Revenons au cas général et partons des équations
(lo) M'f=e,-^['j);,(j)ki]
qui introduisent d'une manière univoque les composantes m- de la rotation instantanée de l'espace. Dérivons ces équations, c'està-dire égalons les covariants trilinéaires des deux membres; nous obtenons
OU, en remplaçant les co) par leurs valeurs,
en posant
( 1 3 ) Hij = u))j — 2 £/.■ [ w/A- Mkj].
On voit que les expressions O,^, qui sont nulles dans le cas euclidien, satisfont simplement aux relations (12) dans le cas général. Ces expressions sont des formes en dx-^, . . ., dx,i, du^, . . ., du,, ^,„
, ce qui revient au même, en coj, . . . , co„, m.-. Posons donc
i/tl) h, (lin) \hl),(mit)
En portant dans les relations (12), on voit immédiatement que
ou
l6 E. CARTAN.
tous les coefficients C sont nuls. La considération des ternies en donne ensuite
Bklm T>hlm hi — "ki »
ce qui montre qu'on peut échanger les premiers indices inférieur et supérieur, sans changer la valeur du coefficient B; d'autre part, l'échange des deux indices inférieurs change manifestement le signe de B. On peut donc écrire les six équations
vt/il/ii lihliii \"li/iit \iklm \\hliii — Viilm
hk + ^/f/( — *^' "A/ + '^/A — O) '^/i
*hl
qui entraînent avec elles la nullité de tous les coefficients B.
Enfin, si l'on annule dans (12) le coefficient du terme en [w^^oj^wJ, on obtient entre les A^j la relation
Il est presque inutile de faire observer d'autre part que l'échange des deux indices inférieurs i, j, ou l'échange des deux indices supérieurs A, l, change le signe de A''^.
Finalement, dans le cas d'une variété non euclidienne, les formules (10) sont à compléter par les formules
OÙ les quantités K']'i = — A^^ = — A|y satisfont aux relations
(.5) A^,<+ Ai-^ + A^^r^o (/, h, />, l=v, 2, .... n).
Les quantités A^'^ sont les coefficients de courbure de Riemann.
8. Pour n'être pas arrêtés plus loin dans nos raisonnements, poursuivons nos calculs. La dérivée (covariant trilinéaire) de I2,y, calculée d'après la formule (i3), est
^^ij — —'y £a [ '^ùk ^^kj ] + 21 ^'' t ^^'■/•- ^*>i7 ] '
ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION D EINSTEIN. l'J
OU, en remplaçant wj^ et CD^^^par leurs valeurs tirées de (i3),
Cette équation développée à son tour, en remplaçant £},y par la valeur 2 A'-j [w^W/], donne les équations
(17) 2 [^/A^y w/i-w/] =2 2 ^p[(^py"'P+'^'^-'Vp+ AP;.«,.p+A^;P0J,p)03;t(,)/]. {kl) p = 1 ( A-/ )
On peut donc écrire
p = re h = n
(18) d\^j = y^ £p(Aj/o,,p+ A^/^^pH- APj«,.p+ Aj|a)/p) +2 (A£)/^o,/„
avec de nouveaux coefficients (A*y)^ satisfaisant aux relations
(19) (A)<)/,+ (Al^)/,+ (A/;),= o,
(20) (A;'/U-h(Af)),+ (A^';)/ = o,
dont les premières proviennent de la dérivation des relations (i5) et les dernières de l'égalité des termes en [cO/^co/^co^] dans les deux membres des relations (17).
y. Les équations (18) dérivées donnent à leur tour naissance à des formules qu'on peut écrire
(21) 6^(Ag),=2^p[(^p')^'^''P+(^'p)'''^Vp-H(A?;),03,.p+(A*P)/,r^,p+(Ajj)p0)^^^ P = i
p= I T = 1 m =: Il
+ 2 ( A ^/ )/,,„«„,, avec de nouveaux coefficients (A^')/,„, ne dépendant pas de l'ordre
l8 E. C\RTAN.
des indices inférieurs h, m et satisfaisant aux relations
(ao.) (A5-f)/,,„+ (Ai/)/„„ + (A^,f )/„„= o,
conséquences des relations analo^es (ig) et (20).
Enfin, une nouvelle dérivation des équations (21) permet d'écrire
(24) d{k)'j)n,n— y^ £p [( Ajf )/„„oj,p-f- (Â?/)/</"f^yp-^ (Afj)/„„ wxp
+ (A^j)/,,,, W/p-f- (Ajj)p,„0)/,p+ (Aj/)/,pr,)„,p] > p=rn (7=«
+ ^2 2^p(A?i)p(A/rff+A^;fp)co,
^2 2^pt(Aj;).A;f4-(A*^),A;f+(A^),A^-
+ (A*p),A;f+(Af;),„A;;f
+ (Afp')„, a;;? + (AP/)„, Al'^+ (Ai^),,, A;-]o,^
+ (A*p),A;f+(Af;),„A;;f
+ AP/[(Alp„, + (Ai7)/,] + AÎ.|[(A;'p^)„, + (A7p')/J!a>,
^ ' " ' +AP/[(Alp„, + (Ar)/,]
où les nouveaux coefficients (Aj^^^^^ ne dépendent pas de l'ordre des indices extérieurs h, m, r et satisfont aux relations
(25) {i\)U,nnr-^ { -^i^,) Inn r + {Mi)/'>nr= O,
(20) ( A^j)/,„,,H- {\f/j),„„.+ ( Af/)„„, =: O.
