PREMIÈRE PARTIE
L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE |^ H- ÀA(a?)^ = o.
I. — Intégrales nulles aux extrémités d'un intervalle, i. Lorsqu'on veut déterminer une intégrale de Péquation
(0 a? + XA (*)j p = o -
où A(#) est une fonction finie et intégrable dans un certain intervalle ab, par ses valeurs y(a) ety(b) aux extrémités de cet intervalle, on est conduit ( ' ) à une équation de Fredholm
(2) y(x)-\j G{xrc i )Hl)y(l)di=y{a) b F ^^y{b)^ r ^,
la fonction G(a?, £) symétrique en x et £, étant définie de la manière suivante :
G(x,£) = v -2 — — Ll L pour ££#,
G (*.E) = i — ^zr^ — L P° ur ?>*•
La théorie des équations intégrales de ce type nous apprend que l'équation (2) admettra en général une solution unique. Il peut y avoir exception pour certaines valeurs singulières du paramètre X. Ces valeurs, si elles existent, sont les racines d'une fonction entière D(X), polynôme ou fonction transcendante, que la méthode de M. Fredholm apprend à développer en série de Taylor. Quand on remplace X par une telle valeur singulière, l'équation (2) n'a pas de solution, à moins qu'il n'y ait une certaine relation entre les deux constantes y(à) ety(b).
(^Picard, Traité d'Analyse, t. III, 1908, p. 100; Hilbert, Integralgleichungen, I.
Au contraire, V équation intégrale sans second membre, obtenue en supposant
qui, en général, n'est vérifiée que par la solution y = o, admet des solutions non identiquement nulles lorsqu'on attribue au paramètre une valeur singulière; nous désignerons ces solutions par le nom à'intégrales singulières.
La fonction définie par l'équation (2) est en général une fonction méromorphe de X, dont les pôles sont précisément les valeurs singulières du paramètre. Suivant que D(X) a un nombre fini ou infini de zéros, les pôles sont en nombre fini ou infini ; mais, la formation effective de la fonction D(X) exigeant des calculs impraticables, on est obligé, pour reconnaître l'existence et le nombre des pôles, de recourir à d'autres considérations.
Lorsque la fonction A(x) est positive dans l'intervalle ai, l'existence d'un nombre infini de valeurs singulières est assurée grâce au théorème de M. Hilbert. En effet, en posant, avec M. Schmidt,
Y(x)\jPL{œ) = z{œ),
l'équation (2) sans second membre est ramenée à une équation intégrale au noyau symétrique et fermé
Ce théorème est en défaut quand A(a?) peut changer de signe dans l'intervalle ab. C'est ce cas là que nous nous proposons d'examiner.
2. Tout d'abord il ne peut y avoir de valeurs singulières complexes. Nous avons vu qu'à une valeur singulière du paramètre, X = X , correspond une intégrale singulière de l'équation (1), continue dans l'intervalle ab et s'annulant pour x = a etx = b. Cette intégrale satisfait a l'équation
J il
o S. SANIELEVICI.
Elle admet, par conséquent une dérivée continue dans tout l'intervalle ab, les extrémités comprises, puisqu'on a
£=>.[X 4 ^|Aa)^)^-jr x i^Aa) 7 u)^].
Cela posé, soient a -+- i$ une valeur singulière complexe et m -h iv l'intégrale singulière correspondante. On aura
-T-ï +(3A(a?)« + aA(a;)p = o,
d'où l'on tire par une combinaison facile
[«ê-4]:-x'[fê) : -(é)>— jr^x---)—*
Les parties tout intégrées disparaissent en vertu des conditions aux limites et l'on voit de suite que (î est nécessairement nul, puisque l'égalité
Jf A(^)(«'4- v*)dx = o a
entraînerait
du dv
dx dx
et, par conséquent,
Montrons encore que la fonction y(oc\ X), en mettant en évidence le paramètre, définie par l'équation (2) ne peut avoir que des pôles simples. Soit, en effet,
^^-a-^r + a-ior^'^^^ (,)
le développement de cette fonction autour du pôle X = X supposé
multiple. En portant ce développement dans l'équation (2), il vient, pour m > 1,
.r— i(*)-X. f G(*,Ç)A(Or— 1(«)^5= /"r,(jf,ï)A($)j'«U)4.
