CHAPITRE I

a1!2 Equations y! — —;) ; + PB(y,x)g+ C(Y v):

1. — B et C doivent être des fractions rationnelles en y n’ayant d'autre

PG 2 0%) y

pôle que y —0, done B=— où P et Q sont deux polynômes en

y. La transformation y Y — 1 montre immédiatement que P est du second degré, Q du 3%", On peut donc écrire l’équation sous la forme (a, b,... h étant analytiques en x),

IAE c y

() bi

c Surs 2 k.

ay + b +5] + dy Hey SIA

si l’on pose yŸ - 1 elle devient

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 23

(2) fe {r É : + Y' (er +b+ ÿ

| RP Ey TT 6

Ceci montre bien qu’il est inutile de considérer les valeurs négatives de l’entier n; pourtant dans la discussion il y à quelquefois avantage à laisser indéterminé le signe de n: ceci permettra par exemple de déduire immédiatement l’étude de la valeur y — 0 de l'étude de y — w: car en appliquant les résultats trouvés pour y— x à l'équation (2) on obtient les résultats relatifs à y —o pour l’équation (1). Ce n’est qu’en fin de discussion que l’on se bornera au cas de n positif. La simplifiée que l’on doit former avant l'étude de y— © s'obtient par z=%, + aX, Y = ay, substituant dans (1) et annulant ensuite «. On a[a,—a(x,),

If I f l (3) y = 5) 5 + a + d'ÿ.

Je pose y — uy”, comme j'ai dit dans l'introduction, d’où l’équation

1 —(}+rjau+a (4) os os TRS RES + 1 — (2 + x] ut + au + à — (14 À] a? + au + à,

I1 suffit de décomposer le second membre de (4) en éléments simples, ce qui est immédiat pour Ja 1° fraction, puis d'exprimer que ce second membre a l’une des formes de Brior et Bouquer: il suffit dans les expressions / données plus haut, page 2 de remplacer y par #. La discussion est extrêmement simple, en remarquant qu'ici je ne peux avoir que deux fractions au plus et que la somme

des résidus est égale à 1+——-. Si par exemple je veux avoir la 6ème forme n +I

de Ÿ je dois la réduire Le ; ne: et alors j’ai immédiatement n — 2, US CE nd

a, — 0 c’est-à-dire n — 2, a(x)—0o et de même dans les autres cas. Je donne ici

le résumé de la discussion.

2, Si n est quelconque on peut avoir l’une ou l’autre des hypothèses sui-

vantes ‘ a(x)=d(x)=0o ou dette.

Il existe trois valeurs particulières de n qui, en outre de l’une ou Pautre de ces hypothèses, peuvent donner d’autres hypothèses admissibles:

4 B. Gambier,

Pour x — 2 on peut avoir ou &(x) 0,40 où d(x)

> > Pour x — 3 on peut avoir d

Pour x» —5 on peut avoir d—5 a?.

D'après In remarque faite plus haut cette discussion sert en même temps à indiquer les relations possibles entre € et À qui sont:

ou € __o, À 0. On remarquera d’ailleurs qu'iei le cas de » —2 ne donne somme

pour x quelconque où co où À —— et pour n —=2 ou ch —=0

toute rien de distinct, pour € et », du cas de » quelconque.

3. Si l'on a ado, il faut former la seconde simplifiée en substituant d=% +aX, Y —=0cy dans (x):

| ni ds 5 PU (r | nt C0 Le (5) n | } 0 e (x) —o est une solution acceptable, sinon on pose Y'=nu Y d’oùe, Y—n{u'+u?], u"—(n—2)uu +nau. Cette équation en x donne, d'après les résultats de M. PAINLEVÉ les 3 cas: n—2, n —4, n ——4, en écartant n — +1.

Done ado entraîne eo sauf si n —2 ou si n — 4 et de même c—X =0

entraîne g 0 sauf Si n — 4.

4, Les résultats précédents conduisent à écrire 14 types et 14 seulement d'équations à étudier

y! = Ÿ Re |+oy + fu y n RE FT é (1) f ne ue MURS QUAE Ed:

(3) < LeIOUr (ra c Y = + (b + | y' + eu + fu + g—

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 25

IR . F— :] d Le DR : re ES ÿ + eg + y + g — Pe re GERS e + (ay +b)y + Lys reÿ+fy .

(6) y” nn. + (ay +b)y + . PARU TUE 0 2 :

(| URSS PoUdun te +1y

à : ! 2 h (SM E ne by + dy + eÿ + fy + q + :

Fes U' ! 2 hr (OP y 0 + ey un rue 12 2 (xo) gp + ay+ y — EN re +iyta +!

(x1) = + (ay + by +3 y Me 3y 2