B. GAMBIER

à MoxTPELLIER.

Introduction.

L. — Objet de ce mémoire. — M. PAINLEVÉ a indiqué nne méthode pour déterminer toutes les équations différentielles (algébriques) du second ordre dont les points critiques sont fixes et il a développé cette methode explicitement dans le cas où l’équation est de la forme

R rationnel en y, algébrique en y, algébrique ou analytique en x.

Un mémoire publié dans les Acta Mathematica (1902) renferme le tableau de toutes les équations (1) à points critiques fixes.

Ayant commencé, sur les conseils de M. PaixLevé, l'application de £a méthode aux équations qui sont non plus du premier degré mais du second en #1, j'ai été conduit à réviser l’énumération des équations (1) et j'ai constaté que les tableaux dressés par M. PAINLEVÉ présentaient une lacune que je comblerai dans le présent mémoire. Cette lacune provient de ce que dans la discussion des cas nombreux que la méthode conduit à distinguer, M. PAIxLEVÉ en à laissé éch2pper un, qui se trouve correspondre à des types nombreux et importants Je préciserai d’abord cette omission.

Acta mathematica. 33. Imprimé le 8 juin 1909.

* B, Gumbier,

%,. On peut toujours mettre l'équation sous la forme

$+ (2) à EUY, Y, w)

e étant rationnel en y, vu et « étant lié À y par une relation algébrique qui

dépend analytiquement de + soit (3) H (u, y, x) = 0.

M. PaxLevé montre d'abord que pour # arbitraire la relation (5) entre y et « doit être de genre o où 1 Dans le ens où elle est de genre + les tableaux de M. Parxezevé sont complets: je n'y reviendrai plus, Dans le eas où elle est de genre zéro on peut toujours moyennant un changement de variable très simple supposer que À (y, y, x) est rationnel en y et y. Dans ee eas, je vais indiquer pourquoi les tableaux de M. PAxLeve doivent être notablement-complétés,

M. PaixLevé établit d'abord que l'équation (1) est de la forme

(4) v' = A (uv, 2) 9° + By, x) v' + Cu, à),

Où A (y, +) est l’une des à expressions 4

Œ ï a Fr { e{r be a ê n|. nl

0; N N ay+b ay+b cy+a ay + à

ï a C | PEUR: ( (a | (à | ey+T 3 de -d cy+d& ey+fl

| PRE b cy+d |, a 4 3 | e é € |: 5 (2 “Th ê L € 2ay+b 4a\cu+d ey+i' Cau+b seu+d aey+f

[ a < C : € + Q tte ee ay+d cy+& ey+f gu+hl

a, b,...,k, désignent des fonctions de + qui peuvent être identiquement nulles ou se réduire à des constantes, » désigne un entier positif supérieur à 1, En

effectuant sur y la transformation homographique YF = où Y = = p °ù { + r Cy+é . (af —be) (cy + d) .

YF = — ou Y = = “ ,, suivant que 4 coïnoïide av da - = $ A coïneide avec In rx des TES DE PTE © | vec la 1 de ces

expressions, où là seconde, où avec I je et 4e, ou enfin avee l'une queleonque

des suivantes, on est ramené à une équation analogue (5) J'= A(Y, X) + B(Y, X)F'+C(T, ZX).

Où 4, B, C sont rationnels en Yet où 4 coïneide avee une des & expressions

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 3 ; IT I QU I NPOTIVIET > LT; et ls 2) y +} } : 2 4e 2)

2NIVT I à hu I 2 ï L tn NT I I = De |: #1 < : | 1 E 4 Ë : E + RAD) pioneer. en

H désignant soit une constante numérique « soit X.

M. Parncevé étudie ensuite les équations correspondant à chacune de ces 8 formes de 4. Or l’énumération de M. PAINLEvÉ est complète pour les 2 for- Tee mes A=o et À — mais le cas 4— Ar É présente une lacune importante et comme la discussion relative à ce cas retentit sur la discussion des 5 derniers, cette lacune entraîne l’existence de lacunes correspondantes dans les 3 derniers tableaux.

