CHAPITRE I. - Séries entières à coefficients p-adiques

Corps p-adiques. — Rappelons quelques définitions et propriétés des corps p-adiques qui nous seront utiles par la suite (°).

Soit À le corps des nombres rationnels, p un nombre naturel premier. Tout nombre q de RÀ peut se mettre sous la forme q=—pq', où À est un entier rationnel, q un nombre de À égal au quotient de deux entiers de R premiers entre eux, dont aucun n’est multiple de p; p* s'appelle la participation de p à q, À l’ordre de q (pour p). On appelle valeur absolue p-adique de q, que l’on notera |g},, le nombre réel (>) auana q=+0. On pose |0|,—0. On a:

a pale =ldlr: 1% lo @ 1@:a)=2@)+ Aa.) ai + 19 = Max (| qi los | ds |) Ca + a) = Min ((a), X(a.).

Si l’on prend comme distance de deux éléments q,, q, de R, |q, — aq. ls R devient un espace métrique. Sa fermeture topologique R, s’ appelle Le corps

(5) «C. R.», t. 202, p. 2117, Juin 1936; t. 204, p. 949, Mars 1937; t. 205, p. 943, Novembre 1937. ;

(5) Pour leur démonstration, Cf. CaevarLey, « Thèse «, Paris, 1933, Sur la théorie du corps de classe, chap. V, p. 407-433, et « Jouru. of the faculty of sciences », Tokyo, 1933,

d'un corps de nombres algébriques fini 131

des nombres rationnels p-adiques. La valeur absolue p-adique définie dans À induit une valeur absolue p-adique dans 2,,.

On sait () que pour tout corps on peut former des extensions algébriquement fermées (ce. à. d. dans laquelle tout polynôme d’une variable à coefficients dans le premier corps se décompose en un produit de facteurs linéaires) qui soient algébriques sur ce corps, et de telles extensions sont équivalentes. Soit , l’une d’elle. Soit q un élément de H,, "+ ax"! +. … + 4, = 0 l'équation irréductible à coefficients dans À, à laquelle satisfait g, & l’ordre de la norme «a, de q, on démontre que la valeur absolue

: 1\” [9l» =(> est un prolongement de la valeur absolue définie dans À, et elle

satisfait encore aux relations (1) Nous appellerons À= À l’ordre de q, il satisfait aux relations (2).

Les nombres de /, d'ordre 0 sont dits entiers p-adiques. Ils forment un anneau Æ, dans },. Ceux d’ordre nul ont aussi leurs inverses dans E,; ils sont dits unités p-adiques. Ils forment un groupe abélien multiplicatif. Les entiers et les unités algébriques sont des entiers et unités p-adiques.

La valeur absolue p-adique fait du corps Æ, un espace métrique, mais il n’est plus complet, comme l'était À, (une suite de nombres de H,, convergente au sens de CAUCHY, n’a pas nécessairement une limite dans },,). Les relations (1) entrainent: |

THÉORÈME 1.1. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite a, d'éléments de H, soi convergente au sens de Cauchy, est que

lim (an 41 — an) 0.

Soit À, un sous-corps de À, qui soit une extension algébrique finie de R,. Il y a (‘) dans X, un nombre x, entier p-adique, qui n’est pas une unité p-adique et dont l’ordre est minimal. L’ordre de tout nombre de K, est un multiple de celui de x, de sorte que tout nombre de X, peut se mettre sous la forme nu, x entier rationnel, « une unité p-adique de K,,. Les seuls idéaux de l’anneau des entiers de Æ, sont les idéaux (r)”, le seul idéal premier est (x). En particulier (p) est un idéal de la forme (x). Le nombre de classes de restes de l’anneau des entiers de X, par rapport à l’idéal (x), est un nombre fini p/. Cela permet de démontrer que K, est localement compact (de toute suite infinie d’éléments bornés de K, on peut extraire une suite convergente au sens de CAUCHY).

(7) Cf. Van der WAERDEN, Moderne Algebra, Bd. 1, $ 60..

