PREMIÈRE PARTIE

!• Je rappellerai d'abord un certain nombre de théorèmes dont j'aurai besoin dans le cours de cette exposition (*).

Définition, — Étant donné un système de mn équations aux dérivées partielles du premier ordre, entre les m fonctions m,, u.^, ..., //,„ et les n variables x^j œ^, . . . , x^^^

(i) -^—fik {i—i,2,...,m; k — \,'^,...,n),

oii/ik désignent des fonctions de m,, Wg, ..., w,„, Xt, ..., a?,», on dit que ce système est complètement intégrable, si les fonctions fi^ satisfont, identiquement, aux relations

àfik , àfik f , , àfik f __ àfih . àfiu -, ^ àfiu -

âxn du, '''' du,n'""'~ ôx^ du, ''"' du

(•) Foir S. Lie, Théorie dcr Transformations gruppen^ t. I, Ghap. X.

(*) Voir Bouquet, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, t. lU, p. 265, 1872; A. Mayer, Mathematische Annalen, t. 5, p. 448, et Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, i"" série, t. XI; Goursat, Leçons sur les équations aux dérivées partielles, Chap. ]I et III.

Ces relations peuvent s'écrire, symboliquement,

(2) X„(/,O^Xa(//,.), en posant

D'ailleurs, il est aisé de se rendre compte que ces identités expriment que les deux valeurs des dérivées secondes ^ — ^^y qu'on peut calculer au moyen des équations (i), sont identiques.

Théorème I. — Etant donné le système complètement intégrable

dans lequel f^t désigne une fonction de W|, w^, . . ., a^,,, a?,, x^^ . . ., x^ régulière au voisinage des valeurs mJ, m^, . . . , m^, icj, ajj, . . ., ^" de ces variables, il existe un seul système de fonctions i/|, i/^, . . ., i/^» holomorphes au voisinage du point x\^ x\y . . ., ip", se réduisant, respectii^ement, à u% w°, . . ., a^ pour x^ = a?^, x^ = a?®, . . ., ^„= a?^, e^ vérifiant les équations (3).

Remarque, — Ce théorème montre que le système (3) admet un système d'intégrales dépendant de m constantes arbitraires m% u\, ..., M^. D'ailleurs, c'est le système le plus général d'intégrales holomorphes du système (3), car, si l'on considère un système quelconque d'intégrales holomorphes du système (3), et si i/^, u\, . . ., m®^ sont les valeurs de ces intégrales, pour x^ = x% . . . , j?,, = x^, il existe, d'après le théorème I, un système d'intégrales et un seul satisfaisant à ces conditions : c'est donc, nécessairement, le système considéré.

Théorème 11. — Un système complètement intégrable se transforme en un système complètement intégrable, lorsqu'on effectue un changement quelconque de variables indépendantes.

Théorème III. — Pour tromper les intégrales M|, «2» •••> ^m ^^ ^y^' tème (3), qui, pour a;, = a?", . . ., Xn=^ x^^ se réduisent, respectivement.

à w", wj, ..., w®, on procédera de la façon suivante : on effectuera, d'abord, le changement de variables

dans le système (3). On remplacera ainsi ce système par un nouveau système complètement intégrable

(5) ^— Fa (/ — 1,2, ..., w; A: — J, 2, ...,«),

oyk

et aux intégrales précédentes du système {^) correspondront des intégrales du système (5), qui, pour y ^ = o, se réduiront respectivement à w", w", ..., "«♦ Ç^l^^ Ç^^ soient les valeurs dey^^y^, . . ., j;,.

On considère alors le système d'équations différentielles ordinaires

déduit du système (5) en prenant les équations de ce système pour lesquelles k = If et l'on obtient les intégrales cherchées du système (5), et, par suite, celles du système (3) en déterminant les intégrales du système (5'), où l'on considère y,^^ y^^ . . ., y^ comme des paramètres arbitraires, qui, pour y ^ = o, se réduisent respectivement aux constantes données u\, u\^ . .., u\.

Ce théorème ramené donc l'intégration du système complètement intégrable (3) à celle d'un système d'équations différentielles ordinaires.

