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(2) =; Lay nl PHeÿ +iy ES
37 22 n 4°? ! CE CE ON É COLA 5y + (ay +b)y + say +ey? +fy Ur ‘| fs 2:13 1 2 more (x4) y en ON VRP Leg +fy+g he
Sous cette forme on a déjà exprimé toutes les conditions provenant des simplifiées; il n’y a plus qu’à écrire celles qui correspondent aux zéros ou aux pôles mobiles. On verra plus loin que certains types dont les simplifiées sont distinctes s’étudient ensemble: telles les équations (3) et (6), ou encore (7) et (8), ou encore (11) et (12), ou enfin (13) et (14).
Je ferai remarquer que l'équation
le au+5+° Eddy te Re.
garde la même forme par la transformation y — (x) Y, X — (x), qui nous sera utile plus d’une fois pour établir entre les coefficients de cette équation une ou deux relations convenablement choisies. Les coefficients de la nouvelle équation
VAE È n Le (a EE 0: + à Y'+... se calculent ainsi par les formules F
ad à Y
Acta mathematica. 33. Imprimé le 9 juin 1909. 4
26 B. Gambier.
(na 7, = de Te h di; —= p?? (2 Nes g'1? Cs à g"” ALES LD
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(F) | Less: pi Dr p? NOIRE AE
HOMO) OAI
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L Le p'?
Dans ce qui suit j'indiquerai pour chaque type les équations qu'il donne au tableau (1'), l’intégration de cette équation, quand cette équation est intégrable, ou la réduction de cette équation à une équation du tableau (t). Enfin j'indiquerai, quand ce ne sera pas trop long, les types correspondants du tableau O, avec la substitution, qui permet de passer du type du tableau © au type correspondant du tableau 7. C’est ici que doivent servir les formules (F).
Il sera bien entendu qu’une équation (E) sera réductible à lun des types T par une substitution y—724(x) Y, À —@(x) où À et seront données par les opérations indiquées pour chacune: pour l’équation 7 j’emploierai les lettres X, Y. Pour passer de l’équation (E) au type © il suffira d’une substitution y—=À(x)n, £—p(x) où À etpse calculent algébriquement au moyen de à, b,...,h. Comme ce calcul est extrêmement simple, je ne l’indiquerai pas et indiquerai tout simplement les opérations à faire pour passer du type © au type 1 correspondant. On remarquera d’ailleurs que si le type © ou T est intégrable, ces opérations coïncident toujours avec celles que lon doit faire pour intégrer le type @. Les lettres «, f, y, à désigneront des constantes numériques données, les lettres g,r,s,... des fonctions analytiques de la variable indépendante, X une constante arbitraire.
». Equations du premier type.
(x) HUE SE RÉ ET re nie EN ee
intégration: Y—7*, Z=0; n—Û6", (= ql +76. Connaissant deux intégrales particulières 6, et £, de [—ql'+7r£ on posera n=67(£) Y, x=? É pour passer du type © au type T. $i l'on préfère, connaissant deux és de
l'équation ©, 1, et 7, on pose n—m, (£) Y, X — V*. Ici le type (#) est Y"— 0. M
Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 27
bu y'2 5 12 (2) a AT ne 3q0 +4 —2n(g + 20°):
HEART 0) - 27 d'OÙ Le PX, — 7, 0) —e — P(U, —1x, o) + ni TR ie. RU ele p{u, — 1, 0) — - Onvpasse de O à T par n —D°(E)Y, X —0(é), ” = —q. , y'2 : n'2 ? q!
(3) Der After or NU zx)
az VA+IREK
Y—Z?, Z"= 275 + 7, fonctions elliptiques, d X — n—=Y, dX=Va(Ë)dë.
; Fe (4) pi en HER NE TZ EP EE 7 EX trans CRD IE ds ne RU ! 2 ! 2 (5) } me tt ae (20005 9%) a? , u°? B(E\Y £ eu Cod CT y - re !
(6) Fr re LE ut dr . + oi + (37 +an+p) HUE
Y=2%, Z=/Z+aZ?+4KZ—8B, fonctions elliptiques: GE EE THÉ
y'2 2 p2 (7) en meteo [ AS Le (5 , U, et w, étant deux solutions de w"— qu. 1 U: Ua H
Lie I -+2qgl — et qu’en Hi différentiant 266!— {C2 + 4q@t?—71 nous obtenons C"—4qû'+2g'€, équation linéaire du 3è"° ordre. Pour intégrer cette équation du 3°"° ordre nous remar-
On peut remarquer ici qu’en posant y—£6? on a Ê"—
28 B. Gambier.
quons qu’elle admet l'intégrale première 266"—{® +4g5°+K où K est une constante arbitraire; pour À nul on a précisément l’équation £"— 2 +2qt@ ren-
contrée au début de ce paragraphe de sorte que si #, et w, sont deux intégrales de u"—qu, (K,u, + K,u,)° satisfait à Ê—4ql+29g'È donc ui, u, et uw, uw, sont trois intégrales de £—4ql'+2q@ qui se trouve ainsi intégrée par l’intermé-
diaire d’une équation différentielle du second ordre. C’est cette remarque qui conduit aussi aisément au résultat simple indiqué pour ». Substitution de © à T:
EU EES M S =, 4 et intégrales de u'"—qu.