3. Ce nest donc pas une erreur dans la méthode mais une omission dans application de la méthode qui explique les lacunes des tableaux de M. Parx- LEVÉ et c’est par l’application même de cette méthode que j'ai comblé ces lacunes.

Cette méthode se décompose en deux méthodes distinctes:

1° une méthode qui fournit un certain ensemble de conditions nécessaires pour que l'équation ait ses points critiques fixes.

2° une méthode qui démontre que ces conditions sont suffisantes.

L'application de la méthode aux cas omis par M. PAINLEVÉ n’était pas toutefois sans présenter des difficultés. Tout d’abord des complications de calcul, si les conditions étaient formées maladroitement. Ensuite il n’était pas certain que les conditions ainsi obtenues fussent intégrables, c’est-à-dire qu’on pût écrire explicitement à l’aide d’un certain nombre de fonctions de x arbitraires toutes les équations cherchées. Enfin parmi les équations obtenues, les unes sont intégrables, j'entends réductibles aux équations linéaires et aux quadratures, les autres sont irréductibles. Il fallait distinguer ces deux classes et notamment intégrer les équations intégrables, ce qui, comme on le verra plus loin, était pour certaines d’entre elles assez malaïsé.

Je résume d’abord les résultats de cette discussion minutieuse. Les plus importants concernent les équations irréductibles, qui engendrent des transcendantes nouvelles.

4. Transcendentes nouvelles engendrées par les équations différentielles du se-

cond ordre.

4 B. Gambier.

IL existe 6 types et 6 seulement d'équations différentielles (1) à points critiques fixes qui sont irréductibles au sens le plus rigoureux du terme (sens de M. Dracx). Ces 6 types peuvent recevoir les formes canoniques qui suivent

[«, ?, 7, d désignent des constantes numériques]

(el yl=0Y +x IT y'=2y rue

y? 2 I . : DT) En NE E, RE 22 y Re ne y Ga. ë Ve, OY(YERT) | Dett 22 Gen RU ur re ARR SEL. I : DR Per Ê ie y—X Ë RG RE AS | RÉ r nit | Fan Let Put ne À ya

Par suite de l’omission signalée, M. PAINLEVÉ n’avait obtenu que 3 types distincts d'équations irréductibles, à savoir les 3 premiers. Les tableaux qu’il avait formés ne contenaient pas l’équation IV; ils contenaient l'équation V dans le cas

A EE RE permet de la ramener au

où «a = — 0, auquel cas la transformation y — -

type III, tandis que si «, f ne sont pas nuls tous deux elle est irréductible au type III; de même l'équation VI ne figurait dans les tableaux de M. PAINLEVÉ

: Etre Ce :

que dans le wcas' où g—p—7y—"0 0 = auquel cas elle est intégrable, tandis

que dans le cas général elle est irréductible.

L'intégrale générale y(x) des équations I, Il, IV est uniforme; celle des équations [IT et V admet æ—0 et x — æ comme points critiques transcendants; si l’on effectue, pour ces 2 types la transformation + — eX, la fonction y(X) est une transcendante uniforme. Enfin lintégrale générale y(x) de l'équation VI admet les points critiques transcendants æ—0, x=—1, æ—.

5. La méthode employée par M. PAINLEVÉ pour montrer que l’équation y—6y+x a ses points critiques fixes [Bulletin des Sciences Math. 1900] s'applique d’elle même aux autres équations. Dans une note des Comptes Rendus, 24 Décembre 1906, M. PAINLEVÉ a fait lui-même cette extension. Il a de plus montré que le type VI contient comme dégénérescences les 5 premiers:

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. D

V est dégénérescence de VI; III et IV dégénérescences de V; II dégénérescence de IIT où IV et enfin I est dégénérescence de IL.