2. Nous établirons, maintenant, la proposition préliminaire suivante :

Théorème IV. — Étant donné le système de mn équations aux dérivées partielles du premier ordre

(6) 'dx~^'^ {i~-i,2, ...,m; A: - 1, 2, . . ., /i),

où fiff désignent des fonctions de w^ , Wg, . . ., u^y x^^ x^, .-', x^ et les p relations distinctes

s'il existe des fonctions u^^ u.,, ,,,^ Uj^de x^y . . . » ^^ vérifiant à la fois les équations (6) ^^ (7)» ces fonctions satisferont à un système complètement intégrable de la forme

(8) -^ —Yik (f—i, 2, . ..,/•; A:i=:i,2, . . .,n), r</w,

et à m — r relations de la forme

et y réciproquement, toutes les solutions des systèmes (8) e/ (9) satisferont aux systèmes (6) et (7).

En effet, tout système de fonctions vérifiant les équations (6), vérifiera aussi les relations qui expriment que les deux valeurs de 3 — ^y calculées au moyen des équations (6), sont égales

(10) 'S.n{fik)~^k{/ih) (i — i,2, ...,m; k,h = i,2, ...,/i).

Si parmi ces relations il y en a un certain nombre qui ne sont pas des conséquences des équations (7), nous les joindrons aux équations (7), de façon à former, avec ces équations, un système

(]e p-h q relations distinctes. On pourra résoudre ces p -h q relations par rapport ^^ p -^ q des quantités u^^u^, . .., m,„, car sans cela il y aurait une relation entre les n variables indépendantes x^, x^, ..•» a7„. Soient

Ces relations résolues, portons ces valeurs d^ u,n^p^^^, ..,, m,„ dans les équations (6). Toutes celles de ces équations pour lesquelles l'indice i est inférieur hm—p — q-hi prendront la forme

(12) -—i =::éf|^. («=ii,2, ...,m — o — cr; A==:l, 2. . . ., /l),

lO C. BOURLET.

OÙ êik désigne la fonction des seules quantités m, , . . . , Uf^-p-g, x^, ...,x„ que l'on déduit de/i/t en y faisant la substitution (i i).

Toutes celles des équations (6) pour lesquelles l'indice i est supérieur k m — p — q donneront, après y avoir remplacé les dérivées

->— (i<^m — p — q -hi) par les quantités ^,vt, des relations entre

M|, «2, . . . , u^^p.g, x^y iCj» . . . , i2?« ne contenant plus de dérivées.

i** Si toutes ces relations sont vérifiées identiquement, le système (i 2) sera complètement intégrable, car les relations qui expriment que ce système est complètement intégrable, sont précisément les relations qu'on obtient en remplaçant m,„ p.^^.^, . . . , w,„ par leurs valeurs, tirées de (11), dans les relations (10), qui, par suite, seront identiquement vérifiées. Dans ce cas, le théorème est démontré, car, tout système d'intégrales satisfaisant à (6) et (7) satisfait évidemment aux équations (i i) et (12), et réciproquement.

2^ Si toutes ces relations ne sont pas vérifiées identiquement, nous écrirons toutes celles qui sont distinctes; soient

Elles formeront, avec le système (12), un ensemble d'équations tout pareil à l'ensemble des systèmes (6) et (7). Nous pourrons donc traiter les systèmes (12) et (ï3) comme nous avons traité les systèmes (6) et (7), et, comme l'ensemble des équations (i i), (12) et (i3) est évidemment équivalent à l'ensemble des équations (6) et (7), en continuant de la sorte, nous arriverons soit à un svstème de relations distinctes entre w^, Wj, . . . , u,n, x^, . . . , x^, dont le nombre est supérieur à m, et, alors, les systèmes (6) et (7) dont les solutions devraient vérifier ces relations, sont incompatibles, soit à deux systèmes de la forme (8) et (9), dont l'ensemble sera équivalent à celui des deux systèmes (6) et (7).

