INTRODUCTION

L'équation aux dérivées partielles (i) Au + ).Aa=o,

où Au = o est l'équation de Laplace dans un espace à deux ou trois dimensions, A une fonction d'un point dans cet espace et X un paramètre, joue un rôle considérable dans un grand nombre de questions de Physique mathématique ( f ). 11 en est de même de l'équation différentielle

(2) g+XA(o-)y = o

(») II. Poincaré, Sur les équations de la Physique tnathématique (Circolo matematico di Palermo, 189 {)•

2 S. SÀNIELEVICÏ.

qui est l'analogue de l'équation (i) dans le cas d'une seule variable.

On est conduit à des équations de ce type, en Acoustique, dans le problème des cordes et des membranes vibrantes et dans la théorie des résonnateurs.

Soient S la densité superficielle et t la tension en un point quelconque (x, y) d'une membrane limitée par un contour C, u l'écart de ce point de sa position d'équilibre dans le mouvement de vibration transversale dont la membrane est animée; u est une fonction des variables x 9 y et du temps /, vérifiant l'équation

et s annulant le long du contour C.

Si la membrane est susceptible de variations périodiques, l'équation précédente doit admettre des solutions de la forme

u = v(x 9 /)sinfA*, e satisfaisant à l'équation (3) Ar-hfx , -i> = o

et prenant la valeur zéro sur le contour.

L'équation (3) n'admet en général aucune solution continue s'annulant sur le contour, sauf l'intégrale banale v = o qui correspond au repos; si, pour des valeurs exceptionnelles et bien déterminées de fx, de pareilles intégrales existent, elles caractérisent les sons propres de la membrane. Ces valeurs exceptionnelles sont les constantes caractéristiques de l'équation (3); la plus petite, qui correspond à la plus longue période, caractérise le son fondamental; les suivantes correspondent aux diverses harmoniques de la membrane.

Physiquement on est donc assuré de l'existence de constantes caractéristiques en nombre infini; cependant on conçoit la nécessité d'une démonstration analytique rigoureuse.

La membrane étant supposée homogène et également tendue, le

rapport - est constant et peut être rendu égal à l'unité. Dans ces con-

ditions Schwarz ( f ) a démontré, par une analyse extrêmement ingénieuse, l'existence du son fondamental. La méthode de Schwarz a été reprise en 1893 par M. Picard ( 2 ) pour établir l'existence du premier son harmonique; et, en 1894, dans son Mémoire célèbre Sur les équations de la Physique mathématique ( 3 ), M. Poincaré a établi l'existence des autres harmoniques en nombre infini.

Dans ce Mémoire, M. Poincaré démontre notamment que la fonction u(x, y) définie par les relations

A« -h£w =/(-*', /)» 11 = sur C

est une fonction méromorphe du paramètre complexe £, résultat capital qui a certainement guidé M. Fredholm dans sa belle découverte concernant les équations intégrales.

Dans l'espace à trois dimensions, quand on cherche les sons propres d'une masse gazeuse enfermée dans un vase clos S, on est conduit a

l'équation

^ + ^^ + XA( *'- y ' 5)£/ = °'

u étant le potentiel des vitesses et devant satisfaire à la condition

du

-7- = o sur b.

du

Ce problème a aussi été traité par M. Poincaré, mais sans être résolu rigoureusement.

Le Mémoire de M. Fredholm (*), rapidement devenu classique , selon M. Picard, a jeté une lumière nouvelle et éclatante sur toutes ces questions. A l'aide des théorèmes généraux que cet auteur a découverts dans la théorie des équations intégrales linéaires de seconde espèce (Hilbert), on retrouve facilement, comme l'ont montré MM. Picard ( 5 ) et Piemelj (•) une grande partie des résultats connus dans tous les domaines

(*) Gesammelte mathemaiische Aùhandlunge/i, t. I, p. i<fi.

(*) Comptes rendus, 1893.

( 8 ) Rendiconti del Circolo maternât ico dl Palermo, 1894.