«Al «Ai
relations équivalentes à
\ -±£ ->r\*k(x)y m = o y y,„(a)=v m (b)=zo,
f j£ f ' -hX,A(j?)jr i „. l 4-A(ar)y m =o > r,„, (a) = J,„-, (*) = o.
On tire de là
c'est-à-dire simplement
Or, en vertu de la première des équations (3), on a l f\(x)yj n dx =J* (^)V
et, par conséquent,
dx - '
et, comme y m s'annule pour x = a, cette fonction est identiquement nulle. C'est ce que nous avons voulu démontrer.
Ajoutons que, lorsque A(.r)>o pour a<x<b, les valeurs singulières ne peuvent pas être négatives; c'est ce qui résulte de la relation
ÎO S. SANIELEVICI.
où y représente l'intégrale singulière correspondant à la valeur singulière X = X .
3. Nous allons maintenant établir une formule qui nous sera très utile dans la suite.
Considérons une intégrale de l'équation (i), nulle pour une certaine valeur x = ol de l'intervalle ab et prenant en un autre point x = (î du même intervalle une valeur donnée qu'on peut même supposer être fonction continue de X. Cette intégrale est fournie par l'équation
Par conséquent, lorsque X varie entre deux valeurs qui ne comprennent aucune valeur singulière du paramètre, l'intégrale considérée,
ainsi que sa dérivée -^> sont des fonctions continues de x et X,
pour a<a?<[î. Nous désignerons cette intégrale par y(x, X) et nous poserons
Donnons maintenant au paramètre deux valeurs voisines X et V. On aura
d'où l'on tire par la combinaison déjà employée
-MX'-).) / k(x)y{x,l)y(x,V)dx = o.
En vertu des hypothèses faites, cette relation peut encore s'écrire
(5) ,(M')T(M) + ^^p^ jf A(* W *,X)r(*,X') rf * = o.
(*) Je désigne par G a p(-r, î) la fonction G correspondant à l'intervalle a fi.
Faisons maintenant tendre X' vers X ; l'intégrale y {x, X) étant unique, on aura à la limite
D'autre part, on a, en vertu de (4),
1 A(*)jr*(*,X)<te = -,y(p,X)/(p,X)-i-/ f*(T,\)dx. Il vient donc finalement, en supposant X ^ o,
formule que nous voulions établir.
4. En nous appuyant sur cette formule, nous allons maintenant démontrer l'existence des valeurs singulières et des intégrales qui s'annulent aux extrémités de l'intervalle ab.
Supposons, en premier lieu, que la fonction A(x) change une seule fois de signe dans cet intervalle et qu'on ait, pour préciser,
A(#)<o pour aSxSc, A(#)>o pour c<x<b (a < c < b).
Au point œ = c la fonction A(.t) s'annule si elle est continue en ce point ; mais cette hypothèse n'est pas nécessaire et l'on peut avoir
limA(c — e)^limA(c-4-e),
pourvu que ces deux limites soienty?/we*.
Relativement à chacun de ces intervalles partiels il existe une infinité de valeurs singulières, négatives pour l'intervalle ac, positives pour cb. Désignons les premières par /„, les secondes par /„ {n = i, 2, . . .), en les supposant rangées par ordre de grandeur
Faisons la remarque préliminaire qu'une intégrale singulière de
12 S. SANIELEVICI.
l'équation (i) n'est déterminée qu'à un facteur constant près, puisqu'elle satisfait à l'équation homogène
y(x)-\f G(*,5)Àtf).r(Ç)d£ = o.
Soit Cy(x) cette intégrale; on pourra disposer du coefficient arbitraire C de manière à attribuer à l'intégrale une valeur donnée quelconque, par exemple un, pour x = c. En effet, on ne peut avoir y(c) = o, la valeur de X ne pouvant être en même temps singulière pour ac et cb. On est donc conduit à examiner s'il existe des intégrales nulles en a et en b et prenant la valeur un pour x = c.
