.

ox

En résumé, nous avons obtenu », + », + .. + y, = ps intégrales partagées entre r sous-groupes:

Yan s Yra s + + Yon G=1,2,r)

et telles que les », intégrales du 4°" sous-groupe sont linéairement indé-

pendantes. Pour que toutes les y} intégrales soient linéairement indépendantes, il suffit de fixer les valeurs des constantes arbitraires comme il suit:

Cyx + O; Cy — C39 NO Cyr —= ©, : (k=1,2,..7)

En effet, dans ces conditions, on voit d’abord que les intégrales

Ya s You s ee Ya

sont linéairement indépendantes; car, si l’on avait une relation linéaire homogène à coefficients constants:

> P KsYia + Koÿes +. + Kys = 0, les égalités suivantes devraient, entre autres, avoir lieu:

K Cal #5 Ko[Ysa le, Fe Qu + ANA Frs (@

K, FAP + (ele K, [9,516 0;

K, [iale, SF K,[Y23 x, et APE 0 (al, désignant le coefficient de x°** dans la série 7,1; et puisqu'on a

= ©: pour Ss <°y,

pra | :

O pour S—y,

de sorte que le déterminant du système (18) est différent de zéro, ce système ne saurait être satisfait que pour

RAR Re — 0:

De plus, dans chacune des y intégrales que nous avons obtenues, le coefficient de la plus haute puissance de logx est égal à l’une des intégrales Y:1, Y1»-:%,1 multipliée par un facteur constant; donc toute fonction linéaire homogène des y intégrales y,,:

u — DE À K Ya

peut s'écrire comme une fonction entière rationnelle de log x dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de log x est linéaire et homogène par rapport aux fonctions 13, Yo» : + Y,13 OT On sait qu'une fonction # de cette nature ne saurait être identiquement nulle à moins que tous ses coefficients ne soient identiquement nuls. Donc, le coefficient de la plus haute puissance de logx devant étre identiquement nul, il faut donner à certaines des constantes X,, la valeur nulle; dans la forme nouvelle que prend la fonction w, le coefficient de la plus haute puissance de log x devient, comme il est facile de le voir, linéaire et homogène par rapport aux fonctions #13, Yi»: Y1s Ce qui nous oblige à remplacer de nouveau certaines constantes Æ,, par zéro, etc. ù

Donc, à la racine multiple d'ordre y correspondent y intégrales linéairement indépendantes: Y,,..%,,3 la méme chose ayant lieu pour chaque racine de D(») et le nombre des zéros incongruents (en tenant compte de leur ordre de multiplicité) étant égal à #, on voit qu’on obtient par cette méthode # intégrales linéairement indépendantes, ou, en d'autres termes, un systéme fondamental d’intégrales de l'équation différentielle proposée.

Comme nous avons vu, les intégrales correspondant à une racine multiple »’ se partagent entre un certain nombre de sous-groupes. Voyons maintenant comment se comportent les intégrales d'un de ces sous-groupes lorsque la variable indépendante décrit à l’intérieur du domaine (RR un chemin fermé quelconque. Désignons par y la valeur qu’aquiert une fonction y de æ après que x a décrit complètement et une seule fois un chemin Z, qui est contenu tout entier en dedans du domaine (RE) et

54 Helge von Koch.

qui ne se coupe pas soi-même, Pour abréger, désignons par 7, 7%: ; : : 7, les intégrales appartenant à un sous-groupe de » éléments; par les formules (1) on voit immédiatement qu'on aura:

’ ibn 1/1

(10) 7 ONOETT “1 92)

Y}» = ©'(71%: me se Re EE 1 ch Yh);

où w’ — e7* et où les coefficients 7,, sont certains multiples de la quantité 27i ou de ses puissances, lesquels seraient faciles à déterminer; en d'autres termes, les intégrales 7, , 72, .. 7, Subiront une substitution linéaire de la forme:

‘J [co |

(20) & ot OX

, 17 ' (Lo fn D Jy, :. © En résume, les resultats suivants se trouvent établis:

Soit (1) une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des fonctions qui, à l'intérieur de l'anneau circulaire (RR"), peuvent être représentées par des séries convergentes procédant selon les puissances entières, posilives et négatives, de x; soient (3) ces séries et formons le déterminant infini D(p); soient p', 0" ,.. 90" p racines incongruentes de D(p) d'ordre de multiplicité s', s',.. 8), et soit s' + s" +... + 89 — mn; il existe n intégrales linéairement indépendantes de l'équation (1) qui, à l'intérieur du domaine (RR'), se partagent entre p groupes contenant respectivement s',s"”,.. 8% intégrales el appartenant respectivement aux racines p',p",..p%.

Soit p' l'une desdites racines et s — y son ordre de multiplicité; soient

LB 5 His Has ee Hi

les nombres caractéristiques correspondant à la racine p' et

1 UE. à É en :

Qu): F RAP PRN ET He

un système de mineurs caractéristiques; les intégrales appartenant à la racine po se parlageront entre v sous-groupes contenant respectivement y — yn, Hi — Jh,..,, intégrales et se représenteront analytiquement par les formules (l', [”, .. 19); ces formules font voir, de plus, que les intégrales d'un sousgroupe quelconque subissent une substitution linéaire de la forme (20) lorsque la variable indépendante décrit le chemin L à l'intérieur du domaine (RR/).

RAR OR OTAOUIEAVOIT AUS LE Li. = Li. O OÙ, CE QUI

est la méme chose, »— y, p, =, — .:— 1, — Oo. - Dans ce cas, et dans ce cas seulement, toutes les intégrales correspondant à la racine 9’ appar-

tiendront à un seul sous-groupe. Donc:

Pour que les intégrales correspondant à la racine p' forment un seul sous-groupe, ù faut et \ suffit qu'il existe un mineur du premier ordre qui ne s'annulle pas pour jp — p" ou, en d'autres termes, que y soit le seul nombre caractéristique correspondant à cette racine.

Parmi les intégrales appartenant à la racine 9’: Ya s Yo o + Yinss Yon s Yan se Yon,s + + 5 Yrrs Yro s ce Yon,

il ny en a Que”, SAVOIT, 16 215. D, qui tie, Contiennent pas de logarithmes; donc, pour que les logarithmes disparaissent de toutes les y intégrales, il faut et il suffit que l’on ait 7 — y; mais puisquon a

PR ee ie Vs VhÆ M EE .. Ey, = 4,

l'égalité 7 — y entraine les relations suivantes:

UNE RS EE TE en mn donc:

Pour que les y intégrales appartenant à la racine p' ne contiennent pas de logarithmes, ou, ce qui revient au même, pour qu'il existe une intégrale de la forme

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contenant y constantes arbitraires, il faut et il suffit que les nombres caractéristiques correspondant à p' aient les valeurs: