Equations du o®° type

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(x) rs 2 27

Equations rencontrées incidemment à propos de l’équation (7) du 1% type.

' DM OL. US «ll : Eee Intégration: —- — 1-7, y, et w, étant deux intégrales quelconques de w!'—qu. No #4, | Hs je LR ; D : de Si , et ”, sont deux intégrales déterminées 1 — u! Y, AR fait passer de O à T.

CR EE: un M Uk I (2 © Ha tour D + 7 + RP +ay——}). ) 2 } 4 1 27 2 q Î q \4 l y

Intégration:

P ER ER Vide V4 +2aÿ+4Kn+1 ee Substitution : r n=Y, X=p(£), p(E)=Va (] RES sas 2 UN AS (3) F =; ytasY —X?Y AU Intégration:

Pr +2 FT, CLR A EE A Se

Vl=2VS+XV—2a => transcendante irréductible IT.

B. Gambier.

© Le]

tes « 11. Equations du 11°" type et du 12°% type.

Je condense encore en une seule équation les nombreuses équations de ce type: je désigne par 2u°+ Su + 7 l'une quelconque, mais bien déterminée des

3 expressions 20, 2u%+au+p, 2u+xq+a Dans ces conditions le type

T' est é D. pis PE NT PE RER ER SR D 3 LS 3 S 9 3 7?

+ lag +r + T)| 7 +ogr—3r y

où l’on a Intégration:

: Vi=2V+SVET.

Pour V —39g, un calcul de limite donnera la valeur de Y et par suite l'intégrale générale de l'équation de Ricoart Y'+ Y?—4Q Y + 3r—o. Nous sommes ramenés au type (it) connu V'—2VS+SV+'T. Je fais remarquer que le type V'=— 2 VS + XV + a est la seconde équation irréductible. J'ai aunoncé que pour certaines valeurs numériques des paramètres qui y figurent ces équations pouvaient admettre des intégrales particulières qui ne sont plus des transcendantes irréductibles. Ceci se présente ici et l’étude faite dans ce paragraphe d'équations secondaires dérivées de l'équation primaire V"—2 V3 + XV + a met ce fait en évidence. . Quelle différence existe-t-il entre le type (11) et le type (12)?: c’est

que > est nul pour 11, non nul pour 12. On a à résoudre la question suivante:

si g est une intégrale de g"=— 2 Q° + X q + «, la fonction q' + q? + = est-elle nulle

ou pas? Si on écrit q'+ q? + - —o on en déduit g'+2qq'+ = —0 d’où

, I te, : I g'—|2 +Xq— ;| = donc pour «a =—- l'équation g"— 2 q° + X q —- admet 2 2 2

une famille d’intégrales ne dépendant que d’une constante, qui ne sont plus que

des transcendantes déjà connues, à savoir les intégrales de q! + q? + —

Il y a ici une autre valeur remarquable pour «, e’est « — 0 auquel cas V —o est une intégrale de V'—2VS+ XV. Il y a intérêt à montrer que «—0

et a se ramènent l’un à l’autre. Prenons en effet

Equations différentielles dont l'intégrale générale est 4 points critiques fixes, 33

% ff a ff 2 « I Y =2Y +2y, L' =2F +11—

"À ( . ” >» { 2 Je pose y—uy d'où 2ÿ*=w +w?—7, w"—2w—2zu+1. Or en posant

# s / : 1 I —YVV2, X=—%V2 on a V'—2V5+ XV", Les 2 types a—0, au = — 2 2 se correspondent donc bien. Comment se correspondent les deux groupes d’intégrales pour y"— 24° + y, "= 20 — 21x10 +11 À chaque intégrale w correspond pour y lune ou l’autre des racines carrées de n! + w°— x, qui se trouve être le carré d’une fonction uniforme de x. Pour toutes les intégrales particu-

lières u telles que w! + w?—x—0 on à y —0. — Inversement à chaque intégrale

y correspond pour # une seule intégrale 7 ; pour l'intégrale y — o il y à une in-

finité d’intégrales pour w, à savoir celles de w + w7— x —0, 1] est très curieux de voir que l’étude des équations secondaires met en évidence ces valeurs remarquables des paramètres pour les équations irréductibles, Ceci avait déjà eu lieu pour l'équation V'—2V? + XV +: (a —0 à été signalé par l'équation (3)

U LE "+ ; , ‘ du premier type Y" eu 5 ul LS X Y qui par Y —Z7 donne 7"=— 275 + X 7; a=—° se trouve signalé encore par l'équation (3) du 4% type: Y Es Si I . … . { + 4 Y°—X Y — y di supposant #70 s'intègre par Y'——1+2VY,

. X : 5 , e 2BPY=V+FV"+ > % V'—2V+XV— , “28; pour f—0 on retrouverait DA . me + LE . . 1: Cr X l'équation (1) du 9" type qui s'intègre tout simplement par V'+ V?+ ; — 0).

Nous retrouverons les mêmes particularités pour les types secondaires dérivant de l'équation irréductible IV.

12. Equations du treizième et quatorziime type. Je condense encore les équations du type T en désignant par 6 V? 4 $ les

3 expressions 6 V?, 6 Phi 6V?2+X, | Le q PH Lie Vi nt LSVY LV pes ET" + TT’ D Hess 5 LS 5 A PR nn PER à Sr fr 34 + Pa UPS) 4 FF", 72 3p A LE 7 Vs 2 LV 4, — | — 71] ; LEA : te 5 r ANA

V, et V, sont deux intégrales de V"—6 V7? +8.

Acta mathematica. 23. \myrimé le 19 juin 19%. 5

34 B. Gambier.

Intégration:

A es ne 4 = FA]

, qu

= T7 ] CE [Z. + q]

Eu ALERT APE RS OO VAR PAUÉSE pri

L'intégrale de l’équation en Z est Z — den Vie 6, PAS. ci on à

deux calculs de limite à faire, si V, tend vers V, ou quand Z tend vers g.