ABRAHAM
Ch. Fazry.
Léon BrrTRAND.
WINTREBIRT, Duzosca.
Bonn.
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d’un corps de nombres algébriques fini.
Par OLAUDE CHABAUTY (à Paris).
Introduction.
Soit à résoudre en entiers rationnels X; l'équation (1) Norme (X,6, +. + X,0,) = +1
où les w, forment une base des entiers d’un corps de nombres algébriques X de degré n (‘)}. À une telle solution correspond une unité e = X 6, + + X,0, de X, et réciproquement les composantes d’une unité de X, par rapport à la base considérée, fournissent une solution de (1) en entiers rationnels. 1 existence et la structure des solutions nous sont donc données par le théorème de DiricHLEeT: Les unités de À forment, par rapport à la multiplication, un oroupe abélien l admettant une base minima formée de r éléments d’ordre infini et d’un élément d'ordre fini, et l’on a r=r,+7r, —1, r, désignant le nombre de corps réels, 2r, le nombre de corps complexes, parmi les n corps conjugués de X. Nous appellerons r le nombre de DIRICHLET de X.
Le résultat classique de THUE (*) sur les solutions en entiers rationnels d’une équation F(X, Y)—1 où F est une forme homogène à coefficients rationnels, peut s’ interpréter comme suit: S'il y à une infinité d'unités dans un module de dimension 2 de nombres de X, les unités contenues dans ce module sont toutes les unités d’un sous-corps quadratique réel de X, multipliées par une unité fixe de X.
Plus généralement, on peut se proposer d’étudier des conditions de possibilité à l’existence d’une infinité de solutions en entiers rationnels à l’équation (1) à laquelle on adjoint un certain nombre d'équations algébriques
(2) FUX,,, X,)=0 j=i1 2, 8h
(4) Après les expressions: « degré, ou corps conjugués d’un corps de nombres algébriques », « module », nous supposons toujours qu’il est sous-entendu «par rapport au corps À des nombres rationnels ».
() A. TauE, « Journ. für Math. », Bd. 135 (1909).
128 C. CHaBaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités
dont nous pouvons, sans restreindre la généralité du problème, supposer les coefficients rationnels. (Le cas envisagé par THUE correspond à un système (2) formé de n — 2 équations linéaires, homogènes, indépendantes, sur les X;).
On obtient facilement des conditions suffisantes assez larges, que doit remplir le système d'équations (1), (2), pour qu’il ait une infinité de solutions en entiers rationnels X,. Alors l’ensemble des unités de K qui correspondent à ces solution, a une structure assez simple: A condition de négliger peutêtre un nombre fini d’entre elles, il est constitué par la réunion des éléments d’un nombre fini de sous-groupes de [ou de classes de F par rapport à des sous-sroupes. On peut conjecturer que ces conditions suffisantes sont aussi nécessaires, et que les solutions du système ont toujours cette structure. C’est ce que confirme le résultat de THUE qui donne une condition nécessaire et suffisante à l’existence d’une infinité d'unités dans un module de dimension 2, et le résultat analogue que nous établirons dans ce travail pour certains modules de dimension 3. Mais rien de pareil n’est démontré dans des cas plus généraux, et l’on obtient des conditions nécessaires qui ne sont pas suffisantes.
Les résultats antérieurs à ce travail, autres que ceux de THUE, concernent encore le cas où (2) est un système d’équations linéaires et homogènes, En approfondissant les méthodes d’approximation diophantiennes de THUE, C. SIEGEL a montré (*) que dans un module de base 1, &, w°,..…., w°7! du corps Æ = À|œ] de degré à, il n’y à qu’un nombre fini d'unités quand s ést suffisamment petit par rapport à n (n >> 4s' — 2s* +1). En se servant d’une métrique p-adique convenable, T. SKOLEM (‘) a montré que pour un corps de degré 5 ayant 4 corps conjugués imaginaires, il n° y a qu’un nombre fini d'unités dans un module de dimension 8.
