CHAPITRE IIL. - Equations diophantiennes
Considérons le système d’équations diophantiennes à résoudre en entiers
rationnels X; te ——
(1) | (1) Norme. (X,w, +. + X,vw,)=ÆEl
lu F{X, ,…, X,j—=0 U=L 24m)
Où (w,,.., w,) représentent une base d’un corps de nombres algébriques fini À de degré n, et où les équations (2) sont des équations algébriques en X,,., X, (que nous pouvons sans restreindre la généralité du problème supposer à coefficients rationnels).
À toute solution (4,,.., À,) en entiers rationnels de l’équation (1) correspond un entier de K, à = À,w, + … +- 4,w, dont la norme est Æ 1, c’està-dire une unité de X. Réciproquement les composantes d’une unité de Æ par rapport à la base (w,,.., w,) fournissent une solution en entiers rationnels de (1).
Nous représenterons dans la suite tout nombre « de X par le point ayant pour coordonnées les » conjugués de x par rapport au corps des nombres rationnels
=; (IQ . te) — (n) DR MR D Lee o On D
dans l’espace X?” Le est toujours le produit topologique de n corps p-adiques
identiques au corps p-adique algébriquement fermé ,, qu’on a considéré dans
les chapitres précédents, le choix du nombre naturel premier p étant indifférent). La transformation linéaire non singulière
Vi DAT LL CE Len Ab (è — Er ; 2, Cor n)
où 6w,,.., w,°° sont les conjugués de w; — «°° peut être interprétée comme
0 a@ Û Q a Que ini 1 A
un RO des coordonnées dans X”, Le système I définit une variété . V rat qui Ji : NE algébrique W de X" qui a pour équations en #
| (l Lodel
1) 5 | (2) (AG. 2 su 0. (=: ANS m)
Nous appcllerons du même nom le nombre de X et le point qui le représente.
} à Je } « . À ip / 156 C. Crapaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités
De la sorte l’étude du système T est l’étude des unités de K appartenant à la variété algébrique W. Nous énoncerons en général les résultats que nous obtiendrons sur le système I dans ce langage géométrique.
Le théorème de DIirICHLET sur les unités d’un corps algébrique fini nous apprend que ces unités forment un groupe abélien par rapport à la multiplication, admettant une base minima à » générateurs d’ordre infini, et un générateur d'ordre fini. r, que nous appellerons le nombre de Dirichltet de X, est défini de la façon suivante: soient r, le nombre de corps réels, 2r, le nombre de corps complexes, parmi les n corps conjugués de K, RSR RAR SR GR A Es EME
Les corps X(°,.., K°° étant isomorphes, les éléments conjugués à ceux d’une base minima des unités de Æ forment des bases minima des unités des corps conjugués correspondants. On voit que les unités de Æ sont représentées dans X” par un groupe abélien multiplicatif de points dont les coordonnées sont des unités p-adiques, et ce groupe est de rang r < n. Nous pouvons donc lui appliquer le théorème (2.4). Nous obtenons ainsi:
THÉORÈME 3.1. — Soit & l’ensemble, supposé infini, des unités d'un corps de nombres algébriques K de degré n, de nombre de DIRICHLET r, qui appartiennent à une variété algébrique W de dimension s. À tout sous-ensemble infini &' de & il correspond au moins un sous-groupe y du groupe T des unités de K, ayant les propriétés suivantes :
10) 7 y a au moins une classe de T/y qui contient un sous-ensemble infini d’élément de 6';
20) os quelconques des conjugués d'un élément de y, soient e@,.., et, satisfont à une relation indépendante du choix de l'élément dans y
(3) en. QT de — 1
les N étant des entiers rationnels non tous nuls, et o étant égal à r +s.
(Le résultat devient trivial si l’on n'a pas Sn—r—1)
Nous avons donc obtenu une condition nécessaire pour l’existence d’une infinité de solutions en entiers rationnels au système I. Nous donnerons deux types d'applications de ce résultat à des systèmes I spécialisés, soit quant à la nature du corps X, soit quant à la nature de la variété W.
1° - Nous avons obtenu pour les unités de X appartenant au sousgroupe y et leurs conjugués des relations (3) rationnelles entières à coefficients rationnels. En effectuant sur les conjugués des permutations du groupe de GALOIS G de X (nous entendons par là le groupe de GALors de l'équation rationnellement irréductible d’un élément primitif de Æ), nous
d'un corps de nombres algébriques fini 157
obtenons de nouvelles relations dont nous examinerons la compatibilité pour certains types de groupe de GALOIS.
| 2° - Comme il y à une classe de [/y contenant une infinité des unités situées snr W, les unités correspondantes de y sont sur une variété W7 congrue à W. Nous examinerons la compatibilité des relations (3) avec les équations de W' quand les équations (2) du système I sont linéaires et homogènes (problème des unités dans un module).
Première application. — Soit G le groupe de GALOIS de Æ. Une opération de g est une permutation entre les nombres conjugués de X
Dans l’espace des n variables x,,…., æ,, les transformations (x; — *,;) correspondantes, nous donnent une représentation du groupe de GALOIS dans X”. Etant donné un vecteur issu de l’origine dans X”, il lui correspond par ces transformations, des vecteurs que nous appelons les transformés du vecteur donné, par les permutations de G.