M. PaINLevé l’établit de la façon suivante: faisons dans VI 0 — ” Ô + Prsie e “à ss t—1+eX, y— Y d’où une équation : Y' (Y —7:} B M M OC, Yl = y FF I RL (1 7 l ’ 4 SR ER D en cn re 7 nn)

qui à ses points critiques fixes en même temps que VI pour toute valeur numérique non nulle donnée à &, et par suite encore pour & — 0: or elle se réduit à V pour &—0. L'application du même principe donne en faisant dans V

? Dre p = ; a es PUeE d—0,e?, VE Te CREUSER Le o Le la dégénérescence y" HONTE az 0:

ÉD NC Ar de;

qui donne IIT en posant X —&?, Y — né.

De même si dans V on fait

I = et Pt Ô a ES 20. nl y=EeY, Ep ee Le on a la dégénérescence 7I2 v? à RS de DCI FE +0) FA PP 2 Y qui donne IV en posant X =EV2,n = Y V2.

On pose maintenant dans IIT I NS à din 4e ri alu t4ñel Dre A, = Le 281 on a la dégénérescence Y"— 2 Y® + X Y +, ou IT. De même dans IV u É I Bi, a — 5m, y=aG tac Y), 6x;

on a Y'—87Y5+4X Y + a, et en posant 2X—EVz,n— y Va on a le type Il.

6 B. Gambier.

ns ts aa l à (6) A0 RER

Enfin la substitution y—e Y + 2e ER Ce a15 transforme IT en Y'—6Y?+X +8(2YS+ X Ÿ) ce qui conduit bien à I comme dégénérescence. » , 2 ‘ l Û Or M. PAINLEVÉ a montré aux Comptes Rendus que l’équation y'—6%?+x est irréductible au sens le plus rigoureux du terme (sens de M. Dracx). Il en résulte que les 3 suivantes sont aussi absolument irréductibles sauf peut-être

pour des valeurs exceptionnelles des constantes &, ÿ?, y, 0.

6. Formation des conditions nécessaires pour que l'équation (1) ait ses moints critiques fixes.

Je voudrais indiquer maintenant la facon précise dont j'ai appliqué la méthode de M. PAINLEVÉ pour former les conditions nécessaires que vérifie toute équation (1) à points critiques fixes. L’équation à étudier est de la forme

où À est l’une des expressions /'. Les expressions B et C' sont des fonctions rationnelles en y, dont les pôles, d’après un résultat de M. PAINLEVÉ, sont simples et coïncident avec les pôles de À; la transformation y Y — r limite le degré de B et C en y par l'application de ce même résultat au pôle Y — 0.

J'emploie alors la substitution de M. PAINLEVÉ: x =, +aX, Y —ay d'où une équation dont l’intégrale générale est à points critiques fixes quelque soit «, sauf peut-être pour «—o, donc encore pour &« —0o: cette équation où «& a été annulé, ou équation simplifiée est du type suivant

(6) y'=@yy + b,y° Si A —0 y? : PL (7) y" FF y + dy y' Jo b, y° si À Es:

(S) y"=— hi = + &YyYy +b,y* pour les 6 dernières formes de 4

(x entier —o, différent de o ou de + 1; à, b, désignent les valeurs pour x — x, de deux fonctions a(x), b(x) calculées rationnellement au moyen des coefficients de l'équation proposée.)

C’est dans l’étude de la simplifiée (8) que M. PAINLEVÉ a laissé échapper un cas important; cela explique comment les résultats de M. PAINLEVÉ étaient complets pour les 2 premières formes de À; la simplifiée (8) rentre dans les équations où À à la 3°" forme possible, et on voit comment les 3 dernières for-

mes de 4 conduisant à la même forme simplifiée, une telle omission pour la -

Al . = ps, . È FT es . s 2 :

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 7

3°" forme de À entraîne des omissions correspondantes pour les formes suivantes de À.

En tous les cas les 3 simplifiées s’'étudient de la même façon: la variable “indépendante + manque, d’où résulte que si l’intégrale générale de cette simplifiée est à points critiques fixes, elle doit être de plus uniforme. Cette intégrale s'obtient par quadratures: si on écrit y—uy?, u vérifie une équation w!—u"?f(u) où / est rationnelle en « et on a en même temps y — q(u, u!), q étant rationnelle en. eb u': or Brior et BouqQuET ont déterminé toutes les formes possibles que peut avoir la fraction f(u). L'application de leurs résultats donne ou bien a(x)= b(x)=— 0 ou bien «a? +b= 0, « et étant deux constantes numériques non nulles toutes deux.

