SUR

Les équations de la gravitation d'Einstein expriment les composantes T,7, du tenseur-matière au moyen des coordonnées x, de l'univers (espace-temps), des coefficients g,vt de la forme différentielle quadratique fondamentale 'Lgn.dxidx,, et de leurs dérivées partielles des deux premiers ordres. Ces équations, d'après le principe rriême de relativité, doivent avoir une signification indépendante du choix des coordonnées. Cela revient à dire que si les équations de la gravitation sont

T/A- = — Gik-,

la forme différentielle quadratique ^.Gj^dxidx/, est covariante de la forme fondamentale vis-à-vis d'un changement de coordonnées arbitraire.

La recherche des équations de la gravitation revient donc à la recherche de toutes les formes différentielles quadratiques covariantes lLGc^i,dx,dxi,. Einstein ajoute deux conditions supplémentaires : la première que les G,/, soient linéaires par rapport aux dérivées partielles du second ordre des fonctions g,7;, la seconde que la loi de conservation soit respectée.

Je me propose, dans les pages qui suivent, de démontrer rigoureusement que la seule solution mathématiquement possible du problème ainsi formulé est celle qui a été indiquée par Einstein. D'une manière plus précise, toutes les formes différentielles covariantes ^Gtn^dxidxi^ dont les coefficients G^/, dépendent linéaire-

4 E. CARTAN,

ment des dérivées partielles du second ordre des g,^. se déduisent d'une d'entre elles lG/ytC^a;,c?a;/. par la formule générale

iGjA- dxi dxk = a i G,/., dxi dx^ + ( P A + y ) -^",7.- dxi dx,,^

OÙ a, (3, Y sont trois constantes arbitraires, A étant la courbure scalaire de Riemann. La condition que la loi de conservation soit resjDectée ne laisse que deux paramètres arbitraires (homogènes) au lieu de trois.

Étant donnée la difficulté qu'on rencontre à avoir connaissance des Mémoires parus à l'étranger pendant la guerre et depuis la guerre, je ne suis pas absolument sûr qu'aucune démonstration de ce théorème n'ait été donnée. Celle que je vais exposer repose naturellement sur la détermination préalable des invariants d'une forme différentielle quadratique vis-à-vis du groupe général à n variables (quatre dans le cas de la relativité) : c'est le problème même étudié par Christofîel {Journ. de Crelle, t. LXX), et en vue duquel a été fondé le calcul différentiel absolu. La méthode que j'emploie n'est que la simple application dans un cas particulier d'une méthode générale que j'ai développée en 1908 (^). Si l'on imagine la forme différentielle donnée décomposée en carrés

ds-=i — wj — (jil — cOj ^- oj|,

OÙ coj, CO2, t03, Lo. sont des expressions différentielles linéaires (non différentielles exactes), le problème revient à trouver les invariants du système de ces quatre formes vis-à-vis des transformations que fait subir à ces formes une substitution linéaire appartenant à un certain groupe (celui qui conserve to' — oi] — w"^ — col). Toute décomposition du ds'^ en carrés revient au fond au choix d'un système de référence euclidien associé à chaque événement. La for-

(^) Ann. Éc. norm., 3® série, t. XXV, p. 67 et suiv. (Chapitre I du Mémoire). D'une manière générale je renverrai, pour les notations et les éléments essentiels des théories utilisées, à un Mémoire récent du Bulletin de la Société mathématique de Franco, t. XLVII, 1919, p. i25-i6o, et t. XLVIII, 1920, p. 182-208, spécialement les Chapitres I, II et III.

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 5

mation des covariants bilinéaires des co, fait intervenir les composantes oj,y de la rotation instantanée du système de référence mobile (ce qui entraîne la définition du parallélisme due à Levi- Civita), les covariants bilinéaires des w,y introduisant à leur tour les symboles de Riemann et ainsi de suite.

