DES
qui est rationnellement irréductible puisque # est premier.
Le facteur @, + … + a, est +0 par hypothèse, supposons que le facteur QG, A- QE, + + a, ET! par exemple soit nul. On a aussi 1 4-E, 4... +- EG, et comme les a, sont des nombres rationnels non tous nuls, et non tous égaux, on tirerait de ces deux relations une équation à coefficients rationnels de degré n — 1 pour &,, ce qui est impossible. À est donc +0, on arrive à une contradiction.
On a donc le résultat suivant:
THÉORÈME 3.3. — Les résultats du théorème 3.2 s'appliquent en particulier à tous les corps pour lesquels le groupe G est le groupe symétrique, et à tous Les corps de degré n premier.
Par. exemple,’ posons ‘0 —=.2"h,; alors “pour: K=) n=29; rer
2r, — 28, r —=14, n—7r—15. Il n’y a donc qu’un nombre fini de solutions en entiers rationnels X,; à l’équation
Norme (X, + X,0 +... + X,,0"#)=ÆH 1.
Deuxième application. — Sans faire d'hypothèse sur le groupe de Galois de ÆX, nous étudions maintenant une infinité d'unités de X appartenant à un sous-module du module de dimension # par rapport au corps des rationnels, que forment les nombres du corps X.
Pour étudier les unités appartenant à un module de nombres algébriques, on peut évidemment supposer que la base du module a été amenée à la forme 1, &,,.., &«,, par division par une des unités contenues dans le module initial.
Soit K = fa, ,…, a;| le corps obtenu en adjoignant &,,…., «au corps À des rationnels. Soit # son degré. Représentons tout nombre de X comme d'habitude par le point ayant pour coordonnées ce nombre et ses conjugués. Les points du module sont sur la variété linéaire L de dimension
(L) Bi = À, + XP EE Xe 2 Um
dans laquelle les X,,.., X,, forment un système de coordonnées cartésiennes. Les unités sont sur l’une des variétés
(N) D EN TES ES | (N') Pi yrus CE
L'intersection d'au moins l’une d'elles, soit N, avec ZL contient une infinité
d’un corps de nombres algébriques fini 161
d'unités de X. Cette pe W a pour équation en X;
(W) IL (X, + Ka) RAI ART TN
Cette équation ne peut être une identité en X;, car une telle identité entrainerait la proportionnalité d’au moins deux facteurs du produit. Soit
A Re D ee UN a dre Us 000)
il en résulterait al = au ARCS Q) ÿ
ce qui est en contradiction avec le fait que À a été défini comme égal à Rx, ,…, a»] W est donc une sous-variété algébrique de Z dont les composantes irréductibles sont de dimension # — 1. (On pourrait démontrer facilement qu'elle est en fait irréductible).
Supposons que, r étant toujours le nombre de DiriCHLET de XK, on ait h—1<n—7r, alors il résulte du théorème (3.1) qu’il y a un sous-groupe y du groupe des unités de X, dont les coordonnées satisfont à une relation
les N étant des entiers rationnels non tous nuls. En la combinant à la relation à laquelle satisfont les coordonnées de toutes les unités considérées:
tes Dee on peut toujours obtenir une relation homogène
di q
M Nbr er (q, + + q, = 0) où les g, sont des entiers rationnels non tous nuls, à laquelle satisfont les coordonnées de tous les éléments de y. D’autre part, nous savons aussi qu’il y à au moins une classe de [jy qui contient une infinité des unités situées sur W. Soit €, un représentant de cette classe. Posons
di V4 cel) 4"
il y a donc une infinité des unités situées sur W qui sont aussi sur la
sous-variété C de L d’équation
(C) Il (X LE X af) +. +- Xe ua np
Comme pour l'équation de W, on démontre que celle-ci ne peut être une
162 C. Cragaury: Sur les équations diophantiennes lièes aux unités
identité en X,. Comme g 1-… +-q, —0 elle représente un cône dans L. W n'étant pas un cône ne peut avoir en commun:avec C que des variétés de dimension —— 2 en nombre fini. On a donc le théorème:
THÉORÈME 3.4. — Soit M un module d'entiers algébriques de dimension h, de. base (1, «,,…., an). Soient n le degré, r le nombre de DIRIOHLET du corps K—R{x,,…., an,]. À fout ensemble infini & d'unités de K situées sur M correspond un sous-ensemble infini &' de & dont les éléments sont sur une variété de dimension h — 2.