Occupons-nous d’abord de la seconde hypothèse «a? + 5b=0; a(x), b(x) ne sont pas nuls tous 2 identiquement. Cherchons s’il n’existe pas, pour une valeur quelconque x, attribuée à x, une intégrale de l’équation, non simplifiée, qui est étudiée

(5) y" = A (y, +) y? + By, x)y' + C(y, x)

qui admette x —+, comme pôle. Si cela a lieu cette intégrale est représentée par un développement

(9) = + TES a NE Ve » Vi —1 (& SE &) (x x) OÙ &,,@,... sont des constantes, à un entier positif. En substituant dans

l'équation (3) on doit avoir une identité; les termes polaires de degré le plus élevé sont respectivement

Il faut nécessairement que ?— 1 sinon 1 +2<2%+71<34% sans égalité: si bo le terme de degré 3? sit>r ne pourrait disparaître; si b—0o, on aurait 4-0 et alors le terme de degré 25 +1 ne pourrait disparaître.

Nous faisons i—1 et substituons: a, est donné par une équation du premier degré si b—o, du second si b--o; puis @,,a.,,... s'expriment tous au moyen des coefficients précédents par une équation du premier degré, sauf peutêtre l’un d’eux et un seulement qui disparaît de l'équation qui devrait le fournir: mais alors il reste une relation qui est nécessaire pour que ce pôle existe: cette relation devant être vérifiée quel que soit x, entraîne une identité entre

les coefficients de l’équation (5).

B. Gambier,

we]

Si l’on prend la première hypothèse a(x)—b(+)- 0, on arrive à un résultat semblable. Je forme dans ce cas une nouvelle simplifiée en posant dans (5)

xx +aX, Y —cy, d’où par le même mécanisme

(6 bis) Jo —e, y" si A=o : 1 y ” ° x 7 bis = +e,y si A=—- (7 ) /l y 0 Y y y I (8 bis) y" 7 (ri +e,y? pour les 6 dernières formes de 4 u

(n désigne le même entier pour (S) et (8 bis), e, est la valeur pour + — x, d'une fonction e(x) calculée rationnellement au moyen des coefficients de l’'équation.s).

Cette nouvelle simplifiée s'intègre encore par quadrature. J'’emploie d’ailleurs l’artifice suivant, je pose y —2y d'où y — (2,2) où j est rationnel en &

et z' et l'équation

10) 2=yrie Tor

où y et Ô sont des constantes numériques: cette équation (ro) est précisément du type de la simplifiée (6) dont on a déterminé toutes les formes possibles, La conclusion est celle-ci: dans (6 bis) et (> bis), e(x) peut être identiquement pul ou non; dans (8 bis), e(x) est identiquement nul, si x n'est égal ni à 2, ni à 4, ni à —4; pour ces dernières valeurs de x, e(x) peut être ou non identiquement nul.

Si e(x) —o l'étude est finie.

Si e(x) -o nous remontons comme plus haut de la simplifiée à l'équation (5): je cherche comme plus haut, si pour + —2x, où x, est quelconque. s'il existe une intégrale admettant x, pour pôle. Pour des raisons semblables i — 2, @, est donné par une équation du premier degré: les coefficients successifs se caleulent comme plus haut et on arrive par le même mécanisme à une identité entre les coefficients de (5).

Cela fait on a épuisé tout ce que cette méthode peut donner pour la valeur y—x; il reste à faire, suivant la forme de 4 une étude semblable pour les

autres valeurs singulières de y! considérées comme fonction de y, à savoir y—0,1, où æ On ramène cette étude à celle de y— æ par une substitution

faite sur (5)

A + : me, , e 5 2 a a , "15 4 Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 9

7. Une question se pose ici: j'ai exprimé que les équations étudiées admettent des pôles mobiles (ou des zéros, ou des wnités mobiles). Mais ces conditions sont-elles nécessaires pour que l'équation ait ses points critiques fixes ?