Pour avoir la solution la plus générale des systèmes (6) et (7), il suffira donc de trouver la solution la plus générale des deux systèmes (8) et (9). On cherchera, à cet effet, le système le plus général de fonctions u^y u^, . . . , w^, satisfaisant au système (8), et on prendra

pour Ur^i, ..., W;^ les valeurs correspondantes données par les relations (9). Le système (8) étant complètement intégrable, le théorème I nous apprend que le système d'intégrales le plus général dépend de r constantes arbitraires, et le théorème III nous fournit le moyen de troui^erces intégrales.

3. Avant de nous occuper du cas le plus général d'un système d'équations aux dérivées partielles simultanées, nous traiterons, d'abord, le cas simple d'un système d'équations aux dérivées partielles entre une fonction inconnue z et deux variables indépendantes x eiy.

Il est clair que, s'il existe une intégrale z satisfaisant à un tel système, celte intégrale vérifiera toutes les équations que Ton peut en déduire en dérivant une ou plusieurs fois les équations qui forment ce système, soit par rapport k a?, soit par rapport -à y; on pourra donc adjoindre ces équations au système proposé. Supposons qu'en opérant ainsi on puisse arriver à un système équivalent au système proposé, mais tel que, si m est l'ordre des dérivées de l'ordre le plus élevé qu'il contient, il y ait (m -+- 1) équations de ce système qui soient résolubles par rapport aux (m -f- 1) dérivées partielles d'ordre m de z. Je dis que, dans ce cas, si les équations ne sont pas incompatibles, l'intégrale générale du système dépendra d'un nomhve^ni de constantes arbitraires.

En effet, après avoir résolu (m-hi) équations par rapport aux (m -h i) dérivées d'ordre m, portons les valeurs de ces dérivées dans toutes les autres équations. Nous obtiendrons ainsi un système d'équations aux dérivées partielles équivalent au système proposé et de la forme suivante

('4) PmtO^=^/o9 Pm-i fi^^/if •••> POtm^^^ Jmy

( 9l (*^> y* ^9 P109 Po\9 • • • » A^m-l,o> • • • » POim-l) = 0>

\ ^q\^9 y9 ^9 PiQy Poi> • • • > /'//i-l.OJ • • • > /^0,//l-l ) ^^= O,

OÙ on a posé

dxPdy^'-p — Pp^"'-p' et oii/o,/u ...»/,n> ?n •• •» ?7 désignent des fonctions de x, j, z^ et

(les dérivées de z jusqu'à l'ordre (m — i) inclusivement. Prenons alors pour nouvelles fonctions inconnues toutes les dérivées de s jusqu'à l'ordre (m — i) inclusivement, et considérons le système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre et de relations suivant

i Pi

âx

— Pxas

àpio .

âx ~

àpoi

Pto,

~- Pu

ày

àpjo

'ày

- àpoi ày

~ Poif

àpm-i,0

àx

Pm~-i,ii9

àp,n -i,0

— Pm—i.t^

àpo,m-i „

- Pl^m-ii

àPm-1,0

âx âx

àpo,m-l

-Pu

àpm^l,»

ày '

-fu

àpm-^A

ày -

Po,m~l î

àpo,m-i __

\ âx

— Jm l>

àpo.»t-\ ay

9l (^>/>^,/^lo,/>oi> ...,/?o./n-i) = 0,

9çi^9yf ^9 ^10>^0l> • • •> Po.m-i) ^=- 0«

Les deux systèmes (ï4), (r5) et (iG), (17), (18) sont équivalents, c'est-à-dire qu'à toute intégrale du système (i4)> ('5) correspond un système d'intégrales du système (16), (17), (18), et réciproquement. Car, si 5' est une intégrale du système (i4), (i5), on aura évidemment un système d'intégrales du système (i6),(i7), (18), en adjoignant à z' les fonctions/?/^ définies par les relations

P^^~ âx'ây^

{i -\- k'-ni — i).

SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. l3

Réciproquement soit z\ p.,^ un système d'intégrales du système (i6), (17), (18), les équations (16) expriment que l'on a

et en portant ces valeurs dans les équations (17) et (18), qui sont vérifiées par hypothèse, on trouve précisément les équations qui expriment que z' est une intégrale du système (i4)> (<5).