Lorsque X varie entre deux termes consécutifs de la suite (7), il existe pour chaque valeur de ce paramètre une intégrale et une seule s'annulant en a et égale à un pour x = c; désignons-la par <p(a? f X). Soit de même ^(#»X) l'intégrale parfaitement déterminée qui s'annule pour x = b et prend la valeur un au point x = c.
La fonction u(x, X) définie de la façon suivante,
u(x, X) = <p(j?, \) pour alxSc, u(x, X) =b{x f \) pour cSjc<b,
représente une intégrale de l'équation (1) continue dans l'intervalle ab et admettant dans cet intervalle une dérivée continue, sauf pour x = c. Nous voulons démontrer qu'entre deux termes consécutifs de la suite(7) ilexiste une valeur de\ et une seule telle que la fonction u(x 9 \) correspondante ait sa dérivée continue même au point x = c.
En effet, appliquons la formule (6) aux fonctions 9(07, X) et ty(x, X); il vient
et par conséquent
(8) dk x >0 -
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. l3
La fonction
<{/(c,X)-cp'(c,X)
est donc constamment croissante avec X ; je dis qu'elle est continue lorsque X varie dans un intervalle de la suite (7), qu'elle passe de — 00 à -h 00 et que par conséquent elle s'annule une fois et une seule dans cet intervalle.
Supposons, pour fixer les idées, X > o et compris entre /„, et /„. La fonction <p(a?, y) est finie et continue par rapport à X, pour a<x<c, et la formule
? f («^) = ^-^rï/ e A«)«-«)?«,X)d5
montre que f'(c 9 X) reste finie et continue pour /„, £X</„.
Il en est de même de <J/(a?,X) et par conséquent de <{/(c, X) tant que X diffère des valeurs singulières /„, et l n .
Étudions maintenant <|/(c f X) dans le voisinage d'une valeur singulière X . Cette valeur étant un pôle simple de ty(x,\) 9 on a autour de X = X
*(*t^) = Jz^-»-+.(*)+a--^) | i r 1 (* f x).
En portant ce développement dans la relation
<K*,A)-*y Gcé(*.0A(Ç)+« f X)dÇ=j5i, il vient
d'où l'on tire
» r '(c)=— / A(a?)V a (a?)rfx<o (');
( ! ) Il est essentiel de remarquer que W(x) n'est pas identiquement nulle; en effet, il ne peut exister, pour X = X , une intégrale prenant la valeur un en c et nulle en b, car, en désignant par z(x) l'intégrale singulière de l'intervalle çb correspondant à X , on devrait avoir z'(c) = o et par conséquent z es o.
l4 S. SANIELEVICI.
on a d'ailleurs
ce qui prouve que ^'(c, X) tend vers -h oo ou — qo suivant que X — X tend vers zéro par valeurs négatives ou positives. Notre proposition est donc démontrée.
Remarque. — Si la fonction A (a?) est discontinue au point x = c, il en est de même de la dérivée seconde y (ce, X) en ce point. L'intégrale singulière aura une tangente unique au point c, mais non une courbure déterminée.
5. Nous allons maintenant nous affranchir de toute hypothèse sur le signe de la fonction A (a?).
Soit c un point compris entre a et b. Supposons qu'on ait établi l'existence de valeurs singulières h n (/i = =b i, ± 2, . . .) pour l'intervalle ac et de valeurs singulières i rt (/i= ±i,±2, ...) pour cb. Avec tous ces nombres et avec le nombre zéro, rangés par ordre de grandeur croissante, formons une suite unique ; une analyse toute semblable à celle qui précède nous permettra de démontrer qu'entre deux termes consécutifs de cette suite il existe une valeur singulière relative à l'intervalle total ai et une seule
En effet, le paramètre X variant entre deux termes consécutifs de la suite formée par les h n et les k n9 les intégrales désignées précédemment par <p(x, X) et <{/(j?, X) existent et vérifient la relation
d r Y(c,*>-9'(c*) "U dk l X J > °*
La fonction de X
continue tant que X diffère des h n et des k n est donc croissante avec X. Pour connaître les valeurs qu'elle prend aux extrémités de l'intervalle de variation du paramètre, il nous faut distinguer plusieurs cas :
i° Cet intervalle est limité par deux nombres de la même espèce,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. l5
par exemple les deux nombres h n h et h n . La quantité <]/(<?, X) reste alors finie ; et l'on a pour <p' (c, X) le développement
avec
>'{c)z= f A.(x)&(x)djr.