Appliquons ce résultat à un module de dimension 2: comme une variété algébrique de dimension zéro se, reduit à un nombre fini de points, il ne peut exister d'ensemble infini &. D’autre part, la condition r < n — 2 peut se mettre sous la forme: le corps Æ n’a pas tous ses conjugués réels. On à donc: s
THÉORÈME 3.5. — K— R{x] étant un corps de nombres. algébriques de degré n, dont les corps conjugués ne sont pas tous réels, il ne peut y avoir qu'un nombre fini d'unités du corps dans le module de base 11 œ).
On en deduit facilement: f(t) éfant une équation algébrique de degré n à coefficients rationnels, qui est rationnellement irréductible et dont les racines ne sont pas toutes réelles, l’équation
FX Ÿ)= 11 où FX, Yl= EE n'a qu'un nombre fini de solutions en entiers rationnels X, Y.
C’est le résultat de THUE, restreint au cas où l équation f({) n’a as toutes ses racines réelles; il est obtenu indépendamment de l'étude de lapproximation des nombres algébriques par les nombres rationnels. Le travail de M. SKoLEM cité dans l’introduction donnait déjà ce résultat.
Le théorème (3.4) appliqué au cas d’un module de dimension 3, nous montre que sir <#
3, et si & désigne l’ensemble d’une infinité d’unités contenues dans le module, & admet un sous-ensemble infini &’ dont les éléments appartiennent à une courbe algébrique. En utilisant alors un résultat de M. SIEGEL sur les courbes algébriques contenant une infinité de points dont les coordonnées sont des entiers rationnels ou des entiers d’un même corps algébrique fini, nous pouvons démontrer un résultat plus précis. Ce résultat, à l'encontre des précédents, n’est plus indépendant des travaux sur l’approximation des nombres algébriques, puisque le théorème de M. SIEGEL qu’on utilise, tire de là son origine.
LEMME 5.6. — Soient K un corps algébrique de degré n et (o,,…., üi) une base des entiers de ce corps. Soit (N) la variété Norme (X,w, +. + Xntn) = 1,
d'un corps de nombres algébriques fini 163
Supposons qu'une courbe algébrique irréductible © contienne une infinité de points à coordonnées X,,.…, X, entières rationnelles, de (N), alors K doit contenir un Sous-corps quadratique réel k et les points entiers de C correspondent à des unités de K qui forment une classe de restes du groupe des unités de K par rapport au sous-groupe des unités à norme positive de K.
Le même résultat subsiste si on substitue à N la variété (N')
Norme (X,w, +. + X,w,) = — 1.
La courbe C contenant une infinité de points entiers, admet ('*) une représentation paramétrique des X; par des polynômes en { et {—", done
ED ORNE RC ES CAT LE FA) - G= 1, 2,.,n)
On a æ,.….x, — 1, done x, — jf”, les À; désignant des constantes et les #,;
2 | des entiers rationnels avec Ÿ m, —0. Soient «x, —e ® les coordonnées d’un ÿ t t 0
QT point entier fixe de ©, x, —e% celles d’un point entier quelconque de C, | e® les €, e%, sont des unités de Æ et leurs conjugués. Posons w; = —; €
U,…, U,, Sont les conjugués d’une même unité de ÆX; on a pour f—1,..,n; DTA . WT= UT.
Soit T,, la transformation du groupe de GaLois de X qui transforme en 4,; cette transformation est permutable avec l'élévation à une puissance entière rationnelle. On à donc
ur” = T ra Uf ons) mn, T° mp) uÿ = Trust = Tigu}
et plus généralement
Soit Q l’ordre de 7,,: donnons à q la valeur Q. Il vient 1 () PAS
Comme il y a une infinité d'unités e donc d’unités « différentes, elles ne
(43) C.-L. SIeGEL, « Abh. Preuss. Akad. Wiss. », n. 1, 1929, p. 45.
à : 2 j j js 5e f è rss ds 164 C. OnapaurY: Sur les équations diophantiennes liées aux unités
peuvent toutes être des racines de, l’unité, donc m? — M}, et comme #7, M,
sont des entiers rationnels, Q un nombre naturel, on a m,—=æ+m,. Les exposants %, ne sont donc susceptibles que de deux valeurs au plus Æ», done w,, —t{:", Les unités w ont donc au plus deux conjugués distincts ; donc elles sont rationnelles ou quadratiques. Comme il y a une infinité de ces unités distinctes, ce sont des unités de corps quadratiques réel.
Il y a un nombre fini de sous-corps quadratiques réels de Æ, il y en a done un, soit # qui contient une infinité des unités #. La courbe C' d’équation æ,— +{," a donc une infinité de points communs avec l’hyperbole qui porte les unités à norme positive de #, ou avec l’hyperbole Æ” qui porte les unités à norme négative de k. Elle est donc confondue avec H ou H”. Dans les deux cas, on voit que C correspond à 77 dans l’une des transfor-
mations X, = x, (i — 1, 2,.., n). Le résultat subsisterait si on était parti d’une courbe C située sur N’. La propriété énoncée dans le lemme en résulte immédiatement.