Les résultats de ce travail concernent le cas suivant: les équations du système (2) sont en général de degré quelconque, mais la variété algé-
brique W. définie dans l’espace de X,,…, X, par les équations (1)
ñ et (2) est supposée formée de composantes irréductibles de dimension s=n—7r—1,r étant toujours le nombre de DrricHLer de A. Le résultat central est le suivant:
À lout ensemble & d'une infinité d'unités de K appartenant à une variété algébrique W de dimension $s correspond au moins un sous-groupe y de l ayant les propriétés suivantes :
(5) C. SIEGEL, « Muth. Zeit. », Bd. 10 (1921). (4) T. SkoOLEM, « Math. Annal », Bd. 111 (1936).
d'un corps de nombres algébriques fini 129
1°) Il y à au moins une classe de T/y qui contient un sous-ensemble infini de 6.
29) Entre o—r+s—1 quelconques des conjugués d'une unité & appartenant à y, soient el)... ei) 7 y a une relation
(3) ego sc. eo) o — ]
les exposants my,,.…, m,. étant des entiers rationnels non tous nuls, ne dépendant que du choix des conjugués, mais non du choix de e dans Y.
Nous donnons deux types d’applications de ce théorème, en examinant la compatibilité des équations (3) avec la nature du groupe de GALOIS G de Æ, ou avec la nature de la variété W. Nous obtenons ainsi les résultats suivants :
1.9 Pour toute une catégorie de corps de nombres algébriques finis, qui contient en particulier tous les corps de degré premier, et tous les corps dont le groupe de Galois est le groupe symétrique, il ne peut y avoir une infinité d'unités appartenant à une variété algébrique de dimension <n — r — 1.
2.0 L'existence d'une infinité d'unités dans un module de nombres algébriques de base (1, «, $), où le corps K — R{x, f] a au moins 4 corps conjugués complexes, adimel une condition nécessaire el suffisante analogue à celle trouvée par THuUE pour les modules de dimension 2, à savoir que le module considéré contienne le module des nombres d'un certain sous-corps de K.
Nous en déduisons que l'inégalité
Pr Pro
où n est le degré de K = R|x, $|, toujours assujetti à avoir au moins 4 conjuqués imaginaires, n à qu un nombre fini de solutions en entiers rationnels X, Y, 2, quelle que soil la constante réelle positive c.
Le chapitre 1 est consacré à l’étude des variétés algébroïdes dans un espace où les points sont des systèmes de #7 nombres pris dans un corps p-adique algébriquement fermé. Nous démontrons principalement que ces variétés sont localement décomposables en variétés irréductibles, et que chaque élément irréductible est susceptible d’une représentation paramétrique locale de « WEBIERSTRASS », le nombre de paramètres indépendants définissant la dimension de l’ élément.
Dans le chapitre Il, nous considérons un « groupe abélien multiplicatif de points » de X”, F, de « rang » r, r <n—1, dont les points de base ont pour coordonnées des nombres algébriques. Nous supposons qu’une variété algébrique W de X* de dimension s<#%—7# contienne un ensemble
130 C. CaaBaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités
infini & d'éléments de LT. Nous étudions les relations entre W et © par l’intermédiaire de sous-variétés algébriques de W et de sous-groupes de F € minimaux » par rapport à l’ensemble &. Nous utilisons des transformations de l’espace X" (congruences) et des procédés de composition de variété (produits de variétés). Ils nous permettent de construire dans X” une variété algébrique W de dimension <s-+-r—1 contenant tous les éléments d’un sous-groupe convenablement choisi de l',. Il en résulte un théorème analogue au théorème (3.1).
Dans le chapitre IIT, nous supposons que le groupe l'est le groupe des points ayant pour coordonnées une unité de X et ses conjuguées, le théorème précédent donne alors le théorème (3.1) Nous en faisons ensuite les applications mentionnées plus haut à des équations diophantiennes particulières.
Une partie de ces résultats a été résumée dans trois notes aux « Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris » (°).
Monsieur GARNIER m'a donné de précieux conseils durant la rédaction de ce travail. Je suis heurex de l’en remercier.