Je n'utilise pas du tout le calcul différentiel absolu de Ricci; ce n'est pas que j'en méconnaisse l'importance; mais il n'est pas mauvais, je crois, de montrer que des méthodes absolument générales sont applicables à la théorie des invariants d'une forme différentielle quadratique. Les mêmes méthodes s'appliqueraient à la théorie des variétés généralisées de H. Weyl, définies par un ds"^ et une forme différentielle linéaire, et aussi à la théorie des invariants d'une équation différentielle quadratique Zgi/,dxidxk = o, ou même d'une équation de Monge quelconque

F(.ri; dx,) = o.

Il est très remarquable que les équations de la gravitation d'Einstein ne font intervenir que dix combinaisons linéaires des vingt symboles de Riemann; il existe dix autres combinaisons linéaires qui se conservent (ou plutôt dont les rapports mutuels se conservent) lorsqu'on multiplie le ds^ par une fonction arbitraire des Xi et qui constituent les seuls invariants relatifs du second ordre de V équation ds'^ =o; ces dix combinaisons linéaires intéressent donc uniquement les lois de propagation de la lumière, tandis que les dix combinaisons qui entrent dans les équations de la gravitation ne les intéressent pas. Il est assez déconcertant que ces dix dernières quantités seules aient été considérées par les physiciens. Je montre qu'elles entrent comme parties réelles et imaginaires des coefficients d'une forme quadratique ternaire covariante.

Je signalerai enfin (11° 5iî et suiv.) la forme donnée au tenseur de la gravitation conçu comme un vecteur appliqué à un élément à trois dimensions de l'univers, les composantes de ce vecteur étant des formes différentielles symboliques du troisième degré. La loi de conservation s'exprime d'une manière simple au moyen de l'opération de dérivation extérieure qui fait passer d'une inté-

E. CARTAN.

grale multiple étendue à une variété fermée à l'intégrale égale étendue au volume limité par la variété.

Ce Mémoire a été rédigé il y a plus d'un an. Depuis j'ai publié, en février et mars derniers, dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences (t. 174. p. 437, 5g3, 784, 867, iio4)) d^s Notes relatives à une conception géométrique nouvelle des espaces non euclidiens. L'idée fondamentale de ces Notes est en germe, sous une forme mi-abstraite, mi-géométrique, dans les premiers et les derniers numéros de ce Mémoire (!-(>, 50-40).

J'ajoute que ce Mémoire résout aussi implicitement, d'une manière rigoureuse, le problème de la détermination de tous les systèmes covàriants de relations entre les Xi, les gj/, et leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, ces relations étant linéaires par rapport aux dérivées partielles du second ordre. Ce problème est lié à celui de la décomposition du tenseur de Riemann-Christofïel en tenseurs irréductibles j dans le cas n =4? cette décomposition, possible d'une manière et d'une seule, fournit trois tenseurs irréductibles :

i*^ Le tenseur scalaire A (courbure totale de Riemann) ; 2° Un tenseur (G) à neuf composantes G/y, G,, — Gyy; 30 Un tenseur (H) à dix comiposantes, celles dont il est question plus haut.

Cela posé, si l'on fait abstraction des relations obtenues en annulant toutes les composantes Af^ du tenseur de Riemann- Christoffel, relations qui expriment que l'espace est euclidien, les seuls systèmes covàriants possibles s'obtiennent, soit en annulant l'un des trois tenseurs irréductibles, soit en annulant simultanément deux de ces trois tenseurs. En particulier, les lois de la gravitation d'Einstein, dans une région vide de matière, s'obtiennent en annulant les deux tenseurs A et (G) ; au contraire, les lois de la gravitation (à potentiel scalaire) de Mie s'obtiennent en annulant (H).

Ces propriétés se généralisent pour un nombre quelconque de dimensions. Elles se rattachent à la théorie générale des groupes

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. "]

linéaires qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, et au sujet de laquelle je me permets de renvoyer le lecteur à deux de mes Mémoires \Bull. Soc. math., t. XLI, p. 53-96 (igiS), et Journ. Math, pures et appliquées, 6^ série, t. X, p. 149-186 (1914)]-

Préliminaires.