THÉORÈME 3.7. — Soil un module M, de nombres algébriques de base (1, x, B).
Supposons que le corps K— Rx, $] ait au moins deux paires de corps conjugués imaginaires. La condition nécessaire el suffisante pour qu'il y ait une infinité d'unités de K appartenant à M.,, est que M, contienne deux
nombres ©, 4, dont le quotient soit un nombre quadratique réel 0 — qe æ étant
une unité de K. Soit e l’unilé fondamentale du sous-corps k = R[8] de K, toutes les unités ge" (n, entier rationnel) appartiennent à M, et toutes les unilés contenues dans M, à un nombre fini d'exceptions près, sont données par cette formule.
K ayant au moins deux paires de conjugués imaginaires, son nombre de DIRICHLET satisfait à l’inégalité r nn —3. On peut done appliquer le théorème 3.4.
De tout ensemble infini des unités de X appartenant au module, on peut extraire un sous-ensemble infini dont les éléments sont situés sur une courbe algébrique. Cette courbe doit être, en vertu du lemme précédent, la transformée d’une hyperbole portant les unités à norme positive d’un sous-corps quadratique réel k— R[0] de X, par une transformation (x;--v9%x,) © étant une unité fixe de X. Le module W, contient done le module de base (y, 4) transformé du module des nombres de 4. Il contient donc toutes les unités données par la formule ge”, e étant l’unité fondamentale de 4, et n un entier rationnel quelconque. Si les unités de M, ne sont pas, à un nombre fini d’exceptions près, données par cette formule, le raisonnement précédent montre que M, contient encore un autre module de base (y, #8’), #’ étant aussi
d'un corps de nombres algébriques fini 165
un nombre quadratique réel, appartenant à Æ. Mais ceci est impossible. En effet, +, 0, +, #0", formeraient une base (surabondante) de M, . Ils ne seraient
pas rationnellement indépendants ; = serait le quotient de deux nombres fe
quadratiques réels, done un nombre totalement réel. Le module M, de base NN Re ve
Re ne contiendrait que des nombres totalement réels. Comme M,
: ; 1 : Pr.
contient le nombre 1, M, contiendrait le nombre -, qui serait donc tota- Ls
lement réel: +, et par conséquent +, auraient aussi cette propriété, et M, serait composé de nombres totalement réels, ce qui est contraire aux hypothèses. Le théorème est done démontré.
Remarquons que si le degré de X est impair, À ne peut avoir de souscorps quadratique. Il ne peut y avoir qu’un nombre fini-d’unités dans M.. Si en particulier X est de degré 5, nous obtenons le résultat de M. SKOLEM, cité dans l’introduction. C’est aussi d’ailleurs un cas particulier du théorème (3.3) puisque 5 est un nombre premier.
Nous allons maintenant déduire du résultat précédent un théorème sur l’approximation de O par des formes linéaires et homogènes à trois variables à coefficients algébriques, pour des valeurs entières rationnelles des variables. Considérons une telle forme, nous pouvons sans restreindre la généralité, l'écrire X +- Ya Z$, à et $ étant des entiers algébriques. Soit x le degré de K— Ra, B] Posons H—|]X|+]|Y|+17Z]| (la valeur absolue étant la valeur absolue ordinaire). Comme Norme {X +- Ya + Z8), pour X, Y, Z entiers rationnels quelconques, est nécessairement un entier rationnel, il est trivial
qu’il y a une-constante positive c, telle que | X + Ya + ZR|> Frs quels que soient X, Ÿ, Z entiers rationnels. Nous allons démontrer le résultat plus précis suivant: THÉORÈME 3.8. — Si le corps K — Ra, f] de degré n a au moins deux paires de corps conjugués imaginaires, l'inégalité
IX + Ya-ZB|< où (H—=|X|+1+|Y|+17Z|)
Ha
n'a qu'un nombre fini de solutions en entiers rationnels X, Y, Z, quelle que soit la constante positive c.
Posons A max (NS PRG) BAR EQEPAETT GR)
4 a / 4 . 4 Û s 41 / 166 C. CHagaurv: Sur les équations diophantiennes lièes aux unités
Supposons que l’inégalité ait une infinité de solutionssen entiers rationnels X, Y, Z. Soient y—=X+ Ya + ZB les entiers: de: X:.correspondant à ces solutions. On à .
Norme @ —(X + Ya + Z8) IL (X + Ya® + 78%) i—2 | :
donc | Norme p|< He ANR .
