Appliquons ces généralités à un exemple. Soit

d°y 7 PTE (43) + (S+E HE y = 0

l'équation différentielle proposée; on aura identiquement

y =0 Hk>i+i1, du =0 Sk<i—1 (44) : ; g(p) TS p(p HE 1) CF fr; Diirs = Yi à FA

pp +)? ep +1)

Premier cas: 1 — 43 n'est le carré d'aucun entier. Les deux racines 9, , 9, de ç(p) seront incongruentes:

MAL EAN IDR Loi vr—4p, 1 leu e] ? P3 0] ?

donc @(p) prendra la forme Q(0) = 1 + Mrcot(o — p,)x + M,rcot(p — p,)x ou, en vertu de l'égalité M, + M, = 0,

sin 29,7 COS 29,7 — COS 207.

Sur les déterminants infiuis et les équations différentielles linéaires. 77

Pour calculer M,, faisons usage de la méthode employée dans le n° 28. D’après (29), en écrivant 4(0) sous la forme

Q(o) = 1 + > gr) = 1002, 2 gr

m=2 2 Pie Pm 1-P

la série 4°” sera identiquement nulle pour toute valeur ämpaire de m; et en posant, pour abréger les formules, F(o) = ç(o)ç(o + 1), on aura:

(L''ERPRT SES k & : Res D 0 (7) 22. Fo ve P:) F(p re P2) A Fo Le pa)

En représentant °° par une expression de la forme suivante:

QE 2 2 Mr Sin 29,7 COS 29,7 — COS 207 ?

nous savons que la constante MF° peut être exprimée comme une fonc-

tion entière rationnelle, à coefficients rationnels, de

LE ROUTE ur z Co (9, — 9,)r

ou, ce qui revient au même, de

T ; Pi) D TCOË 29, 7; bornerons-nous à calculer M® et M.

Parmi les fonctions Fo + m) (m —0o,+1,..), Fo) et Fo — 1) sont les seules qui s’annullent pour » = p,; donc le résidu de la fonction 9%, rélatif au pôle p,, aura la valeur:

(PA Pgo Se ï 1 fe 2 dE Ch He ar (po, "re < :

Pour trouver la valeur de M, écrivons 4% sous la forme

AD ee: en DE F(o ressi| Dre Tan F(p mr |?

GO \ (a 1)

78 Helge von Koch.

pour abrèger, désignons par le symbole Æ(4A) le résidu, relatif au pôle p,, d'une fonction quelconque À; posons

e : 2 2 I Cl Eros re en een

on obtiendra aisément

; PR FE" (p,) NO TE 1) RO RE Lo nf:

R(K) — F(o, — 2) F'(p, — 1) r FR) PP DAS

I F"(p, FR 1)F(p,) is EF (p,) Fe, er. 1) :

25 SP MOSS 1) PÉTER de plus, puisque (ay) G = [4°F, on a:

| (ay) R(G) = — 2[MŸFzcot2p, 7, et la quantité M°° se trouve déterminée par la formule MS = (ap) Ë R(G)— 2 R(H) — R(K) |.

Ces quantités une fois calculées, le résidu A s'obtiendra pur la formule M, = M9 + MO +... + MF +.

Second cas: 1 — 4 est le carré d’un entier p. Les deux racines #92 de g(p) seront congruentes:

Donc, en vertu des formules (27) et (27), la fonction 4(9) pourra s'écrire

l 2 A(o) = I + Mag, [r co (9 +2)r] = 1 — M, ten.) : as sin p+E)x

je

d'après ce que nous avons vu dans le n° 28, chacune des fonctions °°

LT

prendra la forme

(CIS (2x) T Mon) sin {0 + 4 T \ ( Do (24)

“9 désignant le produit de (ay) par un polynôme en 7 à coefficients rationnels. Donc M, se représentera par une série de la forme

M, = Roy + Roy) + .. + Rif) +.

où les À, sont des-polynômes en 7 dont les coefficients sont des nombres rationnels.

Dans tous les deux cas, le déterminant D(o) s’obtiendra par la formule

D(p) AVE Sin (o RE P,)T Sin (0 ste ap).

Ajoutons que les formules précédentes mettent en évidence ce fait que les invariants de l'équation (43), considérés comme fonctions des paramètres 4,8, 7, ne dépendent que de Z et du produit 47.

Une partie des recherches qui ont fait l’objet de ce mémoire, a été publiée auparavant dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences de Suède (Üfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Fürhandlingar, 1800).

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