1. Considérons dans l'espace euclidien un système de coordonnées curvilignes quelconques et supposons le ds^ décomposé en une somme de trois carrés

dS' := GJ^ -h (jjj + OJ3 ,

en désignant par co^, ojg, ojo trois expressions linéaires par rapport aux différentielles des coordonnées, avec des coefficients fonctions de ces coordonnées. Effectuer une telle décomposition revient à choisir en chaque point M de l'espace un trièdre trirectangle ayant ce point pour origine; les expressions Wi, co^, Wg désignent alors les composantes, suivant les axes de ce trièdre mobile, du vecteur infiniment petit joignant le point M au point infiniment voisin M -f dM, ou encore les composantes de la translation infiniment petite qui, jointe à une rotation infiniment petite autour d'un axe passant par M, fait passer du trièdre associé au point M au trièdre associé au point M + dM.

Désignons maintenant par «33 = — W32, ^3^ = — w^g, ^0^3 = — ^'-*2i les composantes de cette rotation. Il est facile de voir, et c'est du reste un résultat classique, qu'il y a entre les six composantes to„ co,y du déplacement instantané du trièdre mobile de référence des relations nécessaires. Remarquons d'abord, et ceci aura une grande importance plus loin, que si x, y, z désignent les coordonnées d'un point fixe par rapport aux axes mobiles, on a les relations

/ c/^ -4- J'fij,, + 5 UJ31 + OJ] = c,

(i) .' ^/y -4- ;; CO32-I- .r6ji2+ C03=3 o,

f dz -h a: 0)13 + V w^s + Wj ::= o.

En exprimant les conditions d'intégrabilité des équations (i).

E. CARTAN.

c'est-à-dire en écrivant que les covariants bilinéaires des premiers membres des équations (i) sont nuls en tenant compte de ces équations elles-mêmes, nous obtenons

Oy', — [ 033 0)32 ] — [ «"J» 1 ''J> I 2 ]

«3— [f-'l^ia] — [f.>2 0)23] ^-^^"î f'>13— [^1-J>h3] I +.>■ ! f'>23— [^^2lW,3] ! = O.

Ces relations ayant lieu quels que soient x, y, z, on en déduit les relations cherchées

0)', = [0)0 fj)2l] + [fOsf-^Sl],

0)2.,= [W2,CO,3], 0)3j =: [0)320)21], 0)',,= [0)130)32].

Ces relations peuvent être interprétées, en introduisant deux symboles de difîérentiation arbitraires d et o, comme étant équivalentes aux relations

dw] — ôo)',' —

d(i)\ — ÔOj'i =:

rfo)?, — r3o)'.( =

d(ii\ 3 — ôo) o 3 =^

r/o)'Î2 — (3oj'/2 =

2. Les trois premières formules (2) montrent que, si Von connaît seulement Wj, Wg, 0J3, c'est-à-dire les composantes de la translation instantanée du trièdrc mobile, on peut en déduire par de

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 9

simples différentiations CO23, cogj, Wjg? c'est-à-dire les composantes de la rotation instantanée. Imaginons en effet exprimées les dérivées w'^, (n^, m[ en fonctions de coj, cog» Wg, ce qui est toujours possible, soit

Gj', rrr <7, [0)2(1)3] + ^i[W3«iJ + Cl [ci), W2], Gj'^ = a2[(.)2 0J3] + /^2[''j^3''jJl] -^ (^il^h^'^i]^ &)',= «3[W2W3] + '^sLws^'Jl] + C3[Wia)2].

Posons de plus

OJ23 = «1 "^Ji H- (3l «2 + "/l W3,

^31= a2C'Jl+ [^2 «2-^^72 «3.