(*) Acta mathematica, t. XXVII, [903.

(*) Rendiconti del Circolo mat. di Palermo, 1906.

(•) Monatshefte fur Mathematik und Phjrsik, 1904.

(\ S. SAKIELEVICI.

de la Physique mathématique. En particulier, l'existence en nombre infini des constantes caractéristiques de l'équation (3) est une conséquence immédiate d'un théorème de MM. Hilbert (')et Schmidt( 2 ) concernant les équations intégrales de seconde espèce à noyau fermé de la forme G(a?, y; £, Y])A(Sj, y]), 6 étant symétrique par rapport aux points (£, y)) et (#,7) et A une fonction positive.

Dans ce travail, nous nous proposons d'étendre les résultats précédents au cas où dans l'équation (1) la fonction A n'est plus constamment positive dans le domaine où elle est définie. Cette hypothèse semble essentielle dans tous les travaux que nous venons de citer. Dans un Mémoire publié en 1904 (Journal de M. Jordan), M. Mason s'affranchit, il est vrai, de cette hypothèse restrictive; mais sa méthode, fondée sur le principe de Dirichlet rendu rigoureux par M. Hilbert, se borne à la démonstration de l'existence des constantes caractéristiques, sans en permettre le calcul régulier comme le faisait la méthode Schwarz-Picard. C'est en modifiant cette méthode, de manière à en rendre encore plus évidente la liaison étroite avec la théorie de l'équation de Fredholm, que nous éliminons des raisonnements toute hypothèse sur le signe de la fonction A- En même temps, nous retendons aux conditions à la limite -^ — ku = o et -J- = o, en mettant en

dn an

évidence, pour ce dernier problème, les diverses circonstances qui

peuvent se présenter autour de la valeur singulière X = o.

L'étude de l'équation différentielle (2) est naturellement beaucoup plus facile. Cette étude a été commencée déjà par Sturm ( 8 ), à l'aide d'une méthode qui n'offre pas toute la rigueur qu'on exige aujourd'hui. Il est clair que tous les résultats obtenus relativement à l'équation aux dérivées partielles (1) sont immédiatement transposables dans le cas d'une seule dimension; mais ici on peut obtenir des résultats plus précis, par exemple en ce qui concerne le nombre de zéros des intégrales dans un intervalle donné ( *). Nous avons étendu ces résultats au cas où la fonction A(a?) est de signe quelconque, et la connaissance

( J ) Integralgleichungen^ Gôtii/iger Nac/iric/iten, 1904 et 1905.

(*) Mathematische Annalen, Vol. LXII1.

(*) Journal de Liouville, t. F.

(*) E. Picard, Traité d'Analyse, t. III, 1908, p. 120.

du nombre des zéros nous a permis de généraliser la démonstration directe de M. Picard concernant la définition des valeurs singulières du paramètre à l'aide de certains problèmes du calcul des variations.

La méthode dont nous nous sommes servi nous a encore permis d'établir facilement l'existence d'intégrales périodiques pour l'équation (2), dans laquelle A (a?) serait une fonction périodique, et de séparer en quelque sorte les valeurs exceptionnelles correspondantes du paramètre.

L'étude des intégrales doublement périodiques de l'équation (i), où A(x, y) admet les deux périodes o> et co' pour x et y respectivement, revient à l'étude de l'équation de Beltrami généralisée

àl du »\ âl ôv à«\ o

àu\ v/EG — F* / àv\ v^EG-F* /

sur un tore. L'existence de pareilles intégrales partout continues dans un rectangle de périodes n'est autre chose que l'existence d'intégrales de l'équation (4) continues sur tout le tore. D'une manière générale on peut se proposer d'étudier l'équation (4) au point de vue de l'existence d'intégrales continues sur une surface fermée quelconque k p trous. En nous inspirant des recherches de M. Picard à ce sujet, qu'il a développées en partie dans son cours de 1908 à la Faculté des Sciences, nous avons appliqué à ce problème aussi une généralisation de la méthode de Schwarz-Picard.

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