Ainsi les nombres | Norme y| étant des entiers rationnels bornés, ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeurs. Les idéaux principaux (+) ne représentent qu’un nombre fini d’idéaux distincts. Il y a au moins un de ces idéaux qui est identique à l’idéal principal d’une infinité de nombres #,
SOON OS rer Prnamee
On a (y) = (px), donc Pme, < étant une unité de K. Il y à donc une ! 0 EL infinité d'unités dans le module de base ce … #). Alors on peut facile-
ment montrer grâce au théorème 3.8 que À contient un sous-corps quadratique réel £— R[0|, que le module initial contient un sous-module (À, A0), et que les nombres & correspondant aux solutions en entiers rationnels de l’inégalité étudiée, sont à un nombre fini d’exceptions près, des nombres de ce sous-module @ —(X'+ X'4), X', Y’ étant des entiers rationnels.
Posons H'—|X"|+]|7Y"|, 6 étant quadratique | X' + Y'O | < F n’a qu’un
nombre fini de solutions, quelles que soient les constantes réelles positives c” et qg. Mais on voit facilement qu’il y a une constante positive €” telle que | c HA puisque x est supérieur à 4. On arrive donc à une contradiction et le théorème est démontré. |
H' < CH. Une infinité de ces nombres ne peut donc satisfaire à || <
Notons que: le résultat du théorème (3.8) n’est plus précis que celui qu’on peut tirer des résultats de SIEGEL (« Math. Zeit. », Bd. 10, 1921) que quand n est < 57. Su
REMARQUE. — L'exemple simple auquel nous faisions allusion dans l’introduction, de variétés algébriques contenant une infinité d'unités de X est le suivant: Supposons que À contienne des unités e satisfaisant avec leurs. conjugués à un système de relations
\ ; N.; | FACE ROSS L'E ESUT| Ds d 2 h)
les N étant des entiers rationnels non tous nuls; toutes les unités du sous-
d'un corps de nombres algébriques fini 167
groupe y engendré par ces unités, satisfont à ces relations. Si au moins l’une d’elles n’est pas une racine de l'unité, ce sous-groupe est. d'ordre infini, et la variété algébrique
(W*) gi gd 1 02
« contient une infinité d'unités » dans notre représentation habituelle des nombres de X.
De même étant une unité quelconque de X Ke NS N,; N,; à (W*) LRU SC LEE UE EE Um
contient une infinité d'unités: toutes les unités de la classe de F/y de représentant 7. :
Soient W*, W,*,…. les variétés algébriques irréductibles de dimension minima du type W%, contenant au moins une unité de X non racine de l'unité, done un sous-groupe d’ordre infini de F. La conjecture dont nous parlions dans l’introduction est la suivante: si une variété algébrique V contient une infinité d'unités, c’est qu’elle contient comme sous-variétés, des variétés W,*, ou des variétés congrues à des variétés W,* en nombre fini, et que les sous-groupes y; de [ou les classes de l/y;, correspondant à ces sous-variétés ont tous leurs éléments contenus dans V, et donnent toutes les unités contenues dans V, à un nombre fini d'unités près. Alors si V est un hyperplan passant par l’origine (unités dans un module) les sous groupes y, mis en évidence seraient nécessairement les groupes des unités de souscorps de X.
Remarquons que pour une variété algébrique V quelconque cette dernière proprieté des y, n’est sûrement pas nécessaire, comme on peut le voir par des exemples simples. Par exemple, considérons le corps k formé par l’adjonetion à un corps #, de degré p, premier, d’un corps de degré p,, premier. Soit N, la variété algébrique portant les unités à norme positive de k,, N, la variété portant sur les unités à norme positive de k,, la variété N,-.N, dans la représentation habituelle de k, contient toutes les unités d’un sous-groupe du groupe F des unités de X, qui n’est sûrement pas le groupe des unités d’un sous-corps de X, ni la réunion d’un nombre fini de classes de P par rapport à de tels sous-groupes.
Les résultats obtenus dans ce travail sont bien en accord avec la conjecture énoncée. Dans le cas étudié par le théorème (3.2), il ne peut exister de variété W# (autre que les variétés triviales, d’équations x, ..æ, — +1), et
nous trouvons que sur aucune des variétés que nous considérons il ne peut y
168 C. CHABAUTY: Sur les équations diophantiennes liées aux unités
avoir une infinité d'unités. Dans le théorème (3.7) la condition nécessaire et suffisante obtenue, pour l'existence d’une infinite d'unités dans les modules de dimension 3 considerés, est que la variété linéaire que définit le module, contienne une variété congrue à la variété formée par les 2 hyperboles portant les unités d’un sous-corps quadratique réel de X, hyperboles qui sont bien des variétés W*, Et l’on à bien ainsi toutes les unités contenues dans le module, à un nombre fini d° exceptions près peut-être.
