A 23 AU A31 A24 A12 A
J^l\ — \l\ = All-A\^ = X\l-A^l = o.
On peut démontrer qu'elles expriment la réductibilité du ds'-
à la forme
p{dXl~dXl —dXl — dXl);
autrement dit, elles expriment que la propagation de la lumière se fait suivant les mêmes lois que dans la théorie de la relatiç>ité restreinte. D'une manière plus générale, les dix invariants fondamentaux fournis par les coefficients de /(H) et /'(•^) sont des invariants relatifs, non seulement pour la forme l^gijdxidxj, mais encore pour V équation obtenue en l'égalant à zéro.
La loi de conservation et les équations de la gravitation.
5o. Le tenseur gravitationnel G//( est considéré arbitrairement comme formé des coefficients d'une forme quadratique covariante ^CciJ^dXidx,^. C'est ce que nous avons fait jusqu'à présent. Mais il peut y avoir intérêt à le considérer d'un autre point de vue.
Revenons à l'origine physique de la notion de tenseur. Étant donné un milieu élastique dans l'espace euclidien, sur chaque élément de surface du milieu ayant pour composantes
Idydz], [dzdx^^, [ff^dy]
suivant les plans de coordonnées, il agit une tension (un vecteur) dont les composantes suivant les trois axes de coordonnées sont
PxxVdy dz]-^ Pxy[dz dx'\ + pjcz[da- i/j], Pyx[dy do] + Pyy{dz dx] + Pyz[dx dy], Pzx [ dy dz ] + j3. V [dzdx] + p„ [ dx dy ].
6o E. CARTAN.
Ce tenseur est symétrique si le tableau des coefficients est symétrique.
Au lieu de représenter le tenseur dont les composantes sont les quantités j^j.^, etc., au moyen de la forme quadratique
Pxx (i-^- + 2 p-cy Clxdv +. . .,
on peut le représenter, d'une manière plus conforme à sa nature, par la projection de la tension elle-même sur un axe de cosinus directeurs indéterminés ç, yj, C. On aura alors la forme
ii = ; ; Pxx [ dy dz ] + p^y [ dz dx ] 4- p,,. [ dx dy ] ; + -fi ; Pxx [ à y dz ] -4- pyy [ dz dx ] + py.^ [ dx dy ] ; + Ç ; Pzx (dy dz^ + p. y [dz dx] + p.. [dx dy] [ .
Au fond^ Q. est la quantité sous le signe / / dans l'intégrale qui
exprime la somme des projections sur Vaxe (H, y], C) des tensions élémentaires exercées sur une surface donnée.
Si l'on regarde la direction (H, r^, l) comme fixe, et qu'on prenne le covariant trilinéaire de l'expression Q, on obtient
r{àpa:x Opj:y Opa:-\
^\ dx dy dz )
' dz
[dxdydz],
c'est-à-dire la projection sur l'axe considéré de la force de volume élémentaire équivalente aux tensions du milieu élastique.
Le tenseur O est dit satisfaire à la loi de conservation si sa dérivée il' est nulle, quelle que soit la direction fixe (H, y], 'Ç).
En particulier, si l'on a affaire à un fluide parfait à pression constante,
Pxx=Pyy— Pzz = P = OOnSl., p,,— p,^.=zp^y= O,
le tenseur Q. se réduit, à un facteur constant près, à
^ = c[ dy dz] -t- nldz dx] -^ <:[dx dy],
et l'on a
ÉQUATIONS DE LA. GRAVITATION d'eINSTKIN. DI
Le tenseur précédent se déduit très facilement de la forme qui donne le volume élémentaire
Jl=z[dxc/rdz];
c'est ^„
^ , dii dïi , , ^n .
- - ^^JpT] ^ '" ôïd^î "à[dz] '
sous cette forme sa signification invariante (c'est-à-dire indépendante du choix des axes) est mise en évidence.
56. Revenons au tenseur gravitationnel G^. Nous regarderons ses composantes comme des coefficients entrant dans l'expression de la projection sur une direction fixe d'une tension appliquée à un élément à trois dimensions de l'univers à quatre dimensions. Soit un en point quelconque ii, U, l^, \, les composantes d'une
direction.
Considérons d'abord le tenseur obtenu en partant de l'élément de volume (à quatre dimensions) de l'univers
n :=. [oji 0^2 0)3 0)4],
élément qui a une signification invariante, et en formant
Ce tenseur est analogue à la pression (constante) d'un fluide
parfait.
Plus généralement nous considérerons le tenseur
où IIi, lia, 113,11^ sont des éléments d'intégrales triples.
La dérivée covariante de ce tenseur s'obtiendra en prenant la dérivée ordinaire de 12, mais en supposant que les différentielles d^'z, satisfont aux relations (8') qui expriment que la direction (;) reste parallèle à elle-même :
(8') dl = —Si^['tk(*^ki]'
62 E. CARTAN.
Dans ces conditions, on a
On pourrait dire que si IT^, ITg, Ilg, 11., représentent les composantes d'une tension élastique s'éxerçant sur un élément à trois dimensions de l'univers, les quantités
n;— 2;s.[n;,ov,,]
sont les composantes de 1^ force s'éxerçant sur un élément de volume à quatre dimensions de l'univers.
Le tenseur ù sera dit satisfaire à la loi de conseri^ation si sa dérivée covariante Q! est nulle, c'est-à-dire si l'on a les relations
Il en est ainsi par exemple du tenseur particulier
" = 4l ['■'hf»>3f«J4] + ^2 [036)1(04] -1- Ç3 [OJ] 0020)4] 4l['J>l<''^-2''Ja] '•
on a en effet, par exemple,
II', 1= [ OJ2 Wj 01)4]'= [ m'., OJ.j hi; ] [ 0)., Oi)'j OJ4 ] -i- [ 0)2 (1)3 o'j ]
T=: t.,\^(^i^ (012^3 0)4 ] Î3 [ W2 Wl W^^O); ] "H Z :,\^(j).^(l):^(t) ^ W|i ]
=:£2[W3C01 6)/. 0)2i] + £3 [<■»), 0)2^4 OJ3,] — £; [ W, '.)2 Wj OJ; , ] =:£2[n2W2i] +£3[n3(,)3,] 4-£4[Il4 0J4l].
57. A chaque tenseur H peut être associée une forme quadratique en (0,. 11 suffit pour cela de remarquer que la forme
£i^iWi 4- £2^202-+- £3^3W3 + £4Ç;04
est un covariant absolu de Hs/wj', que par suite les quatre expressions
[0J2C.J3OJ4], [0)3(01^4], [«jJi'jJjCOi], — [oJiWafOj]
ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION d'eINSTEIN. 63
sont respectivement covariantes à
£lf,J,, £2^^2j '3^3, £^0)4.
Le tenseur Q. est donc associé à une forme bilinéaire en l et w, et par suite, si cette forme bilinéaire est symétrique, à une forme quadratique en to,. Le tenseur
est ainsi associé à la forme bilinéaire i:£/H,w„ et aussi à la forme fondamentale le/W'-
La condition de symétrie d'un tenseur est d'après cela facile à exprimer; le calcul facile donne tout simplement
58. D'après ce qui précède et en nous aidant de l'invariant absolu
il nous est bien facile de former un tenseur symétrique qui soit un covariant absolu. Partons en effet de la forme co variante
n = Â[^.,w2W3'->i] = V £,.£yA;:j[^^,(.jy(o/, w/]
- £2£3[^230JlO)4] + £sSi[î*-Zl^h<^:] + £l£2[^12C^>3COi]