Nous pourrions continuer indéfiniment ces opérations qui nous conduiraient chaque fois à de nouvelles quantités avec un nombre croissant d'indices.
10. Il ne sera pas mauvais, avant d'aller plus loin, de savoir combien, parmi les quantités A^.', (A^.')/,, etc., regardées comme des
KQUATIONS DE L\ GRAVITATION D EINSTPHN. I9
indéterminées liées par les relations (i5), (19), (20), (22), (23), (26), (26), sont indépendantes.
Occupons-nous d'abord des quantités A^y. Convenons de désigner par la notation i \ hkl le premier membre, changé de signe, de la relation (i5) :
- La relation
/ 1 h kl— h I ikl —k\ihl-\-l\ ihk — o
donne, après simplifications,
Kkl — Kih
ce qui montre qu'on peut échanger les indices inférieurs avec les indices supérieurs.
Cela posé, on pourra toujours supposer que les indices inférieurs, aussi bien que les indices supérieurs, sont rangés par ordre de grandeur décroissante, et que le plus grand indice inférieur est au moins égal au plus grand indice supérieur; autrement dit, toute quantité A,*y se ramène à celles pour lesquelles on a
Les quantités pour lesquelles ces inégalités sont vérifiées ne sont pas elles-mêmes indépendantes, et l'on peut se ramener à celles pour lesquelles on a en même temps
.ill' En effet, supposons qu'on ait
i>j, k>l, ilk, j<t,
c'est-à-dire
la relation
ramène k.']'^ aux deux quantités A,'^ et A-'/ pour lesquelles les inégalités exigées sont vérifiées.
Nous conviendrons de dire qu'une expression A''^' est normale
20 E. CAKTAN.
lorsque ses indices satisfont aux inégalités précédentes (27) i>j, loi, ill<> j=l-
Toute expression PJ'/j se ramène à des expressions normales.
Il est maintenant facile de voir que les expressions normales sont indépendantes. Passons pour cela en revue les différents cas qui peuvent se présenter suivant le nombre des indices i, j, k, l distincts.
Si deux seulement des quatre indices sont distincts, on aura une seule quantité normale
Mj ('>,/)•
Si trois indices sont distincts, i > j > k^ on aura trois quantités normales
Si enfin les quatre indices sont distincts, i > j > k > l, on aura deux quantités normales
Remarquons maintenant que toute relation i\hkl =0 se réduit à une identité si les indices h, k, l ne sont pas tous distincts; par conséquent les quantités à deux indices distincts n entrent dans aucune relation. Les quantités à trois indices distincts i > j > k figureront dans les relations
i I ijk =: o, / I ijk — o, /. [ a/A = o,
dont chacune exprime la loi d'échange des indices inférieurs avec les indices supérieurs et qui par suite n'entraînent aucune relation entre les quantités normales.
Enfin les relations i \ jkl = o où figurent quatre indices distincts donnés n'entraînent, il est facile de le vérifier, aucune relation entre les quantités normales.
Les quantités A-/ normales sont donc indépendantes, et leur nombre total est
n{n-l) , ^n{n — i){N—-?.) ^ // ( n - i) ( /a- :0 ( n - 3 ) Cf, + 3C;i + .C,; --= +0 h 2
ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION d'eINSTEIN. 21
11. Passons aux quantités (AJ,% que nous conviendrons d'appeler les quantités A du premier ordre (les quantités A*' étant d'ordre zéro). Convenons encore de dire que (A*')yi est dérivée de AJ,'. Les relations (19) nous permettent de ramener les expressions du premier ordre à celles qui sont dérivées d'une expression normale d'ordre zéro.
Nous dirons qu'une expression [k'i',)h du premier ordre est normale si ses indices, en outre des inégalités (27) qui expriment qu'elle est dérivée d'une quantité normale d'ordre zéro, satisfont à l'inégalité supplémentaire
(28) klh.
Toute expression du premier ordre non normale se ramène à des expressions normales avec diminution de Vindice extérieur h. Supposons en effet
i>J, k>L i^k, Jll, k<h; la relation
ramène l'expression considérée à d'autres expressions pour lesquelles l'indice extérieur est diminué; chacune d'elles peut être ramenée. Sans changement de l'indice extérieur, à d'autres dérivées d'expressions normales d'ordre zéro. On raisonnera sur chacune de ces expressions comme sur la première jusqu'à ce qu'on ne puisse plus diminuer l'indice extérieur; on aura donc finalement des expressions toutes normales.
Considérons maintenant une quelconque des relations (20)
ij I Uh ^ {Xlj), +- {Mj),+ (Af/)/= o,
où nous pouvons toujours supposer qu'on a
Cette relation sera dite normale si l'on a en même temps
i^l, jlli.