La réponse est affirmative. M. ParNLevÉ a donné l'énoncé général de ce théorème et la démontré en détail dans le cas où A0 (Bulletin des Sciences mathématiques 1900). J’en donne une démonstration explicite pour l'un des cas nouveaux que Je propose (voir plus loin, page 49). La démonstration employée montre qu'elle s'étend aux autres cas. Je supposerai donc ce point acquis.

Rendons nous compte du nombre de conditions obtenues: il suffit de raisonner pour y— ; il y avait 3 cas à considérer, d’après la nature des fonctions MER D) el)

1°) «a? +fb 0, sans que a et b soient identiquement nuls tous 2.

Suivant que « est nul ou non, il y a une ou deux familles de pôles mobiles simples, et comme une famille de pôles mobiles peut ou non conduire à une identité entre les coefficients de (5), nous avons en comptant «a? + bo au plus 3 relations identiquement vérifiées.

2°) a(x) bx) o, ex) | 0, une famille de pôles doubles mobiles, donc comprenant &a(x) 0, b(x) o au plus 3 relations.

3°) a(x)= b(x)=e(x)= o. Cela fait exactement 3 relations. Je vais montrer ici comment ce dernier cas, où nous avons cessé d’aller plus loin, se rattache lui-même à l’existence de pôles mobiles: je développe l’équation (5) suivant les puissances décroissantes de y: elle est alors (n entier =0, / 0, # — 1 mais pouvant être w)

he Ua Le R d, (x) y° F5

+ b(2)y + b. (x), . D. (2) he

Si l’on admet l’existence d’un pôle, on a en appelant à l’ordre de ce pôle et en prenant le terme de degré le plus élevé dans chaque ligne: à la première deux termes de degré polaire & + 2, à la seconde un de degré à + 1, à la 3°" un de degré i: les deux termes de degré à +2 se détruiront donc, d’où la relation i——n; donc le pôle ne peut exister que si n est fini et négatif: je fais y— 7" et vérifie que z vérifie une équation du second ordre pour laquelle z— 0 est une valeur ordinaire; donc pour + —x, il existe une intégrale z pour laquelle z, — 0

L De D) Acta mathematica. 33. Imprimé le 9 juin 1909. 2

10 B. Gambier.

: . Q 4 2 A 4 es RS 20 et z!, est arbitraire, autrement dit l'équation (5) admet l’intégrale D ES

où À est arbitraire.

En répétant cette étude pour y—0, 1 ou æ sil y à lieu, on voit donc qu’on obtient un nombre fini de relations différentielles algébriques entre les coefficients de l'équation (5), par un procédé régulier de calcul.

8. — Le résultat très remarquable obtenu pour les équations du second ordre et du premier degré, rationnelles en y, est que l’ensemble des conditions nécessaires obtenues par ce procédé est en même temps suffisant pour que l’intégrale soit à points critiques fixes.

Dans le cas où l’équation contient y non plus rationnellement, mais algébriquement, sans être susceptible d’être ramenée à une autre où y figure rationnellement, c’est-à-dire où la relation Æ(y, u)—o dont il a été question plus haut est de genre 1, il n’en est plus de même, comme M. Parnrevé l’avait montré

pour l'équation

ï pere | :

| Fe AVG — ) ll

sur cet exemple, l’intégration seule montre qu’on doit écrire une relation cette fois transcendante et non plus algébrique, que la méthode précédente ne peut

donner.

9. Formation explicite de toutes les équations (1) à points critiques fixes. Les équations indiquées par M. PAINLEVÉ étaient explicitement connues,

par exemple y"—64y?, y! —6 Po ou y'—6y? + x, sauf une seule équation

(E) = —yy" + y — 12 q(x)y + 129 (x)

où gx) vérifie l'équation g'= 6 g? + x qui est l’une de celles précédemment citées. Si donc on regarde comme connues les transcendantes engendrées par les équations algébriques du 2" ordre et du 1* degré à points critiques fixes, cette équation (E) est donnée explicitement.

