Considérons, par exemple, l'équation

oy^ ox

Nous avons vu qu'elle est équivalente au système

\ du d^

\ ôy dx^

qui est canonique et complètement intégrable. Ce système (B) admet comme système d'intégrales le plus général un système d'intégrales <p et u qui, pour j = jo> se réduisent respectivement à deux fonctions données à l'avance de la variable a?, $(ar), \]{x).

L'intégrale générale de Téquation (A) est donc une fonction 9 telle

que, pour j = jo. 9 et -.— se réduisent respectivement k deux fonctions

données à Tavance, $(.r) et U(x-). Il ne nous est pas permis d'affirmer autre chose. Ainsi, nous ne savons pas s'il existe, par exemple, une intégrale de cette équation qui, pour a; — o, se réduit a une fonction donnée à Tavance de y. M"® de Kowalewski, à qui nous empruntons cet exemple, a effectivement montré que l'équation (A) n'admet pas

d'intégrale qui, pour o? = o, s^réduise à (').

11 pourrait arriver qu'à un même système (A) correspondent plusieurs systèmes linéaires complètement intégrables; à chacun de ces systèmes correspondra une forme du système général d'intégrales, mais toutes les formes ne seront évidemment pas distincts.

Ainsi l'équation (A) est aussi équivalente au système canonique complètement intégrable suivant

ào

ày

: Uj

dv

ày

ÔJU

du

ày

ÔJC

ào

auquel correspond la forme suivante de l'intégrale générale de (A) : l'intégrale ç est telle que, pour œ = Xn, y = Jo» ? prenne une valeur

donnée Qft et, pour j =jo» )~6*^ -p se réduisent respectivement a deux

fonctions données à l'avance de x, V(j?) et L!(j?). Cette forme ne doit évidemment pas fournir d'autres intégrales que celles qui sont fournies par la première.

22. Application {^^). — Considérons le système d'équations aux déri-

(*) SopiHBDE Kowalewski (/or. cit.). Voir aussi, au sujet de cet exemple, G. Darboux, Comptes rendus de V Académie des Sciences^ t. G VI, p. G5i.

(*) Voir au sujet de cette application : P. Appell, Sur les séries Iij-pergéome'triqucs de deux variables et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles ( Comptes rendus de V Académie des Sciences ^ t. XG, p. 296).

vées partielles simultanées suivant

/ d^z d^z dz dz

i d^z , d^z ^ dz , dz

entre la fonction z et les variables x et y, et où les a et 6 désignent des fonctions des seules variables x et y.

Dérivons ces équations par rapport à x et v. Nous aurons

/ d'3 d^z fda, \ <)*z

djc' ' dx-dy " \ d.r ' ' ^ J dx ày

d^s d^z fda, ^ \ d^z

I àx^dy "' dx dy^ - \dy "» ^ "'"' ) dx dy

d^z . d^z fdb, . , \ à*

r ~ *' d^^y ^-[d-x-^ *'''•-" *' ; dx

dx dy* dx* dy ' \ dx J dx dy

<?'3 . d^z (db, , , . \ ^'5

I® Si (a,è, — i) est différent de o, on pourra résoudre les quatre équations (B) par rapport à ^, -^~^-^. ^^, ^~ , et l'intégrale générale du système (A) dépendra d'un nombre yîm de constantes arbitraires dont le nombre sera, au plus, égal à 4« Car, à cause des équations (A), on pourra, au plus, prendre arbitrairement les valeurs

. ... 1 1 dz àz . à-z

initiales de :?, -^--j 3- et

ôx dy " dx dy

2° Si a,i/— 1 = identiquement, cette résolution ne sera plus possible; on pourra éliminer les dérivées du troisième ordre entre la seconde et la troisième des équations (B), et Ton obtiendra l'équation

(da^ , àh^ . ^ . \ d^z

o = ( -3 h a, -h tis 61 H- a, ^ h 6, a\^b^a^\-c ' . -\-

\dy dx * ) dx dy

a. Si le coefficient de . ^ est différent de o, on pourra résoudre

l'équation (C) par rapport à ^ et, par suite, exprimer toutes les valeurs des dérivées secondes en fonction de z et des dérivées pre-

mières. Le système admettra alors, comme système le plus général d'intégrales, un système dépendant, auplus, de trois constantes arbitraires; car on pourra prendre arbitrairement, au plus, les valeurs

initiales de -s, .- et .-•

ôx oy

b. Si le coefficient de ^— ^- est identiquement nul dans l'équation (C) et que cette équation ne soit pas vérifiée identiquement, elle fournit une relation linéaire entre z, p = -^ et q = -^- S\ les coefficients de p et q sont aussi nuls, c'est que le système (A) admet la seule intégrale évidente z = o.

Si l'un des coefficients àep ou de q est différent de o, celui de q par exemple, on pourra tirer de (C) la valeur de q en fonction dep et de z,

q = ocp-h^z,

et l'on pourra écrire les équations (A) sous la forme

àp dp / /a X

ày ày ^ ' ^ ày

fin

-^b,J^-\-{b^-^b^(x)p-^{b^!^ \-(h)z, âz âz Q

Si OL — bf est différent de o, on pourra résoudre les équations (A')

par rapport Si y-y -^y ■-/- et j-> et l'intégrale générale dépendra, au

plus, de deux constantes arbitraires.

Si OL — b^ = o, sans que les coefficients de z et p soient identiquement nuls dans la seconde équation (A'), le système admettra soit la seule intégrale 5 = 0, soit une intégrale dépendant d*une constante arbitraire.

Enfin, si les coefficients de -^y petz, dans la seconde équation (A'),

SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. Sy

sont identiquement nuls, le système (A') se réduira au système complètement intégrable

âz

dz .

àp dp , V , ^ V

et le système (A) aura une intégrale générale dépendant d'une constante arbitraire et d'une fonction arbitraire de j.

3** Supposons que les coefficients de . ^ » ^j -^- et 5, dans l'équation (C), soient identiquement nuls. On aura alors, à la fois, les cinq conditions suivantes :

a, 61 — I =1 o, àdx , àbi , , ,

ôa^ , âbf , ,

(D) i dv "'"^ *"^^* ^ -h ai aj ô, -h ai 64 =1 o,

âa^ , âb^ ,

-^ -ha^o^-j-a^-hai-^ -h a,a36,=io,

-^-ha3^-f-a,^+a,a4^=o.

Remarquons immédiatement que ces conditions ne sont pas incompatibles. En effet, si, dans les quatre dernières équations, on remplace

6, par—» on obtient quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre, résolubles par rapporta ^-> .-% -j-S -t-*> qui, en vertu du

théorème de M*"* de Kowalewski, ou encore en vertu de ce qui précède, admettront un système d'intégrales, quels que soient b^, 6», è^, dépendant de quatre fonctions arbitraires dey.

Supposons donc les relations (D) vérifiées; prenons comme nouvelles fonctions inconnues a-^ —P^^ j- ~ 9- Le système (A) sera équi- B. 8

valent au système canonique suivant

âz dz

dp dq dp ôq

qui, à cause des relations (D), est complètement intégrable. L'intégrale générale du système (A) dépendra donc, dans ce cas, de deux constantes arbitraires et d'une fonction arbitraire dey. D'une manière plus précise, on pourra trouver une intégrale z du système (A) telle

que, pour x — x^^ y = y^, z et -.- se réduisent respectivement à deux

constantes données z^ et po et que, poury =yo> j- se réduise à une fonction arbitraire donnée de x.

SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. 5g