132 C. CHaBaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

On démontre aussi (‘) que Æ, peut êtra obtenu en adjoignant à A, un nombre 86, algébrique sur À, et que K, est la fermeture topologique de K = R\0] pour la valeur absolue p-adique. Donc X, est complet et les suites convergentes qu’on peut extraire d’une suite infinie d’éléments bornés de K, convergent vers un élément de X,. C’est la propriété de compacité en soi. Tout sous-corps de H, qui est une extension algébrique finie de R, est localement compact en soi.

Séries à coefficients p-adiques. — Dans la suite, nous considérerons des systèmes de n valeurs æ,,…,%,, prises dans H, comme un point d’un espace X”, produit direct de n espaces ,. La métrique p-adique definie dans Æ,, induit dans X” une topologie qu’on peut engendrer par la métrique

Dist (A,4)=>la, — &,;l,, par exemple. Nous appellerons voisinage d’un i1

point Q de X”* un domaine de X” contenant pour certaines valeurs des nombres réels positifs #7, tous les points tels que

Li — Lion Mi (à — 1 2h r)

Nous considérerons des séries de puissances entières rationnelles positives de n variables «,,…., &, l

A—= ŸY po he ie se dre CRUE

où nous supposerons que les coefficients appartiennent à une même extension algébrique finie K, de R,, de sorte que si la série converge quand on substitue aux +, des valeurs x;° de H,, elle converge vers un nombre du corps topologiquement complet X,fx,°,…., æ,°] Par définition, une fonction analytique de n variables %&,,.., æ, est la somme d’une telle série dans son domaine de convergence. S

Appelons hauteur d’un terme de la série le nombre naturel h= h, + + h,. D’après le théorème (1.1), on a: ,

THÉORÈME 1.2. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une série multiple 2 by,

h,,.., bn absolue du terme général tende vers zéro quand h croit indéfiniment. Ce théorème donne pour la convergence des séries une condition beaucoup

(h,,.., h1=0, 1, 2,.., + co) converge, est que la valeur

plus large qu’en analyse ordinaire, Aussi dès qu’une série à coefficients p-adiques est convergente, elle aura des propriétés qui en analyse ordinaire, caractérisent les séries absolument convergentes. En effet, du théorème (1.2)

ji : ; A 5 4 e d'un corps de nombres algébriques fini 133

résulte que: toute série extraite d’une série p-adique convergente À, est elle-même convergente. Soit une suite de telles séries partielles 4,. Soit h, la plus petite hauteur des termes de À figurant dans À niment avec n alors | 4, |, tend vers zéro. Donc:

THÉORÈME 1.3. — Si on somme les termes d'une série convergente par un procédé quelconque qui épuise tous les termes de la série, on obtient la même limite qu'avec le procédé qui définit la série (°).

Du théorème (1.2) résulte aussi que si une série entière à n variables est convergente pour x; —=b; elle converge uniformément pour tout le domaine [Xi <|b;l,. Si tous les b, sont 0, nous appellerons un tel domaine un

si », croit indéfi-

mn ?

cube de convergence.

Si une suite de points Q de X” tend vers le point Q, de coordonnées Lin on finit par avoir |æ&;|,—=|«;/|, pour les valeurs de l indice © telles que æ,, 0; il en résulte que si une série entière converge pour une suite de points de l’espace des variables, elle converge pour tous les points limites de la suite,

On démontre aisément ue si la somme d'une série entière est nulle dans tout un voisinage de l’origine, la série est identiquement nulle, c. a. d. tous ses coefficients sont nuls.

THÉORÈME 1.4 — Si une série entière f(x,,.…, xXn) COnverge au voisinage de l’origine, si l’on fuit le changement de coordonnées (Ki— ai + yil, ai étant un point où Î converge, et si l’on ordonne la série obtenue par rapport aux puissances des y;, on obtient une série entière va(y, ,.…, Yn) qui à même domaine de convergence que f, et même somme que f aux mêmes points. (Il n’y a donc pas de prolongement analytique).