Considérons le corps À du théorème (3.1) et supposons qu’uue infinité d'unités de X appartiennent à une variété algébrique W de dimension s<n—7r—1. Le sous-groupe y mis en évidence dans le théorème (3.1) est d’ordre infini. Il contient donc au moins une unité e qui n’est pas une racine de l’unité. n — 1 de ses conjugués, soient e,.…., e°9, satisfont à une relation eo, ent — 1, les N, étant des entiers rationnels non tous nuls. On en déduit en multipliant au besoin membre à membre cette égalité et l'égalité (#4 … et — 1 une relation
eu et = 1
où les # sont des entiers rationnels non tous égaux et tels que m,-+-...+4-m,, Æ 0.
Considérons le vecteur Ï à coordonnées entières rationnelles æ, = 2, , ae XL =M,, et les vecteurs transformés de M par les permutations du croupe de GaLois de Æ. Supposons qu'aucune sous-variété linéaire de l’espace de représentation ne contienne M et ses transformés. On peut choisir # de ces vecteurs linéairement indépendants, soient
Mn, LOSC] Min) M
sn Mina ds
& à } i A ja 4.) k 4j ) 158 C. Orapaurv: Sur les équations diophantiennes liées aux unités
L'unité € considérée satisfait aux % relations:
em. etui — 1e
e(l)mys 5 ALL — A
Le déterminant des #»;; est Æ0. Soit d sa valeur. C’est un nombre entier rationnel. Donc les équations
Yan HE Yi = À YaMuo He Æ YnMno = 0
Yan HF ce + Yann = 0
ont une solution en entiers rationnels q,,…., q, non tous nuls. De
em LA eCmin da jee em: Re ALL An — { JA. ( |
on tire ainsi
Loir — j|
et e serait une racine de l’unité, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Si, au contraire, le vecteur M et ses conjugués sont dans un même sous-espace linéaire ZL, celui-ci est un sous-espace invariant dans la représentation considérée de G@, et il est défini par des équations à coefficients rationnels. Il y a toujours dans cette représentation, quelle que soit la nature de G, deux sous-espaces invariants rationnels triviaux: le sous-espace æ, +…—+x,—0 et le sous-espace æ, —…—x,. L contenant le vecteur M étranger à ces deux sous-espaces, ne peut être confondu avec l’un d’eux. On a donc le théorème suivant:
THÉORÈME 5.2. — Soient K un corps de nombres algébriques de degré n, G son groupe de GALOIS. Supposons que la représentation de G dans un espace de dimension n par des permutations des n coordonnées soit rationnellement complètement réduite quand on «à mis en évidence Les sous-espaces invariants triviaux X, =... —Xn @l X, +. + Xn — 0. Alors il est impossible qu'il y ail une infinité d'unilés de K appartenant à une variété algébrique de dimension Sn —r--1, r désignant le nombre de DiricaLer de K. En particulier, n'y à qu'un nombre fini d'unités dans un module de dimension h<n—r de nombres de K.
La valeur de la limite imposée à X est n —r et non n —7r— 1, cer quand on assujettit des unités de X à être sur un module de dimension , c'est-à-dire sur une variété linéaire de dimension , on les assujettit par là même à être sur l’une des deux variétés algébriques de dimension 4 — 1,
d’un corps de nombres algébriques fini 159
intersections avec la variété linéaire précédente des variétés x (Cf. démonstration du théorème (3.4).
Comme exemple de tels corps, il y a d’abord évidemment les corps ayant pour groupe de Galois, le groupe symétrique. En effet, s’il y avait un sousespace invariant autre que les sous-espaces invariants totalement orthogonaux
AE
BE, &, —..—4x, et E, x, +4... +-x,=—0, il y aurait un sous-espace invariant BE, intérieur et non identique à Æ,, donc de dimension <n — 2. Il y aurait done un point à coordonnées &,,.…., à satisfaisant à une relation
non toutes nnlles et non toutes égales,
nt
mL Li
à coefficients non tous nuls, ainsi qu'à toute relation déduite de celle-ci en y remplaçant &,,…., à, par une permutation quelconque de ceux-ci.
Supposons que #%,, par exemple, soit +0. Effectuons la permutation qui échange », en #”, en laissant les autres inchangés, on voit que &, = a, et parconséquent, grâce à une permutation convenable de G, a; — a; quels que soient à et 7, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Un autre exemple de tels corps est donné par les corps de degré n premier. En effet, l’ordre du groupe de GALOIS G est un multiple de #, en vertu d’un théorème de CAUCHY (‘*), G contient un élément d’ordre #. Une permutation d'ordre n sur n éléments, n étant premier, est nécessairement formée d’un seul cycle, puisque l’ordre d’une permutation est égal au p. p. ce. m. du nombre de termes de chaque cycle. S'il y avait un sous-espace invariant rationnel autre que Æ, et Æ, dans la représentation considérée de G, il y
aurait un vecteur à composantes rationnelles &,,.…, @,, non toutes égales,
mn?
et de somme non nulle, tel que ses n transformés par la permutation cyclique, mise tout à l'heure en évidente, et ses puissances, ne soient pas indépendantes. Le déterminant
Ai An
RDA PE Man ET ATEN
serait done nul. Or, il est bien connu que
Ma ed ar ete 0 cu (a, EL GE Sir sa D PE En “ES
(2) Speiser, Theorie der Gruppen vou endlicher Ordnung, p. 64
160 C. CaHaBgaurv: Sur les équations diophantiennes liées aux unités
E,,…., E,—, étant les racines de l’équation
