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MM. Fucus' et HamBurGer” et, dans le cas général, par MM. PointarE” et MrrraG-LerrLer*. Les expressions analytiques qui ont été employées par ces auteurs pour représenter les Z,, contiennent certains parametres dont les invariants eux-mêmes sont absolument indépendants; l’emploi des déterminants infinis conduit aisément à des expressions plus simples, libérées de tout élément arbitraire.
En effet, posons F(w) — f(p); d'après la formule (25), on voit que les - quantités f(o), f’(o),..f(o), divisées par (27i)", s'expriment comme des fonctions linéaires homogenes de D(o), D'(0),.. D®(o) dans lesquelles les coefficients sont des expressions entières rationnelles, à coefficients rationnels, en zi. Donc, en posant 9 — © dans les formules
| y 1, do F(«) = (ob); F'(w) — Î (p) rÉ Fo) = f(p) ‘do \" Pre ne ré Ts P (to Er (ob
on obtient F(1), F'(1),.. F(1) sous la même forme. Or on a n(u) (— 1)"Z = FE (0)
NL 2
o'enes,
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et les Æ”(o) peuvent s'écrire comme des fonctions linéaires homo à coefficients rationnels, de Æ{(1), F'(1),.. F®(1); donc:
Les invariants de l'équation (1), relatifs à l'anneau circulaire (RR”, peuvent toujours s'exprimer comme des fonctions linéaires homogènes de
! Fucas, Über die Darstellung der Functionen complexer Variabeln, insbesondere der Integrale linearer Differentialgleichungen, Journal für Mathematik, t. 75.
? HAMBURGER, Über ein Princip zur Darstellung des Verhaltens mehrdeutiger Funchionen einer complexen Variabeln, insbesondere der Integrale linearer Differentialgleichungen in der Umgebung singulürer Punkte, Journal für Mathematik, t. 83.
* PoInCARÉ, Sur les groupes des équations linéaires, Acta mathematica, t. 4; voir aussi: VO&T, Sur les invariants fondamentaux des équations différentielles linéaires du second ordre, thèse, Paris 1880.
* MirrAG-LerFLEr, Sur la représentation analytique des intégrales et des invariants d'une équation différentielle linéaire et homogène, Acta mathematica, t. 15.
76 Helge von Koch.
D(o), D'(o),.. D®(o); dans chacune de ces fonctions, les coefficients sont des polynômes en ri dont les coefficients sont des nombres rationnels;
et, d’après ce que nous avons démontré plus haut:
chacune des quantités D(o), D'(o),.. D®(0) peut s'écrire comme une série absolument convergente ordonnée selon les paramètres a,, dans laquelle les coefficients sont des polynômes en x; et, dans ces polynômes, les coefficients sont des nombres rationnels.