En effet, considérons la série entière à 2n variables F{x,,.…,æx,, y,,.…., 4.) obtenue en substituant dans f, æ;, + y, à x;. Si f admet le cube de convergence |æ, |, —|p"#|,, faisons le changement de variables x, — x;/p", y: =Y;/p";. Appelons f’, +, F", les fonctions correspondantes. Comme f converge pour |x;/|,— 1, le valeur absolue p-adique de ses coefficients tend vers O0 quand la hauteur de leur indice croit indéfiniment. Comme chacun des coefficients de F" est égal à un coefficient de f” multiplié par un entier rationnel, ils ont aussi cette propriété, et Æ” admet le cube |x;|,<1,

(5) Le théorème (1.3) est valable plus généralement pour toute série d'éléments d'un espace vectoriel normé quelconque lorsque la série est commutativement convergente e. a. d. qu’elle reste convergente après un changement quelconque de l’ordre de ses termes (cf. BANACH, Opérations linéaires, p. 240). Lies séries p-adiques sont un exemple de séries qui peuvent être commutativement convergentes sans être absolument convergentes.

134 C. Cragaury: Sur les équations diophantiennes lièes aux unités

|y:ly < 1 comme cube de convergence. Puisque pour un système de valeurs a, b/, des æ,, y; en valeur absolue < 1 la valeur de f s obtient en sommant les termes de la série convergente F'(a,'; b;) suivant une loi qui les épuise tous, il résulte du théorème (1.3) que f'(a; + 0b;) = F'{a;'; b;). Mais le même théorème montre que w,(b/) converge alors vers la même valeur. Donc, dans tout domaine où f converge, ? converge vers la même valeur, et réciproquement puisque f et + jouent un rôle symétrique.

On déduit facilement du théorème (1.4):

THÉORÈME 1.5. — Si une série entière est identiquement nulle, dans tout un voisinage d'un point du domaine de convergence, elle est identiquement nulle.

REMARQUE. — Ayant défini comme en analyse ordinaire, les dérivées partielles d’un polynôme en x,,.., *«, par rapport aux différentes variables, et celles d’une série entière f{æ,,…, æ,) comme obtenues par la dérivation terme à terme, on voit facilement que si f converge dans le cube |x,|,—=|a;|, ses dérivées convergent aussi dans le même cube. On a donc l’ interprétation des coefficients du développement de f, et du développement de ®,(y,,…., y,) = = f(a, +Y,,…, @, + %,) par les formules de MAc-LAURIN et TAYLOR

1 of of |” Pa Fe dent y, ne nil x, Tee+y, 0x, | :

On démontre de même à l’aide du théorème (1.2) l’analyticité d’une fonction analytique de fonctions analytiques:

THÉORÉME 1.6. — Soient À une série entière de n variables x,,…., xXa, convergente dans un voisinage D de x, =... — x1 —0; B,,…., B,; des séries entières de m variables, y,,.…., Ym Convergentes dans un voisinage D' de y, =... = Ym = 0, nulles pour y..." y = OMS VhousS re fecluons dans PANI substitution x; = Bi, i—1, 2,.., n, on obtient une série entière A’ en yi qui converge pour tous les systèmes de valeurs des y; de D’ qui donnent des systèmes de valeurs des x appartenant à D.

Et le théorème:

THÉORÈME 1.7. — Soient AÀ,,…., A, des séries entières de n variables Xi, Xn, CONvergentes dans un voisinage de x, =. — x: = 0, telles que la EN : A; matrice à r lignes et n colonnes El soit. de rang T POULE EN == 0; “3 Soient B,,…., BA, n séries entières de n variables y,,…, ya, convergentes au voisinage de Y,—=.….—Yn—0, telles que la matrice à n lignes el n co: 0B: :

lonnes | | soit de rang n pour y, —=.….—=Yyn = 0. Effectuons dans les À la

d'un corps de nombres algébriques fini 135

substitution x; = Bi, i = 1, 2, , n, les À deviennent des fonctions des y telles

MR ALES A; que la matrice à x lignes el n colonnes | . | soit de rang T pour Y,—=.…. —ÿn =. C2 Idéaux de séries entières convergentes. — Considérons toutes les séries

entières de # variables æ,,.…., æ, à coefficients dans Z7,

= 1 L FI A OR PR LE RSR = 7 Pro

nm »

satisfaisant aux conditions suivantes: chacune d’elles est convergente dans un voisinage de l’origine et ses coefficients sont dans une même extension algébrique finie de R,. Elles forment un anneau d’intégrité U,.