Comme d'autre part la fonction &(x) satisfait aux relations
on pourra écrire
ce qui prouve que 4>'(c) est du signe de h n9 c'est-à-dire de même signe que X. La quantité
est donc très grande en valeur absolue etposùive pour X = h n — e, e étant un infiniment petit positif; on verra de la même façon que — ? ^' est voisine de — oo pour X = A n , -h £.
2 L'intervalle de variation du paramètre est limité par deux nombres d'espèce différente : h n < X < k m . Dans le voisinage de h n , ty'(c, X) reste
finie et —2-^-— est très grande et négative; au contraire, dans le
voisinage de X: OT (X = h m — e), c'est <p'( c » X) qui reste finie, tandis
que I -V — - tend vers -h oo.
3° L'intervalle est limité par le nombre zéro et par A, . Lorsque X a une valeur positive et très petite, la différence ty'(c 9 *k) — ç'(c, X) est sensiblement égale à — r-^- ^— et le rapport ^ T^ est
IO S. SANIELEVICI.
voisin de — oo. D'ailleurs nous venons de voir qu'il tend vers -H oc pour X = A, — e.
On voit donc que dans tous les cas ce rapport, constamment croissan t avec X, passe de — oo à -h oo quand le paramètre décrit l'intervalle considéré ; il s'annule par conséquent une fois et une seule dans cet intervalle, pour une valeur X = X„ : X w est une valeur singulière relativement à l'intervalle total ab (*).
Les propositions établies dans les n os 4 et 5 démontrent l'existence d'une infinité de valeurs singulières relatives à l'intervalle ab, pourvu que la fonction A (or), finie et intêgrable dans cet intervalle, n'y change de signe qu'un nombre limité de fois.
6. Quant au calcul des valeurs singulières, le fait que la fonction A(a?) peut avoir un signe quelconque dans ab n'y apporte pas de difficulté sérieuse.
Reprenons la fonction y(x, X) définie par l'équation (2), c'està-dire l'intégrale de (1) déterminée par ses valeurs y (a), y (b) à l'extrémité de l'intervalle considéré. Cette intégrale est une fonction méromorphe de X dont les pôles, réels et simples, se trouvent exclusivement parmi les valeurs singulières dont l'existence a été établie. Réciproquement, toute valeur singulière est un pôle de y(x,\). Pour qu'il n'en soit pas ainsi, les valeurs y(a) ety(b) devraient vérifier une certaine relation ( 2 ) qu'on peut toujours supposer non satisfaite. 11 s'ensuit que le développement autour de X = o de la fonction y(x, X)
y(x, l) = u (x) -+- k,(^r) +^^1(0:) +. . •+ ^ B w fl (x) ■
aura pour rayon de convergence la plus petite des quantités X, et | X,|, en désignant par X,, X 2 , ... les valeurs singulières positives et par X-,, X 2 , . . ., X„, ... les valeurs singulières négatives de ab. Le développement (9) étant uniformément convergent pour a<x<b, lorsque X est moindre en valeur absolue que le rayon de convergence
(') Nous faisons abstraction du cas où l'on aurait h m = k ni qui peut ôlre considéré comme eus limite; il est clair que //„, est alors une valeur singulière pour ab.
(*) On devrait avoir jr (a) z' (a) z=y(ù)z'(ù), z étant l'intégrale singulière correspondit 11 le.
de cette série, portons-le dans l'équation (2). On aura alors, pour calculer les coefficients u n (x), les relations récurrentes
O "~~ JC X — Ct
«,(*) = /* G(*,Ç)A(i*)if,(Ç)rfS.
