Soit en edet

un système canonique linéaire d'équations aux dérivées partielles du premier ordre, non complètement intégrable, mais^ dont le système je. plus général d'intégrales dépend d'un nombre infini de constantes arbitraires. Adjoignons à ce système toutes les équations en nombre 'ilïîini que f on peut former en dérivant les équations de ce système un nombre quelconque de fois par rapport à certaines des variables ^,, a?^, ..., Xn- Nous formerons ainsi un système (S) d'équations, en nombre infini {voir théorème V de la première Partie), qui permettront d'exprimer certaines dérivées, que nous appellerons dériçées de la première catégorie en fonction des autres, appelées dérivées de la seconde catégorie. Le système (6) étant canonique, on pourra faire cette résolution de telle façon que toutes les dérivées de la seconde catégorie soient paramétriques, et que toutes les dérivées principales appartiennent à la première catégorie. D'ailleurs, comme le système (5) n'est pas complètement intégrable, un certain nombre de dérivées paramétriques appartiendront à la première catégorie et seront ainsi exprimées en fonction des autres.

Désignons par (E) l'ensemble de ces relations entre les dérivées paramétriques.

Reprenons, maintenant, la démonstration du théorème VIL Au lieu de prendre arbitrairement les fonctions ç^, 92 . . . , 9,r., nous les choisirons de telle façon que, tout en restant holomorphes, leurs valeurs initiales et celles de leurs dérivées, c'est-à-dire les coefficients de leurs développemen ts, vérifient les relations ( E). En d'autres termes, nous prendrons arbitrairement toutes les valeurs initiales des dérivées

de la seconde catégorie, dont le nombre est infini, et nous prendrons pour les valeurs initiales des dérivées paramétriques, appartenant à la première catégorie, les valeurs fournies par les relations (E). Ai^ecces conditions, les valeurs initiales des dérivées principales seront bien déterminées et fournies par le système (S). On voit alors, comme précédemment, que, s'il existe un système dont les dérivées de la seconde catégorie ont des valeurs initiales données, il en existe un seul; que, si les développements calculés pour les intégrales sont convergents, ils vérifieront les équations du système (S), et enfin que les développements sont convergents, car la démonstration de la convergence (théorème VII) ne s'appuie que sur le seul fait que le système proposé est canonique.

Nous en concluons donc que, dans tous les cas, les développements )\

calculés pour les intégrales d'un système linéaire canonique du premier ordre, où l'on prend arbitrairement les valeurs initiales des dérivées de la seconde catégorie, sont convergents. Par conséquent, étant donné un système quekonque d'équations aux dérivées partielles simultanées, les développements calculés pour les intégrales au moyen des équations de ce système sont toujours, en choisissant convenablement celles des dérivées dont on prend arbitrairement les valeurs initiales, convergents.