Pour l’anneau analogue dans les séries dont les coefficients sont des nombres complexes ordinaires, il y a des théorèmes classiques renseignant sur la structure des idéaux et des variétés des zéros de ces idéaux. Les mêmes problèmes se posent pour U,. Nous y trouverons des réponses analogues, principalement: le résultat que pour la variété des zéros d’un idéal premier, il y a une représentation paramétrique de « WEIERSTRASS ». Pour les obtenir, nous démontrerons entre éléments de U, une identité connue dans le cas classique sous le nom de formule de WEIERSTRASS. Nous référerons pour le détail des démonstrations de ses conséquences à un mémoire de W. RUCKERT (‘)}, (mémoire désigné dans la suite par W. R.), car elles en sont déduites par des procédés purement algébriques, valables encore dans le cas que nous considérons.

Donnons quelques définitions préalables. Un élément de U, sera dit unité quand il existe un élément B de U, tel que AB—1. Alors, on a nécessai-

(oe) rement A4(0,., 0) +0. L'identité (1— a) ‘= È a” et une majoration facile n=0

permettent de démontrer que cette condition est suffisante pour que À soit une unité. Deux éléments 4, B de U, seront dits équivalents S'il existe une unité C de U, telle que 4 = BC. à

Si A(0,.., 0, x,) +0, À sera dit régulier en x, de degrés, s étant la plus petite puissance de x, à coefficient non nul dans A4(0,.., 0, x,j Par un

changement de coordonnées, portant seulement sur %,,..,%,,, on peut toujours amener un élément À à être régulier en x, Si À est un polynôme en *«,, à coefficients non unités de U,, (anneau

analogue à U, pour les séries entières en &,,.., &,,), à l'exception du terme

(@) W. Rucxerr, « Math. Annal, », Bd. 107 (1932), p. 259-281.

136 C. CHagaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

de plus haut degré x, dont le coefficient est 1, À est dit un polynôme dislingué en x, de degré s.

Démontrons alors la :

FORMULE DE WEIERSTRASS. — Soi F un élément de U,, régulier en x: de degré s, à lout élément À de U, correspondent les éléments B et C de U;. C étant en x, un polynome de degré <$S —1, tels que l’on ail identiquement A—FB+cC. | | Lily ||, suffisamment petit pour que A et F y convergent tous deux. Par un changement de variables mi =

Prenons un voisinage de zéro

i=1,…,n, À et F donnent deux séries que nous continuons à appeler À et F, convergentes pour |x;/|,—1, dont les coefficients ont une valeur absolue p-adique qui tend vers zéro avec l’inverse de la hauteur de leur

indice. Par une changement de variables Tu = avec |°|, suffisamment

petit, nous obtenons que le coefficient de x,° dans F soit le plus grand de

ces coefficients des pures puissances de #,, et en faisant ensuite =

- 8 (S {—1,.., n— 1), avec |X”|, assez petit, nous obtenons que ce coefficient soit le plus grand. de tous les coefficients dans 7.

Dans le corps K, algébrique fini sur À,, qui contient les coefficients de F et À on peut trouver un nombre x tel que tout nombre a du corps, se mette sous la forme @— ne, e étant une unité p-adique du corps, c'est-à-dire un nombre d’ordre zéro. Comme les coefficients de F et G tendent vers zéro quand la hauteur de leur indice croit indéfiniment, il n’y en à qu’un nombre fini de même ordre, on peut done écrire:

A = n'(g, + ng, +. + 729, +.)

les g; étant des polynômes en æ,,…., x, à coefficients unités de Æ,, de même pour F, avec cette remarque que f, se réduit à e,x,°

F= ne, + nf, + mp, +

Nous pouvons supposer h=h=0, e, = 1, car nous ne considérons pas comme différents deux éléments de U, dont le quotient est une constante. Considérons des éléments de U,, B, C:

eo 00 1) nb, CS n1c, q=—0 q=—0 N

b, et c, étant des éléments de U, à déterminer, L'identité À = FB + C est

d'un corps de nombres algébriques fini 137

équivalente au système de l’infinité de congruences 4 = FB + C (mod. x!) (= 1, 2, à l'infini) Ce système est satisfait s’il en est de même pour le système d’une infinité d’égalités:

(q) Ga = 2, 04 + f0g, + + [005 + Co

obtenu en égalant les coefficients des différentes puissances de x.