Il y a deux cas à distinguer :
i° Les deux nombres X, et |X, | sont inégaux; soit, pour fixer les idées, X, < | X, |. Comparons le développement (9) avec le suivant,
91a converge dans un cercle plus grand. On a d'une manière générale
d'où l'on déduit(«)
Faisons maintenant tendre n vers l'infini. Comme la série dont le terme général est X"f„(a?) est convergente, cette expression tend vers zéro et l'on a
ii„,-îfsi£L = x 1 .
Le rapport "* , \ tend donc vers une limite indépendante de x, et
rr u H + x (x) r
qui est précisément la valeur singulière X,.
(») On ne peut supposer u n (x) = o, car cette hypothèse entraînerait u (x) == o. S. 3
l8 S. SANIELEVICI.
De la formule (10) on tire d'ailleurs
l\ml n l u„(x)=y l (x) 9
y% 0*0 n'étant autre chose que l'intégrale singulière correspondant àX f .
2° Supposons au contraire qu'on ait X t = — X«. En retranchant dey(x, X) les parties principales relatives aux pôles simples X, et X, f on a
cette dernière série convergeant pour |X| > X,. 11 vient donc
et par conséquent et
l'uni*"* 1 u tn +i(x)=y t (x) — y-^x),
relations qui font connaître les valeurs singulières et les intégrales correspondantes.
Comme ces deux cas sont les seuls possibles, on voit que les réciproques des propositions que nous venons d'établir sont exactes.
Le même procédé sert à calculer les valeurs singulières suivantes et les intégrales qui s'y rapportent.
Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait X, < |X, |. Posons
(n) ^,X)=^(dr,X)-i^==^(*) + Xi» l (*)H-...-+-X»i' ll (*)+....
La fonction t>(a?,X), holomorphe dans un cercle de rayon plus grand que X,, satisfait à l'équation intégrale
On pourra donc calculer les fonctions v n {&) par les relations de récurrence
La fonction v n (&) n'est pas identiquement nulle, parce que v (x)ne Test pas; on peut donc appliquer a la série (n) la discussion précédente. L'un des deux rapports
aura une limite bien déterminée quand u augmentera indéfiniment; cette limite fournira la valeur singulière (ou les valeurs singulières) de module immédiatement supérieur àX,. On trouvera ensuite, comme précédemment, la ou les intégrales correspondantes. U est clair qu'on pourra ainsi continuer indéfiniment.
7. Nous allons maintenant établir une propriété importante des intégrales de l'équation ( * ).
Désignons par Y (oc, X) celle de ces intégrales qui s'annule pour x = a et dont la dérivée prend en ce point la valeur un (').
(») Celte intégrale est la solution de l'équation de Folterra C'est donc une fonction entière de X.
•20 S. SANIELEV1CI.
Cherchons le nombre des zéros de Y(:r, X) compris entre x = a et x = h. Ce nombre dépend évidemment de la valeur attribuée à X.
Tout d'abord il est clair que, si l'on fait varier infiniment peu ce paramètre, le nombre de ces zéros ne peut changer, sauf lorsque X traverse une valeur singulière. En effet, soit X une valeur non singulière et faisons varier X de X — e à X -h e. Comme Y(f>, X ) est différent de zéro et que Y(6,X) est continue par rapport à X, on pourra prendre e suffisamment petit pour que Y(b, X) garde un signe constant. Si donc le nombre dont il s'agit a changé, il n'a pu varier que d'un nombre pair ; il y aurait donc une valeur X, comprise entre X — e et X -f- £ à laquelle correspondrait une intégrale Y(x, X,) ayant une racine double ('), ce qui est impossible.
En second lieu, lorsque X traverse en croissant une valeur singulière positive, le nombre des zéros augmente d'une unité. En effet, dans
le voisinage d'une valeur singulière X n , la dérivée ( t- J = Y'(6, X)
est différente de zéro. On aura donc la formule suivante, analogue à l'égalité (6) et qu'on établit d'une manière semblable,
qui montre que le rapport y , ' * passe en croissant par la valeur zéro
quand X traverse la valeur singulière positive X n ; ce qui démontre notre proposition.
La même formule montre que le nombre des zéros augmente encore d'une unité, lorsque X traverse en décroissant une valeur singulière négative.