0)12= «3(^1 + (33f^2+ yaWs-

Un calcul facile donne, sans ambiguïté,

«2=^1, (32 = -(^2— C3 — fl'i), yï= b.,

Les composantes de la rotation étant ainsi déterminées, les équations (i) donnent les conditions pour que le point de coordonnées relatives [x, y, z) soit fixe. En particulier, les conditions pour que la direction u, v, w soit invariable sont

/ 6?« -+- (^ 0)21 H- (VCOjirr: o, (3) < dv + «'(O32 4- « Wi2:=0,

( div H- ;< 0l»i3 -I- «' Wjs = o ;

elles indiquent comment doivent carier les paramètres directeurs mobiles u, v^ w d'une droite issue de M pour que cette droite reste constamment parallèle à elle-même.

5. Les considérations précédentes s'étendraient à un espace euclidien à un nombre quelconque de dimensions, et même à des espaces euclidiens généralisés, tel que celui de Minkowski, pour lequel le carré de la distance de deux points (x) et (x') serait de

lO E. CARTÂN.

la forme

OÙ les coefficients £/ sont égaux les uns à + i? l^s autres à — i. Appelons produit géométrique V | V de deux vecteurs V et V de projections

l'expression

V^ I \" = £i «, if\ + £0 11-2 //'a + . . . + £„ '/„ «',.

Choisissons d'une manière arbitraire en tout point de l'espace un système de vecteurs de référence V^, . . . , V„ satisfaisant aux relations

En se déplaçant d'un point M à un point infiniment voisin M', on aura des relations de la forme

dMz=z 00, VjH- W2 V2 + . . .+ w„ V'„;

dWi^ £1 C.J,i Vi + £., 0)/, V., H- ... + £„ Min V„ (<■=(,..., /O ,

OÙ les co, et les w,y sont des expressions linéaires par rapport aux différentielles des coordonnées et satisfaisant aux équations

CO,-,- =: O, M,j -h Mji =0 (/,/= 1 ,...,/? )

obtenues en difîérentiant les équations (4). On en déduit, d'abord

( 6 ) ds- rn £, 0) j + £2 GJj -+- . . . + t„ co* ,

puis, en écrivant que les premiers membres de (5) sont des différentielles exactes,

; k=zn.

Les équations qui expriment qu'un point de coordonnées rela-

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. I I

tiçes [xi, . . . , x„) est fixe sont enfin

( 8 ) djri-\-oii+ s/^^k '^H~i = o.

Les expressions co, sont les composantes de la translation instantanée, les expressions w.. celles de la rotation instantanée du système de référence mobile.

A. Supposons inversement que nous ayons décomposé le ds^ de l'espace euclidien précédent par une formule telle que (6). Cela revient à associer à chaque point de l'espace un système de référence mobile; les expressions co, désignent les composantes de la translation instantanée de ce système; quant aux composantes de la rotation instantanée, elles sont données sans ambiguïté par les n premières formules (7). Si, en effet, on pose

les coefficients inconnus a-^^ sont donnés par les équations

<X/,i/— 0./,/,:= SiC/,/i,

qui conduisent à

5. Arrivons maintenant à une forme différentielle quadratique à n variables donnée a priori et supposons-la décomposable en une somme de carrés de n formes différentielles linéaires indépendantes. Imaginons même que cette décomposition soit effectuée de la manière la plus générale possible, ce qui introduit, comme on sait, "^" — '^ paramètres arbitraires. Nous désignerons par x^, . . . , a;„.

12 E. CARTAN.

les variables données et w^, . . ., w„,„ ,, les paramètres arbitraires. Soit alors

(9) ^5-= £, (oj H- £.,0)2 +• • • + £«f'^,", (£,=:±:i).

Les n formes to, sont linéaires en dx^, . . ., dx,„ avec des coefficients fonctions des x et des u. Calculons leurs covariants bilinéaires : chaque terme d'un de ces covariants contiendra en facteur l'une des différentielles dx^, . . ., dxn, et par suite on pourra les mettre (d'une infinité de manières) sous la forme

(10) 0)',=r£,[0Ji(,J,,] + £,[c)oC),,] +.. .+ £,[w„r,j„,],

les co'.j étant des formes linéaires par rapport aux dx et aux du. Exprimons maintenant que le ds'^ donné ne dépend pas des paramètres u. Pour cela employons deux symboles de différentiation d et 0, le second se rapportant à une différentiation par rapport à l'un quelconque des paramètres u. On aura alors évidemment

D'autre part, en écrivant que o{ds^) est nul, on obtient

£1 co'/ ôa)'( + £2 w'i o(t)'i H- ... -I- £„ (0^ è(j)',[ z= o.