Supposons qu’on ait pu, pour q — 0, 1,..…., h — 1, déterminer des éléments de U,, b,, c,, qui satisfassent aux égalités d’indices (0), (1),.…., (k — 1), et qui soient des polynômes en &,,…, &,, à Coefficients d'ordre 0, les c, de degré < s — 1 en x,. Alors, posant d, — a, —«,°b, — … — f,b,, d, est encore un polynome en &,,.…., æ, à coefficients d'ordre 0. La relation (q) s écrit, pour q = h:

(b) ds =," 0x +0:

d, est connu. Si on prend pour b,, c,, respectivement le quotient et le reste de la division de d, suivant les puissances décroissantes de x, par #,’, l'égalité (h) est satisfaite et b, et c, sont des polynomes en %,,.., x, à coefficients d'ordre 0, c, étant de degré < s — 1 en x,. Nous formons donc ainsi par récurrence tous les polynômes b,, c,.

le coefficient

Dans 2 x‘, développé suivant les monômes en æ,..…., x,,

du monôme x," … x," est égal à À Enr 9 nT,€,,..r,;,q étant le coef- 7 q= }

ficient de æ," … æ,". dans b,, coefficient qui est d'ordre 0, le terme oénéral de cette série tend vers O0 et c’est toujours un nombre de X,, cette série converge . vers une limite b,,.,, de K, d'ordre 0, donc BESSAEMN. nr

Rs appartiennent à Æ,. B est donc un élément de U,. De même C, qui en outre, est un polynome en x, de degré <s—1. Et ils satisfont bien à l'identité À — FB +4- CO. On a donc trouvé les éléments cherchés.

APPLICATIONS. — Prenons 4A—x,. À F correspond un élément B tel que FB— A —C soit un polynome en «x, à coefficient dans U,,, dont le terme de degré la plus élevé est x. On montre facilement que B est une unité de U,, que A—C est un polynome distingué en *, et qu'il est uniquement déterminé (Cf. W. R., p. 262). On a donc le

LEeMMEe DE WEIERSTRASS (!°). — Tout élément de U,, régulier en x,, de

x,".…æ,"n Converge pour |æ;},—1 et tous ses coefficients

{() Voir pour une démonstration directe Th. SKOLEM, « Math. Ann. », 111, 1936, p. 399. Mais le lemme de WEIeRsTRASS ne nous suffirait pas pour obtenir la représentation paramétrique dont nous avons besoin pour des variétés algébroïdes.

138 C. CxaABaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

degré s, est équivalent à un polynôme distingué de degré S en xn, uniquement

déterminé.

Comme cas particulier pour les éléments de degré 1 en *,, on a le: THÉORÈME DE L'INVERSION. — À étant un élément de U, tel que A —0

“ + 0, à l’origine, l'équation A —0 définit x\ comme fonction analytique Xn |

des te auvvoisinagé de LAN = 0)

Par récurrence, on obtient le théorème analogue pour les fonctions implicites de plusieurs variables.

THÉORÈME GÉNÉRAL DE L'INVERSION. — Soient F,,…., F,, h fonctions analytiques des h + m variables u,,.…., Un, X,,.…, Xm, Wulles quand les u et les x sont nuls, convergentes au voisinage de ce système de valeurs, et telles DE, 4085) Du) el les u sont nuls. Alors les équations F, —0,., F1 —0 définissent les u comme fonctions analyliques des x, nulles pour les x nuls, et convergentes dans un voisinage de ce système de valeurs des x.

que le déterminant fonctionnel soit différent de zéro quand les x

Variétés algébroïdes. — Appelons variété algébroïde en 0 (x, =...—%x, =) l’ensemble des points de l’espace X”* qui sont des zéros communs à un système d'éléments de U,.