Or, pour X = o, on a Y = x — a ; il résulte donc de ce qui précède que l'intégrale Y(a?,X) s'annule n fois dans l'intervalle ab (extrémités exclues) quand X est compris entre X„ et X n+ , ou entre X n et X (n4 . .
(!) Une intégrale nulle ainsi que sa dérivée en un point x = c vérifierait l'équation de Vol terra sans second membre
Y-t-Xy X A(S)(-r-î)V(«)^ = o.
Elle est donc identiquement nulle.
EQtfATIONS DIFFERENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. 21
. Voici une conséquence immédiate de cette proposition.
Tant qu'on a X I <X<X I , l'équation (i) admet une intégrale positive et différente de zéro dans tout l'intervalle ah. Désignons, en effet, par u et v deux intégrales déterminées par les conditions
u(a) = o, ii'(a) = i, i'(a)r=i, v'(a) = o,
et considérons l'intégrale
y=zu(œ)-h tv{x) (e>o).
Comme u(x) reste positive (et différente de zéro, sauf pour a? = a) dans l'intervalle ab et que y(.r) est finie dans le même intervalle, il est clair qu'on pourra prendre t assez petit pour que y reste positive et différente de zéro pour a = x<b.
Il n'en est plus de même quand X atteint la valeur X, (ou X, ). Dans ce cas u(x) s'annule pour x = b, et il résulte des propriétés bien connues des équations différentielles du second ordre que toute autre intégrale de (i) a alors un zéro et un seul dans l'intervalle "&(')•
8. Ces remarques faites, nous allons montrer que les intégrales singulières de l'équation (i) peuvent être considérées comme solutions de certains problèmes du calcul des variations ( 2 ).
Posons
et considérons l'ensemble des fonctions y(x), continues ainsi que leur dérivée première dans l'intervalle ab, s'annulant aux extrémités de cet intervalle et rendant positive l'intégrale définie J,. Je dis que, parmi toutes ces fonctions, c'est l'intégrale singulière y t (x) qui donnera au rapport ^ la plus petite valeur, et que cette valeur minima est
précisément X,.
(*) Sturu, Journal de Liouville, l. I.
(*) Poir Mason, Journal de Jordau, 1904.
22 S. SANIELEVICl.
Comme ~ ne change pas quand on multiplie y par un facteur constant, on peut supposer J, = i; et Ton est conduit à chercher le minimum de J dans l'ensemble des fonctions qui s'annulent pour x = a et x = b et qui donnent à J, la valeur un.
L'équation d'Eulerqui fournit les extrëmales (') de ce problème n'est autre que
X étant une constante ; pour qu'il y ait des extrémales s f annulant en a et en 6, on doit attribuer à X l'une des valeurs singulières dont l'existence a été établie. Comme on a d'autre part, y étant l'extrémale convenable,
on voit que le minimum de J ne peut être que X,.
Pour l'établir rigoureusement ( a ), considérons la différence J — k 9 k étant un nombre positif inférieur à X, et aussi voisin qu'on veut de cette quantité. Pour toute fonction y satisfaisant aux conditions énumérées, on peut écrire
Or, on a identiquement
[«5grj' M( ., (J „„i^.*) + (.g)'^.(j- + „ w .) i
p et u étant des fonctions continues, ainsi que leur dérivée, et m admettant une dérivée seconde dans l'intervalle ab.
Prenons dès lors pour u une intégrale positive et différente de zéro dans ab de l'équation
(») foir par exemple Bolza, Calculas of variations. (*) E. Picard, Traité d % Analyse, t. III, 1908, p. ni.
(nous avons vu que la chose est possible tant que £< X,) ; et déterminons/? par la relation pu =y. La fonction p est continue dans ab et s'annule aux extrémités de cet intervalle. On a par conséquent, en intégrant,
'.-*-jf(.2) , '.=jrŒ-î£)v.>*
c'est-à-dire
Jo>*.
Le minimum de J est donc bien la valeur singulière X,.
9. Avant dépasser aux valeurs singulières suivantes, nous devons faire une digression concernant un théorème du calcul des variations.
