i£,[i2uajoO)3]-|-£2£4[i^2iW3«l] + ^3 £* [^31 W, COj

Nous obtenons un tenseur covariant absolu en remplaçant dans n les expressions [w,co^] par les valeurs ;,w.y — ^yw,-. Nous obtenons ainsi

Yl^Z=Z £,£4[0)3^,4] + £4£3['>J.^43] "^ Sï^l [«V^3l].

Il3= £2£i[(.),<>2;]-f-£v£,[f.)2^4l] + £l£2[^n^I2]<

Il4=-£2£3[C0,i223]— £3£,[W2^i3l] — £l£2[033i^l2j-

64 E. CARTAN.

Ce tenseur est symétrique, car si l'on forme £, fw,no j — î..[^'-*^1'iJj on obtient

£l[C0,n2] — ^^[Wjni] — £;i[cJi(w,i2,3+ W2--23)] — £4[''J3(f'>l";4+ ^2^^24/1

et les deux termes du second membre sont nuls en vertu des relations (12).

Ce tenseur satisfait à la loi de conservation. La vérification par le calcul est facile en se servant des formules (10) et (i3).

On remarquera que les composantes du tenseur précédent sont obtenues sans faire intervenir, au moins formellement, les quantités A^j; la quantité A elle-même pourrait être laissée de côté dans la formation de l'invariant II en remarquant que les quantités z,ijQ.ij se comportent comme les coordonnées plûckériennes d'une droite, au même titre que les quantités [co^coyj; l'expression II représente alors le moment mutuel de ces deux droites.

5î). La forme quadratique associée au tenseur qui vient d'être considéré doit nécessairement rentrer dans la formule (48). Un calcul facile donne par exemple

11,1= {uz^kil H- i^t,,K\\ + EgEiA;];;) [0)o0)3r,). ]

— (£324 A^J +^i^kl\) [0J1OJ2W4] + (EiS.Af; H-e4£3Ai|î)[oj,o)aW3].

La forme quadratique cherchée est donc

$ = £,(£2£3AH3 -h £2£4A^J + £3£4-\^*)aj"f H-...— 2(£3A;]Ï' + £. A^^)WiC.)2-|-

Elle se déduit de l'expression (48) en prenant A= — I, a^i, (3 = o.

^0. Si nous voulons maintenant déterminer toutes les formes quadratiques rentrant dans la formule (48) et qui satisfont à la loi de conservation, nous remarquons d'abord que le coefBcient ^ peut être quelconque; la loi de conservation est vérifiée si en. -\-\ est nul. Elle ne peut Vêtre dans aucun autre cas. Sinon, en effet,

ÉQUATIONS DE LA. GRAVITATION d'eINSTEIN. 65

elle serait vérifiée pour X=[3^o, a = i, c'est-à-dire pour le tenseur

Çl A[W2W3W;] + £2A.[0J:{COi Wi] "h ^3 A [ (Oj 0)2 W4 ] Hi A [ ÙJ, fiJo GO3 ].

On aurait donc

[AW2 WaWi]'^ £0 A [(03(0,0040)21] -I- £3 A[(iJ, 0)2W4(03i] £4 A[0Ji 0)20)3(041].

Cette relation est vérifiée si A est constant; il en résulte donc qu'on devrait avoir

[a?Aco2<i)3 0)4] = [f/A 0)3 0)10)4] = [n(A(,)i j),(04] = [<iA 0)10)20)3] = o.

Uinvariant A serait donc une constante^ ce qui n'a pas lieu en général.

Les seuls tenseurs gravitationnels possibles qui satisfassent à la loi de conservation sont donc donnés par les formules

ni= /.£3£4[0)2i23i] + IZ-lZ'^i'^yA^i'] -h >.£2£3[W4^23] + f^ [ 0)2 0)3 0)4 ],

112= }.£i£( [0)3^2,4] + À £3 £4 [0)11^43] + >.£3£, [0)4^^31] + fJ.[0)3 0^10)4],

IIs^i /£2 £4 [0)112,4] + /£,£. [0)21241 ]+?.£, £2 [0)4^212] + fi [0)10)20)4],

1X4 = — À£2£3[0)ii22i] — /,£3£l[0)2l23,] — /.£i£2[0)3Î2i2] — fi [ 0)i 0)2 CO3 ],

ce qui correspond à la forme quadratique

^ G,7, d.Xi dxi, = — X y £/ a;-) 0)y 0)/, + ( > A. + IJ.)^. ^t^^h

avec deux constantes arbitraires /V, ix.

On peut remarquer que, dans la théorie d'Einstein, la forme II représente Vêlement de matière, ou plutôt l'élément d'action (à quatre dimensions).

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CARTAKy E.

SUR LES EQUATIONS DE LA GRAVITAT- ION d'einstein