La formule de WEIERSTRASS permet, par récurrence, sur le nombre des variables, de démontrer la propriété triviale dans U, — H, qui est un corps, que dans U, tout idéal a une base finie (CF. W. R., p. 264) et par conséquent pent se représenter Comme intersection d’un nombre fini d’idéaux primaires. À chaque idéal primaire est attaché un idéal premier (qui possède la même variété de zéros). La condition nécessaire et suffisante pour qu’une variété algébroïde soit érréductible (e’est-à-dire qu’elle ne puisse être représentée comme la-somme de deux variétés algébroïdes en O0 dont aucune ne contient l’autre) est que son idéal propre (c’est-à-dire l'idéal de tous les éléments de 4 $’annulant sur tout un voisinage de 0 de la variété) soit premier. Il en résulte:

THÉORÈME 1.8. — Une variété algébroïde en O0 est décomposable dans un voisinage de 0, en un nombre fini de variétés algébroïdes en 0, irréductibles.

Soit alors $ un idéal premier de U,, IL, le corps quotient de l’anneau de classes de restes U,/8. On trouve (Cf. W. R., p. 266-269), qu'après, au besoin, une substitution linéaire et homogène non singulière sur les variables, il y a Æ des variables, soient +, ,…, æ,, telles qu’on ait l’ isomorphie II, © A,, À; étant le corps quotient de U,, w un élément algébrique sur U, satisfaisant

d'un corps de nombres algébriques fini 139

Lors = —

à une équation irréductible dans U,, g(o) = vw + g,o-!+...+g,—0, où les g; sont des éléments non unités de U,. On en déduit (Cf. W. R., p. 275-280):

THÉORÈME 1.9. — Une variété de X*, algébroïde en 0, irréductible, admet au voisinage de O une représentation paramétrique « de WEIERSTRASS »

Ph(t,,…, %n, 0) DE 0%)

(5) Lrtn —

ass les P, étant des polynômes de degré s — 1 en ©, à coefficients éléments de Ux, w satisfaisant à une équation irréductible g{w) = © + g,@S! +... + gp, =0 où les w; sont des éléments de UX nuls à l'origine, D étant le discriminant de l'équation g(w) = 0.

Tout syslème de valeurs x,,…, xk de H, suffisamment petites, telles que D(x,,.…., xx) +0, donne par ces formules s points de la variélé voisin de l’origine, et tout point de la variété suffisamment voisin de l’origine, tel que D(x,,.…., xx) Æ 0, est ainsi obtenu.

Les points de la variété tels que D(x,,…, æ;) 0 seront appelés points réguliers de la variété. Sil n’y a que des points réguliers (s — 1) la variété algébroïde sera dite réguliere.

L’ ensemble des points qui fournit une représentation paramétrique, telle que (3), sera appelé un élément de WErERSTRASS. Le théorème (1.9) peut s’ énoncer ainsi: les points d’une variété V, algébroïde en 0, irréductible forment, au voisinage de 0, un élément de WEIERSTRASS, à condition de négliger au besoin les points d'une vraie sous-variété. algébroïde de V. Le nombre % est dit la dimension de l’élément. C’est aussi par définition la dimension de la variété algébroïde irréductible V car on démontre (Cf. W. R., p. 274) qu’il ne dépend pas de la façon dont on a choisi les variables æ,,..., æ,. On montre aussi que les composants irréductibles d’une vraie sous-variétè algébroïde de V ont des dimensions < #.

Démontrons maintenant quelques conséquences du théorème (1.9) qui nous seront utiles pour la suite. Les points de la variété V, tels que D(x, ,…., «,) = 0 sont les zéros de l’idéal ($, D). En leur appliquant le théorème (1.9), on obtient finalement:

THÉORÈME 1.10. — On obtient tous les points appartenant à un voisinage de l’origine suffisamment petit d’une variélé algébroïde, en 0, irréductible, en réunissant un nombre fini d'éléments de WEIERSTRASS.

Parmi ceux-ci l’élément de WEIERSTRASS qui donne les points réguliers de V sera appelé l’élément de WEIERSTRASS principal.