Supposons qu'on ait à chercher Yextremum (maximum ou minimum) de l'intégrale définie
J.=jf*F<.. 7 ,/)* (/=£).
la fonction inconnue y étant assujettie à prendre des valeurs données pour x = a et a? = 6 et à vérifier en outre les conditions
(ia)
J/ss/ G/(#, y>y Ê )dx = a t (1 = 1,9,...,*),
les a t étant des constantes.
On sait que les extrémales de ce problème, c'est-à-dire les fonctions j pouvant donner lieu à un extremum de J , sont fournies par l'équation
L'intégrale générale de cette équation différentielle du second ordre dépend des n-h2 constantes |i,, [x a , ..., [x rt , c t ,c. if qu'on détermine en général en écrivant que cette intégrale satisfait à toutes les conditions du problème. Soity=/(x) l'extrémale ainsi déterminée. Considérons
24 S. SAN1ELEVICI.
la seconde variation de J , où Ton a posé
Pour que y =f(x) fournisse effectivement un minimum de J , il est nécessaire, et en général non suffisant, qu'on ait
pour toute fonction r\ satisfaisant aux conditions
(12') Y)(a) = -/)(ô)=o, &h= ! Vifidx^o (* = i, 2, . . ., n)
en posant
n - ["*!' ± (*hX\
Or, en prenant pour r\ une fonction deux fois dérivable et en posant S = P — t-^i la seconde variation peut être mise sous la forme
ou encore, en vertu des conditions (12'),
$ l J = ! n Syî — — (Rtj'j+^v/U/ dr (v^const.).
Si donc on pouvait trouver une intégrale yj de l'équation 03) ^(Rtï')-Stï=21v/U/
s'annulant en a et en un point x Q = b, et satisfaisant en outre aux conditions
il est clair qu'on pourrait annuler S a J en prenant
Yj = Y3 pour a±j: = jr , n=.o pour x SxSb,
les conditions (12') étant ainsi satisfaites (').
Désignons par u t une intégrale, nulle en a, de l'équation
^(RV)-Srî = U, (i = i,a, ...,*), et par u n + x une intégrale, pareillement nulle en a, de l'équation
L'intégrale la plus générale, qui s'annule en a, de l'équation (i3), où l'on attribue aux constantes V/ des valeurs arbitraires, est de la forme
Pour qu'on ne puisse avoir
les conditions (12) étant satisfaites, il est donc nécessaire que le déterminant
a ti a u ••• «1,7*1-1
( J ) On démontre que dans ces conditions on peut aussi rendre 8 J J < o (voir Kneser, Mathematische Ànnalen, Vol. LV).
où l'on a posé
S. SANIELEVICI.
ne s'annule pas pour a<^x<b. Le système
2 V */ VjU k dx = o (y =1,2, . ..,*) (*o=£)
ne sera alors satisfait que pour v*=o (*).
10. Voici une propriété remarquable du déterminant A,. Posons
*pp **p,/»-i-i
Un W
On aura, en posant
et comme, d'autre part,
il vient
n-i-l n-hl
(.4) r(a^a p+1 -a p a; +1 )=2 21 urur ,) (° e «-«.r).
( * ) La condition Ai ^ o pour a < x ^ Z», jointe à R > o dans a£, est aussi sufGsante pour qu'on ait S f J >o (vo/r Mayer, Mathematlsche Annalen, Vol. XIII).
D'un autre côté, remarquons qu'on a
2 «„Oi."> =<> (*=/»,/> + !, ...,* + I) ( f ),
2 «r,Ur n = o • (r = /> + i, ...,/H-i),
2 (V.U/»':=-Uîr.
5 = JJ-»-l
La relation (i4) devient, par conséquent,
n-f-i n-hi »-t-l n + 1
/• = /> j = p-Hi s = p + l r—p
c'est-à-dire simplement
C'est la formule que nous voulions établir.
H. Revenons maintenant aux valeurs singulières X n .
D'une façon générale, y m étant l'intégrale singulière correspondant à "k m9 disposons du facteur arbitraire qui entre dans l'expression de cette intégrale de manière à avoir
il est clair qu'on a en outre
Posons
J ê =f {^jdx 9 h=f k{x)y*dx, ..., i t =j k{x)yyt- x dx.
(* ) On doit faire U rt +i = o et a„ + i,/= o.