Or on a

par suite, la relation précédente devient d'où enfin

fo|,- + r,)'},. = O.

Les relations auxquelles nous venons d'arriver prouvent que les expressions oi-^ + o)^- {ainsi que co,,) sont linéaires en toj^, . . ., co„. Tenons compte maintenant de l'indétermination des co.^ : on peut, sans changer les formules (lo), remplacer m-j par

A - n OJ,y = 0),7 + 2^ (3,y/, OJy;. aVCC (3/,,/ = [3///,,

ÉOUA.TIONS DE LA GK.WITATION d'eINSTEIN. i3

l'expression w.^ + w^, est alors remplacée par

Wij + Wy/ — (0/y + fOy/ + ^ ( ,3 /y/, + i3y,7c ) W/, ;

on pourra disposer des indéterminées (3,^,. pour annuler tous les seconds membres, et cela est possible d'une manière et d'une seule, comme il est facile de s'en rendre compte.

Par suite, à toute décomposition du ds^ en n carrés de la forme (9)

correspondent, d'une manière et d'une seule, '\ expressions de Pfaff to, = — cOj^, linéaires en dxi, ..., dx„, du^, ..., du„^, , satisfaisant aux relations (10)

(10) (^',-=iei^[wk(^)Ai].

6. Rien ne nous empêche de dire que la décomposition (9) en carrés du ds^ définit en chaque point de la variété à n dimensions considérée un système de référence euclidien et d'appeler respectivement composantes de la translation instantanée et composantes de la rotation instantanée de ce système de référence les expressions de Pfafî

Nous conviendrons également de dire qu'un point ayant pour coordonnées (euclidiennes) x^, . .., x„ par rapport au système de référence mobile a une vitesse absolue nulle pour un déplacement infiniment petit du système de référence si l'on a les relations

nous conviendrons de même de dire qu'une direction issue de M et ayant pour paramètres directeurs ;i, . . . , H„ reste parallèle à.

l4 E. CARTAN.

elle-même quand on a les relations

( 8' ) de, 4- £,'2 <'^ ^/•' = ^ 5

nous retrouvons ainsi la notion du parallélisme de Levi-Civita (^).

Dans une variété euclidienne une demi-droite issue de M et se déplaçant parallèlement à elle-même revient coïncider avec sa position initiale quand le point M décrit un contour fermé quelconque. Analytiquement, cette propriété tient à ce que le système de Pfaff (8) est complètement intégrable : si, en effet, on exprime les conditions d'intégrabilité complète de ce système, on trouve les équations (7).

11 est facile de voir que, réciproquement, les équations (7) ne conviennent qu'aux variétés euclidiennes. Il suffit pour s'en convaincre de montrer qu'il est possible de réduire le ds^ à la forme

ds^=y£idxj,

en choisissant pour les x et les u des fonctions convenablement choisies des n variables X^, . . . , X„. On y arrive en intégrant le système

(i),- — dX,:= O,

Ce système est complètement intégrable, car les covariants bilinéaires des premiers membres, qui sont respectivement

sont nuls en tenant compte des équations du système. La déter-

(^) T. Levi-Civita, Rendic. delCirc. mat. de Palermo, t. XLII, p. lyS-aoS.

EQUATIONS DE LA. GRAVITATION D EINSTEIN. l5

mination demandée des x et des u en fonction des X est donc possible d'une infinité de manières.

Les variétés euclidiennes sont donc les seules pour lesquelles la notion de parallélisme de deux directions issues de deux points quelconques M et M' a une signification absolue, c'est-à-dire indépendante du chemin suivi pour aller de M en M'.