ETES

l'équation donnée et supposons que les développements

+ co Q,(x) = 2 Bat (r=9,3,..n)

soient valables à l’intérieur de l'anneau circulaire (R;R;), R, et R; désignant des nombres positifs quelconques; soit À, < R; et posons

1 R; Fr ST " y li Te ie LR cu 2 K = VR, h,$ (2241 — Ben Krt?:

il est clair que les séries

L © Pc) = 2 a X (r=2,3,..7) convergeront en dedans de l'anneau cireulaire (RR') et qu’on a R < 1 < KR; donc, en conservant les notations du n° 21, nous savons que la série Te converge absolument et uniformément à l'intérieur de tout domaine fini. Or, en désignant par 7; ce que devient 7, en écrivant partout f au lieu de a, on aura

X mà ou An FA ER mm D var

par conséquent (n° 17), le déterminant infini

D(p) = ralesssst

converge absolument et uniformément : à l'intérieur de tout domaine fini et l’on a

De plus, d’après le n° 22 nous savons que la série 2,2, 7,2" | converge par rapport à æ en dedans du domaine (ARR); done 2,2; y ua" ?| converge en dedans du domaine (R;,R;). Donc, en remplaçant dans D(p) les éléments d'une ligne quelconque par les puissances de x, on obtient un déterminant qui, par rapport à x, converge en dedans de (R;2;) et, par rapport à p», en dedans de tout domaine fini (n° 14).

De la même manière, on voit qu'aussi les autres résultats obtenus subsistent si l'on remplace partout les à par les Z. Donc les théorèmes précédents subsistent pour le cas où les rayons de l'anneau circulaire con-

sidéré ne satisfont pas à la condition (21).

26. Pour appliquer ce qui précède à un exemple facile, considérons le cas particulier et bien connu où les P,(x), dans le ‘voisinage du point x — O, se présentent sous la forme

DÉGN=MTRAE); G=2,8, :n) dans ce cas on a:

BRIE ner 7 0) A=—1,—2,..— &) d'ou: