INTRODUCTION

Les systèmes d'équations aux dérivées partielles simultanées, entre plusieurs fonctions inconnues et plusieurs variables indépendantes, n'ont été, jusqu'ici, l'objet que d'un nombre très limité de travaux.

Les premiers de ces systèmes qui ont été étudiés sont les systèmes complètement intégrables provenant des équations aux différentielles totales. Leur étude a été faite et achevée par Bouquet et M. Mayer (voï'r F*' Partie, n*' 1).

Un peu plus tard, en 1876, M. G. Darboux (*) et M*"* de Kowalewski (*) ont, presque simultanément, donné chacun une démonstration de l'existence de l'intégrale dans ceux de ces systèmes où le nombre des équations est égal au nombre des fonctions (^).

(*) G. Darboux, Comptes rendus de l'Académie def Sciences, t. LXXX, p. 101 et 817.

(') Sophie von Kowàlewski, Journal de C relie, t. 80, p. i.

(S) Cauchy avait indiqué des démonstrations avant M. Darboux et M'"*' de Kowalewski. Ce fait a été signalé par M. Genocchi à Toccasion des articles de M. Darboux dans les Comptes rendus.

M. Darboux s'est contenté d'indiquer sa démonstration dans deux courtes Notes aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Le Mémoire de M"'* de Kowalewski est plus développé. L'auteur n'y prouve l'existence d'un système d'intégrales que dans le cas où /^^, w^, ..., n^ étant, respectivement, les ordres des dérivées de l'ordre le plus élevé des fonctions inconnues 9^, <p29 •••* 9m qui figurent dans les équations proposées, ces m équations sont résolues par rapport aux dérivées

prises par rapport à une même variable x. Le théorème de M"* de Kowalewski ne démontre donc l'existence d'un système d'intégrales dans les systèmes d'équations aux dérivées partielles, les plus généraux, où le nombre des équations est égal au nombre des fonctions inconnues, que s'il est toujours possible de trouver une transformation qui ramène le cas le plus général au précédent. Malheureusement, il n'en est rien et, comme nous le montrerons dans la II® Partie de ce travail, par un exemple, une telle transformation n'est pas toujours possible.

Après M°** de Kowalewski, M. J. Kônig a donné, dans le Tome XXIII Aq^ Mathematische Annalen (*), un type de systèmes d'équations aux dérivées partielles, pour lesquels il démontre l'existence d'un système d'intégrales, et qui comprennent, comme cas particuliers, les systèmes de M"* de Kowalewski et les équations de Bouquet et de M. A. Mayer (").

Enfin, tout récemment, MM. Méray et Riquier ont publié dans le Tome VII de la 3* Série des Annales scientifiques de V École Normale supérieure (1890), un Mémoire très intéressant intitulé : Sur la cons^ergence des développements des intégrales d'un système d'équations aux dérivées partielles simultanées.

Dans ce travail, MM. Méray et Riquier ne considèrent que des sys-

( * ) J. RôNiG, Ueber die Intégration simultaner Système partieller Differentialgleichungen mit mehreren unbekannten Funktlonen.

(•) On pourrait encore consulter utilement à ce propos la thèse présentée par M. H. Poincaré à la Faculté des Sciences de Paris en 1879.

tèmes, qu'ils nomment immédiats , qui sont soumis à certaines restrictions et prouvent ia convergence des développements ^oxxv certains de ces systèmes. Je montrerai, dans ce travail, que tout système linéaire d'équations aux dérivées partielles du premier ordre, peut être mis sous une forme canonique pour laquelle la démonstration de la convergence des développements est toujours possible; d'ailleurs, tout système partiel se ramène à un système linéaire du premier ordre (wirlP et IIP Partie) (^).

Le présent travail est divisé en trois Parties. Dans la P* Partie j'établis la condition nécessaire et suffisante pour qu'un système d'équations aux dérivées partielles simultanées admette comme système d'intégrales le plus général un système dépendant d'un nombre ^m de constantes arbitraires. Cette condition avait déjà été énoncée et démontrée par M. Sophus Lie {Théorie der Transformations gruppen, t. I, Chap. X), mais la méthode que j'ai suivie est toute différente de celle de M. Lie et présente, en outre, l'avantage de montrer comment, pratiquement, après avoir reconnu ce cas, on ramènera l'intégration du système à l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires du premier ordre (').

J'ai réservé la IP Partie à l'étude spéciale des systèmes linéaires d'équations aux dérivées partielles du premier ordre. Je définis les systèmes canoniques et les systèmes linéaires canoniques complètement intégrables : tout système linéaire du premier ordre peut être mis sous forme canonique et tout système canonique complètement intégrable admet un système d'intégrales général dont le degré de généralité est parfaitement défini.

Enfin, la IIP Partie sert de lien entre les deux premières et contient les conclusions dont voici le résumé : la convergence des développe-

(*) Je ne parle pas ici des nombreux travaux qui ont été faits sur des systèmes particuliers d'équations aux dérivées partielles contenant plusieurs fonctions inconnues, car mon but principal est Yexistence des intégrales dans les systèmes les plus généraux.

(*) M. Roger Liouville, dans une Note aux Compter rendus de l'Académie des Sciences, t. CI, p. II 35, a donné une vague indication de ceci. Il dit : Les solutions communes à deux ou plusieurs équations aux dérivées partielles s'obtiendront en integrwit un système d'équations aux différentielles totales qu'il est facile de former. Je n'ai pas eu connaissance d*un Mémoire de M. Liouville où cette indication soit plus développée.

ments des intégrales, d'un système quelconque, calculés au nïoyen des équations mêmes de ce système est établie. Le degré de généralité du système le plus général d'intégrales n'est précisé, en toute rigueur, que dans deux cas : i^ quand le système ne dépend que d'un nombre fini de constantes arbitraires; 2** quand le système proposé peut être ramené à un système linéaire du premier ordre canonique complètement intégrable.