Mais dans les cas nouveaux que j'ai mis en évidence je rencontrais des systèmes de conditions différentielles dont l'intégration était, quoiqu’au fond bien simple, assez difficile à apercevoir. Prenons par exemple l'équation

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 11

y ns [ Je - y° + [ay ei RS L d) y! F EU US ane VV ER 70: an C4 k l y (y — 2, is) DE LA ÉHEEAPE AURRRE LAN + y(y n[3a ace ren h + ed Sur cette forme d’équation où &, b,...1 désignent 7 fonctions analytiques de x

on à déjà exprimé toutes les conditions que l’on peut obtenir par les équations . simplifiées. Il y a ensuite à étudier les valeurs singulières w, 0, 1 de y: il y a deux familles de pôles mobiles donnant chacune une relation, de même deux familles de zéros et d'unités mobiles, donnant chacune une relation; on obtient ainsi le système

(A + 3 (ad + a — a) —0 k + 3(bd + be + b—b'") —0 L + 3(ca + cb + cd + c—c)—0

(xx) |

ame

2 h + 3 a?) + 6(ah'— 2 ha") — 9 aÿ(b—c) + 6a?(k+l)—0o (2k + 3 0°)? + 6(bk'— 2 kb!) — 9 b$(a + c) + 6b(h—1—3c)— 0 + 3 ©) + 6(cd'—21c')— 9 c(b— a) + 6c°(—3 a —h—k—3b)—0o.

On verra plus loin comment ces 6 équations permettent d'exprimer les 7 fonctions inconnues au moyen d’une fonction auxiliaire arbitraire et de plus cet exemple montre d’une façon frappante comment, par un mécanisme qui est général, mais qui il était difficile de prévoir, la résolution de ce premier problème, intégration des conditions telles que (rr) est intimement liée à l’intégration de l'équation différentielle (r) elle même quand cette intégration est possible ou à la réduction de l’équation à un des 6 types irréductibles I à VI.

D'une manière précise, les relations nécessaires [(11) ou analogues] se laissent intégrer explicitement, en ne considérant comme connus que les éléments analytiques suivants: fonctions rationnelles, exponentielles ou elliptiques, intégrales des 6 équations irréductibles que j'ai données plus haut.

Ces relations nécessaires sont d’ailleurs suffisantes: toute équation du second ordre répondant à ces conditions se ramène soit à une équation linéaire (d'ordre 2, 3 ou 4) soit à une équation intégrable (par quadratures, ou par les fonctions elliptiques et dégénérescences), soit à l’un des 6 types irréductibles I à VI.

Pour les équations intégrables, la fixité des points critiques résulte de l’intégration même, pour les autres elle résulte de ce fait que les 6 équations irréductibles I à VI ont, comme nous l’avons dit, leurs points critiques fixes.

Je citerai, parmi celles dont l’intégration etait le plus cachée les équations

12 B. Gambier.

Il | I D 1 °| [ na? 3 2 h = [1 — DIX TU eg? + fy + y É :] ACL alé EN | + 9 SL pour lesquelles j’ai d’ailleurs donné deux méthodes d'intégration. 10. — Je vais maintenant donner plusieurs tableaux de types canoniques,

différents suivant le but que l’on se propose.

Je donne d’abord un tableau T d'équations, Y"—#(Y', Y, X) ou F est rationnel en YŸ et Y', qui permet d’obtenir toutes les équations y"— f(y', y, x) où f est rationnel en y et y’, dont l'intégrale générale est à points critiques fixes.!

Si dans le tableau T' qui va suivre j'effectue la transformation homographique la plus générale

ne L(æ)y + m(x)

Hal 7) 0 ne

où l, m, p, q, q sont des fonctions analytiques quelconques de x j'obtiens toutes les équations du second ordre et du premier degré en y', rationnelles en y dont l’intégrale générale est à points critiques fixes.

Ces équations du tableau 7 sont de la forme