Les éléments de WEIERSTRASS de dimension zéro fournissent un nombre fini de points. Il en résulte:

| à j 4 4 . J u . 4) } 140 C. CHaBaurv: Sur les équations diophantiennes liées aux unilés

THéorèME 1.11. — Si deux variétés algébroïdes en 0, ont en commun une infinilé de points convergents en 0, elles ont en commun au moins un élément de WEIERSTRASS de dimension au moins 1, qui contient une infinité de ces points.

Nous appellerons élément paramétrique de centre O0 l’ensemble des points

PR Te | Poe

où les j; étant des fonctions analytiques définies au voisinage de 4, =... —t{, —0 et nulles pour ce système de valeurs.

Soit F l’idéal des éléments de U, qui s’annulent sur tous ces points. On démontre facilement que cet idéal est premier. La variété algébroïde des zéros de l’idéal F sera dite la variété algébroide de l’ élément. Elle contient tous les points de l’élément paramétrique, mais par contre, celui-ci n’en représente pas nécessairement tous les points voisins de O quand on donne aux {; des valeurs voisines de 0,

Si la matrice fonctionnelle El | est de rang s en 0, donc au voisinage #1}

de 0, nous dirons que l'élément paramétrique est régulier de dimension s; en effet le théorème de l’inversion permet facilement de montrer que la variété algébroïde de l’élément est régulière en 0 et de dimension s et que dans ce cas, l’élément paramétrique donne toute sa variété algébroïde au voisinage de 0. ,

Si la matrice fonctionnelle L

al est « en général » de rang s au voisinage

de 0, mais non au point O même, la variété algébroïde de l’ élément n’est plus nécessairement régulière en 0. On voit immédiatement qu’elle est de dimension = s. On peut montrer, qu’en fait, elle est exactement s.

En faisant un changement de coordonnées convenable et en utilisant encore le théorème de l’inversion, on voit aussi que si J est un élément de WEIERSTRASS de dimension #, À un point de J, le voisinage de À sur J est un élément régulier de dimension k.

Nous démontrerons d'autre part:

THéorèME 1.12. — Soit V une variélé irréductible algébroïde en 0; soit A un point régulier de l’élément de WEIERSTRASS principal de V. Si tout un voisinage de À est contenu dans une variélé algébrique W, alors W contient toute la variété V au voisinage de 0.

P(&,,.…., æ; &) DES NE ERSTRASS de V, valable dans le domaine |x,|,,..,|æx,|,<m pour les

Soit &r y — (h —1,2,..,n—k) la représentation de WEI-

d'un corps de nombres algébriques fini 14i

points réguliers D(x,,…, æ;) 0. Soit Q({x,,…, «x,)==0 l’une des équations algébriques qui définissent W; Q,(x,,…, æ,; ©) le résultat de la substitution aux-X},, de lours valeurs en fonction de. x,,…., æ%:, w; Q,(x,,….,æx,) — = Norme (Q, (x,,…., æ,; w}). le produit des expressions obtenues en remplaçant w par ses conjugués dans Q,; Q, est un élément de U, qui converge dans tout le domaine |æ,|,,.., [æ,|,<m. Si a,,…, a, sont les coordonnées du point régulier À de l'énoncé (|a,|,,…, |a:|, <m), Q, est nul pour tout le voisinage du système de valeurs &,,…, &,, done (théorème 1.5) Q, est identiquement nul. Pour tout système de valeurs æ%,,….,%, en valeur absolue p-adique <m, il y a done un des s points correspondants sur V (s degré de l’équation de w) qui est sur la variété algébroïde (Q) d’équation Q — 0, (Q) contient donc l’origine. Si (Q) ne contient pas V, comme V est irréductible, son intersection avec V se compose d’un nombre fini d'éléments de dimensions #— 1 dont la projection sur l’espace des x,,.…., æ, ne peut recouvrir tout un voisinage de l’origine de cet espace à kÆ dimensions. (Q) contient donc V tout entier. En appliquant ce résultat aux éléments d’une base de V, on obtient done le résultat à démontrer, REMARQUE. — Si on remplace le polynome en %x,,..., x, par un élément quelconque s de UÙ

la démonstration demeure encore valide. Done on pourrait remplacer dans l’ énoncé (1.12) les mots variété algébrique par variété algébroïde en 0. D’autre part, il en résulte que si un élément de U, n’est pas identiquement nul sur V, tout point de V pour lequel il est nul est limite des points pour lesquels il n’est pas nul. Si on applique ce résultat au discriminant de l’équation de w on voit que tout point de V qui n’est pas régulier pour une représentation de Weierstrass donnée, est limite de points réguliers. Naus mentionnons seulement ces propriétés que nous n’aurons pas à utiliser.