28 S. SANIELEV1CI.
Nous allons démontrer que, parmi toutes les fondions y satisfaisant aux conditions
c'est la fonction y n + s qui donne à l'intégrale J sa valeur minima, laquelle est précisément X rt+I .
Tout d'abord, l'équation des extrémales
(16) j£ + l\( x )y + A(j?)2fx / y / =o
se réduit ici simplement à
(17) ^t+ l Mx)y = o,
les constantes [a,- étant nulles ; c'est ce qu'on voit de suite, en remarquant que la fonction y d satisfait à l'équation
De cette équation et de (16) on tire, en tenant compte des conditions imposées à y,
c'est-à-dire
Or, pour que l'équation (17) admette une intégrale s annulant en a et en b et satisfaisant aux conditions (E), il faut nécessairement attribuer à X l'une des valeurs singulières X n+ ,, X n+2 , ...; et il est clair que, pour avoir le minimum de J , c'est X n-M qu'il faut choisir.
Démontrons maintenant en toute rigueur que, pour toute fonction y satisfaisant aux conditions (E), on a
dx > k,
k étant inférieur à X, I+I mais aussi voisin qu'on veut de ce nombre. Ceci revient à démontrer que l'expression
est positive, pour toute fonction y satisfaisant aux conditions / A(x)y t ydx = o, f A{x)y t y dx = o, ..., / K{x)y n y dx — o.
C'est le problème traité au n° 19; il suffit d'y faire
11= jr, Q = o, R = i, P=— *A(jf) p [] i -A(x)y i . L'équation (i3) devient ici
L'intégrale, nulle en a, de cette équation a la forme
2 £-^y Yt-h cz (c = const.),
z vérifiant les relations
jp + kk(x)* = o, z(a) = o.
On aura donc
«/,»+!= / A(x)yiZdx,
A "-(*-X p )(*-X^. l )...(A:-X li ) Pf
en posant
S. SANIELEVICI.
/ A(x)y p dx I A(x)y p y pJhl dx
f A(x)y p+i y p dx f A(x)yJ >+l dx
f A{x)y n y p dx f A(x)y n y p + t dx .
La formule (i5) devient
/ k(x)y p y p ^dx
f A(x)y p zdx f A(x)y p + t zdx
f A(x)y n zdx
)y p zdx
/ A(x)y n y p ^dx ... / A(x)y a zdx qu'on peut écrire, tant que S^, ^ o et pourvu que X„ < k < \ n+i ,
dx
Tout revient maintenant à établir que la fonction S lf qui est nulle pour x = a, ne s'annule plus dans l'intervalle ab.
A cet effet, supposons que o fM . t s'annule en q points situés entre a etb. Si 8 P ne s'annule en aucun de ces points, 8 P aura exactement y — i
zéros dans ab (a exclu). En effet, le rapport toujours décroissant j-*-
varie alors de -h oo à — oo dans chaque intervalle partiel déterminé par deux zéros consécutifs de S^,, sauf le premier, où il varie de zéro ( ! ) à — oo, et le dernier, où il varie de -+- oo à i .
Si au contraire o p a un ou plusieurs zéros communs avec &,,+,, le nombre des zéros de o,„ dans ab, pourrait être moindre que q — i.
(!) Pour .r — a très polit, les minours do 8 P correspondant aux cléments de la première ligne sont tous du môme ordre infinitésimal; par conséquent, Tordre infinitésimal
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. 3l
Or, la fonction z s'annule exactement n fois entre a et b (n° 7) ; il en résulte que S„ s'annule au plus n — i fois et, de proche en proche, que §, ne s'annule pas du tout pour a<^x<b (').
12. Il est clair que d'une manière analogue on peut définir les valeurs singulières négatives X n et les intégrales correspondantes. Parmi toutes les fonctions y, continues ainsi que leur dérivée dansaè, et vérifiant les conditions
f A(x)y*dx = —i, f A(x)y ifdx = o (i = i, . . ., /i),
celle qui donne à l'intégrale
dx
sa valeur minima est l'intégrale singulière y-( n +t) et ce minimum
est — À«( n4 .,).