Pour trouver l'intégrale la plus générale du système (i4)» ('5), nous sommes donc ramenés à intégrer de la façon la plus générale le système (16), (17), (18). Le théorème IV nous apprend que le système le plus général d'intégrales dépend d'un nombre y?m r de constantes arbitraires, et nous connaissons, de plus, le moyen de ramener la recherche de ce système à l'intégration d'un système de r équations différentielles ordinaires du premier ordre.

Remarque, — Le nombre r des constantes arbitraires est au plus égal à ^HM!}: — îi; car le cas le plus favorable est celui oii les fonc-

tions ç des relations (18) sont identiquement nulles et où le système (16), (17) est complètement intégrable. Dans ce cas, le théorème I nous montre qu'on peut prendre arbitrairement les valeurs initiales de z et p^^ (pour î-^-^^/w-i), c'est-à-dire qu'il y a

"—^ — - constantes arbitraires.

4. Inversement, je dis que, si une fonction 5 de a: et j contient un nombre fini r de constantes arbitraires, on pourra déterminer un nombre m tel que toutes les dérivées partielles de z puissent s'exprimer en fonction des dérivées d'ordre inférieur à m. Soit, en effet,

cette fonction, et soit (x \ii plus petit nombre entier tel que l'on ait

I^ C. BOL'RLrr.

I^crivons les équations suivantes :

Pi.o -

ào

ôx

Po,i

Po,\i-i —

PV'.o -

ôx\^

àxv--^ ôy

Los équations (19) et (20) sont au nombre de ^-^ — ~ • Supposons

d'abord que, parmi ces équations, il y en ait r qui puissent être résolues par rapport a a,, «;^, . . . , a^., c'est-à-dire qu'il y en ait r telles que le déterminant fonctionnel des premiers membres par rapport à a,,

«a (ir ne soit pas identiquement nul. On pourra alors tirer de ces

r équations «,, rt^, .. . , Ur en fonction de :;, x, y et pn^ (i-h k^[k — i) et, on portant ces expressions dans les équations (21)» on en conclura que les (jl -h i dérivées d'ordre (x de s s'expriment en fonction de a?, yt 3 et dos dérivées d'ordre inférieur à [jl.

Supposons, en second lieu, que tous les dét^j^minants fonctionnels de r quelconques des premiers membres des équations (19) et (20) par rapport à «,, a^, ...,«;. soient identiquement nuls; ces déterminants seront les mêmes que si les premiers membres ne contenaient pas les quantités /7/;^ et, par suite, expriment qu'il existe des relations

entre r quelconques des fonctions ç, ^-/^-~>t(' -+-^<K- — i)» Remarquons, d'ailleurs, que ces relations ne sont certainement pas réso-

SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. l5

lubies par rapport aux [x dérivées de l'ordre (x — i; car, sans cela, la fonction ç satisferait à un système d'équations aux dérivées partielles d'ordre ix — i dont [x équations sont résolues par rapport aux dérivées d'ordre [x — i et, par suite, contiendrait au plus ^^~— con-

stantes arbitraires, ce qui n'est pas, puisque r> ^^^^'^ (*). Soit

alors (r — k) le nombre des fonctions <p, ^ ^^^ qui sont distinctes

(considérées comme fonctions de a^, a^, ..., a^) : si toutes les dérivées de l'ordre (x -s'expriment en fonction de ces (r — k) dérivées, le théorème sera démontré; sinon, joignons à ces dérivées celles des dérivées de l'ordre [x qui forment avec elles un système de fonctions distinctes et continuons de la sorte : nous arriverons, nécessairement, soit à prouver que toutes les dérivées d'un certain ordre de ç s'expriment en fonctions des dérivées d'ordre inférieur, soit à trouver un

nombre m tel qu'il existe r des fonctions ç, 3-r^-^ (« -i-^<'w — i)

dont le déterminant fonctionnel par rapport à a,, a^, . . . , a^ est différent de zéro. On pourra alors résoudre r des équations

par rapport k a^, a^, . . . , a^ et, en portant ces valeurs dans les équations

on en conclura que toutes les dérivées de l'ordre m de 5 s'expriment en fonction des dérivées d'ordre inférieur.