Fonctions exponentielles et logarithmes p-adiques. — Il est bien connu qu’on peut définir dans Æ, des fonctions analogues aux fonctions exponentielles et logarithmiques de l’analyse classique. Considérons la série:

2 an

x ; 0 eut en Les PO RTS ibn De A n :

p’ désignant la plus haute puissance de p ne dépassant pas n, on a

à ] n p’ —1 —+.+Els— p p'hPP ee]

ordre (n!) — A SE

18 1 1 ordre FE) Zn (ordre (x) De ne À nl :

A \ 1 ; ; 1 sn si 142 CO. Cnapaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

La série est donc convergente si ordre (x) pie et elle représente alors

une fonction analytique de æ que nous désignerons par Exp (x). On vérifie par un calcul formel, valable quand les Exp x,, Exp x, convergent, que Exp (x, + æ,)— Exp (x,)-Exp (x.).

Considérons la série

ë Au Sache FR A)

On’ a:

Ordre F) = n-ordre (ê) — ordre (n).

La série converge done si ordre (5) >0, c’est-à-dire si & est un entier p-adique qui n’est pas une unité p-adique. Elle représente alors une fonction analytique de x que nous désignerons par Log (1 + Ë).

Pour y, et y, suffisamment voisins de 1, Log y,, Log y, et Log y,y, sont définis et on vérifie par un calcul formel Log (y, -y,) = Log y, + Log y,.

Pour æ suffisamment petit Log (Expx) est défini et on vérifie formellement que sa valeur est x. De même pour y suffisamment voisin de 1, Exp (Log y) est définie et sa valeur est y. Les fonctions Expx et Log y sont des fonctions inverses.

Soit a un nombre tel que Log a existe. La fonction Exp (x Log a) est une fonction analytique convergente pour x suffisamment voisin de zéro, et

Exp (x, + x,) Log a — Exp (+, Log a)-Exp (x, Log a).

ù 1 ; Si ordre (Log Ha set alors Exp (x Log a) converge pour tout x entier

p-adique, en particulier pour tout x entier rationnel. On voit que cette fonction coïncide, pour æ— q entier rationnel, avec a « à la puissance g », les puissances entières rationnelles étant définies à partir de la multiplication et de l’inversion comme d’habitude. Pour abréger, nous la désignerons par a%.

Les nombres pour lesquels a” existe et converge pour tout y entier p-adique, sont des unités p-adiques suffisamment voisines de 1. Nous les :appellerons unilés p-adiques distinguées.

THÉORÈME 1.13. — Si K, est une extension algébrique finie de R,, ü y a un nombre naturel m tel que pour toute unilé p-adique e de K,, e" soit une unilé p-adique distinguée.

d'un corps de nombres algébriques fini 143

Soit n le degré de K, sur 2,, alors on peut trouver n entiers p-adiques de X, tels que tout entier p-adique de X, soit de la forme

XD, +. + X,0

les x; étant des entiers de R,. Chacun des x; peut être mis sous la

Done 2 qe les a; étant pris parmi p entiers rationnels incongrus (mod p). i—=

Donc, Ex, désignant l'anneau des entiers p-adiques de X,, h étant un nombre naturel quelconque, le nombre (O{h) de classes de restesgde Æx, modulo l'idéal principal (p"), est fini.

Pour tout élément e& de Æx,. premier à p, donc unité p=adique, on a

EU = 1(p?) CL Le Te EE avec ordre (n) =,

: : ; 1 il nous suffira donc de prendre h > F7 Pour que la valeur correspondante PE

de C(h) — 1 donne le nombre m cherché.