I 19 TI

Y —=Y |, y 7e y—t où P et Q sont des polynômes en y. La transformation y Ÿ — 1 ne change pas la forme de l’équation et montre que P est du 3" degré au plus en y, Q du sème, Soit alors

P(yx)=a(x) +y(-.), Q(y, x)=b(x) + y);

en faisant la substitution x —x,+axX, y—aY on obtient la simplifiée ÿ'2 Y'

b . , . 2 LA là LA LU 4 s Ve ro y y qui est précisément l’une des équations étudiées au chapitre I%. On voit ainsi l’importance que présente la discussion des équations Et e— 5 H—?) +... Les résultats obtenus au chapitre 1°, paragraphe 2, nous

indiquent que le coefficient de . est nul; donc a(x,) = 0, d’où a(x)=o.

Donc P(y,x) n’a pas de terme constant en y, non plus que de terme en y” (la transformation y Y — 1 dont il a été question, ou la simplifiée obtenue par æ=% +axX, Y — ay le montrent).

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 39

Avec un changement de notations j'écris l'équation

EE LE I ay —Db JOEL k l = fs) +9 4 -n)| É ne He 3 4 4 ee D y t Ho er | La St tion y Ÿ — 1 n’opère sur l'équation que l’échange suivant a b e Î q h k l

b a q h e Î k k—1 Bin g==0. je forme. unelsimplitiée "par œ7=2, +aX; y—=c Y, Y"— . d’après les résultats du paragraphe 3 du Chapitre 1% (x) —0o. De même e 0

entraîne f — 0.

— h, et

Il reste maintenant à former la simplifiée relative à la valeur 1 de y: on

719 TI Pobtient par 2, +uxX, y 1e} d'où Y”=— = (a, 0.) L + 2 ce qui donne, d’après les résultats relatifs aux équations y'— 4 +..., 3 cas possibles:

a—b=k=0; a—b=0o, ko; a—b=Eo, k=o.

2, L'étude des simplifiées ne donne rien de plus ici. Je n’entre pas dans le détail des résultats fournis par l’étude des valeurs æ, o ou 1 de y. Ces résultats se simplifient d’ailleurs beaucoup en remarquant qu’une substitution X — px), y — Y ne change pas la forme de l’équation. On trouve ainsi 4 types canoniques seulement.

mo pers) pepe) +467

1 7] I (n—1} 2-41 ll 6 I Y! (Y—:} Re ÔY(Y +7) GATE: Crtr ni nl etre