CHAPITRE lY

5o. Ce Chapitre est consacré à Tétude de l'équation de M. Hadamard

(i) l^^= f^^<^l^nds.

Je

Nous avons vu que M. Hadamard a formé trois solutions de cette équation, qui sont liées, la première à la fonction de Green ordinaire, la seconde à la fonction de Neumann, et la troisième à la fonction de Green G g relative à Téquation

A Aw = o.

Nous avons vu aussi paragraphe 50 que la première de ces fonctions ne vérifie l'équation ( i ) que pour certains contours particuliers ; la même remarque s'applique à la seconde. La troisième au contraire vérifie cette équation quel que soit le contour et quel que soit son mode de déformation ; elle jouera dans la suite un rôle important.

Rappelons sa définition. SîzGg est une fonction du point B qui s'annule sur le contour ainsi que sa dérivée normale, et qui est la

somme d'une fonction biharmonique du point B et de /^ log -

(r désignant la distance des points A et B). C'est une fonction symé-

trique des points A et B, elle vérifie l'équation

( 2 ) 80)^ = /* A„ <I>j\ A ,, $Îj' Inds,

et la fonction

W,^=:A,A«Gê

vérifie l'équation (i), Saz étant compté positivement vers l'intérieur du contour.

Nous allons d'abord montrer comment on peut, dans le cas d'un contour analytique quelconque, obtenir la partie infinie de la fonction Gg et de ses dérivées.

Dans le cas d'un cercle de centre O et de rayon a, on a

(3) 8:rG«^ = /-log^- i(,-ï-,-),

oii r, = ) B' étant le conjugué de B dans le cercle.

On peut passer au cas d'un contour quelconque par une représentation conforme. Le principe de la méthode que nous allons suivre est dû à M. Almansi, et M. Hadamard en a simplifié l'application. Dans le cas actuel, oii nous voulons obtenir seulement la partie infinie de G^ et de ses dérivées, cette méthode se simplifie beaucoup.

Nous appellerons J7,/, <v\ y\ et r les coordonnées des deux points A et B et la distance de ces deux points, et X, Y, X', Y', et R les quantités analogues qui leur correspondent dans la représentation conforme de la courbe C sur un cercle. Rappelons qu'une fonction harmonique de X et Y est aussi une fonction harmonique de x et de j*, et que r^cp(.t', j) est une fonction biharmonique de a; et j si cp(er, j) est harmonique.

Pour former la fonction G^, il suffit de former une fonction biharmonique prenant sur le contour la même valeur que

(4) /-Mog/'^z-Mog^+r^i^gR^

EQUATIONS IISTÉGR0-DIFFKRP:NT1ELLES et fonctions de lignes. ()7

et dont la dérivée normale prend aussi la même valeur que celle de l'expression (4).

Le premier terme de l'expression (4) étant biharmonique, il suffit de résoudre le problème pour le second terme. D'après l'expression de la fonction G^ dans le cas du cercle, on peut remplacer ce terme parC)

/■MogR.-Ag(R;R:^)

sans changer sa valeur sur le contour ni celle de sa dérivée normale. Or, le premier est biharmonique, et le second, étant analytique, conduit à former une fonction biharmonique dont toutes les dérivées ont leurs modules limités supérieurement. Nous pouvons donc, au point de vue qui nous occupe, négliger ce terme, ainsi que le premier terme de l'expression (4), et nous ne conservons, dans l'expression de G^, que les termes

en désignant par ^^^ la fonction de Green ordinaire. Donc la différence

est une fonction biharmonique des points A et B, sans singularité, même lorsque ces deux points sont voisins d'un même point du contour.

En général on ne sait pas exprimer g^ autrement qu'à l'aide de séries. Mais on peut déterminer un contour C^ ayant avec C un contact d'ordre déterminé en un point quelconque M, de cette courbe, et pour lequel on puisse écrire l'expression exacte de la fonction de Green g l. Quelle sera l'erreur commise en remplaçant C par C?

( ' ) Daus ceUe formule, R, est défini par rapport au cercle considéré comme la quantité Tj qui figure dans la formule (3) Tétait par rapport au cercle considéré à cet endroit. L. ,3

98 PAUL I.ÉVY.

Il est évident ([u'elle sera infinie pour les dérivées d'ordre assez élevé si les distances des points A et lî entie eux et à l'une des combes sont très petites par l'apport à lenrs distances à l'autre courbe. Elle le sera donc même si l'on se borne au cas où les points A et 13 sont très voisins du point M(,. Nous allons voir c[u'elle a une limite supérieure si l'on astreint le point A à rester sur la normale commune aux contours au point M„.

On obtient ce résultat par une méthode ((ne j'ai déjà indicjuée (') dans le cas de la fonction de Green ordinaire, et qui repose sur la considération de l'équation iutéi>ro-difrérentielle (jue vérifie cette fonction. D'après la relation rpii vient d'être établie entre les fonctions ^,j et G,^, on peut appliquer les résultats obtenus sur la fonction i,»,). On peut aussi, comme nous allons le faire, raisonner directement sur l'équation (2).

Désignons par y un contour qui varie de C à C! quand un paramètre \ varie de o à A, par G',^ et V\^ les valeurs de G^ relatives à il et à y, et par D^ et D|j des dérivées d'ordres respectifs p et q par rapport aux coordonuées des points A et B. G,^j vérifiant l'équation (2), on a

(5) ïy,\)[, Q'^' - D, d; g^ = f cil fo. A,, r^, d; a„ r'^^ds.

Supposons que le contact des courbes (i et CY aupoiiitiMj, soit d'ordre p -'- f/ — 1, et que sur chacune de ces courbes, dans le voisinage de Mo, .V et j soient des fonctions d'un même paramètre admettant des dérivées finies et continues jusqu'à l'ordre /^-f- y. Ou peut alors supposer que tous les contours y ont la même propriété, et ont entre eux un contact d'ordre/; -h ^ — r .

D'après la relation entre les fonctions gl et G,j, on voit aisément que

(6) |D,D;Gill<^^,

(') Bulletin des Sciences nialliéniatiques, juillet 191 o.

A étant une constante indépendante des points A et B, pourvu que y>> -H <y > 2. (Si /; -H <y < 2, on aurait en outre un facteur logarithmique.) En appliquant cette formule au contour y, on peut obtenir une limite supérieure indépendante de B du module de l'intégrale

^M^'^TU{s)ds,

si l'on connaît une limite supérieure de /"{s) et de ses dérivées jusqu'à l'ordre q sur tout le contour ; pour le voir, il suffit de développer /'{s) en série de Taylor dans le voisinage du point le plus rapproché de B.

On aura donc une limite supérieure du module de l'intégrale (5), indépendante de A et B, si les modules de D^ A,, F^ y et de ses dérivées jusqu'à l'ordre fj, ont une limite supérieure indépendante de la position du point A sur la droite M,, A. Or, l'existence de cette limite résulte de l'inégalité (6) et des hypothèses faites sur les courbes y.

On peut s'affranchir partiellement de l'hypothèse que M^ A soit normal à la courbe C. En supposant seulement que le plus petit angle de M„A avec la courbe ait une limite inférieure connue, le raisonnement précédent s'applique sans difficulté. Si les angles de M„ A et M, B avec la courbe sont tous les deux très petits, mais que A et B soient situés de part et d'autre du point M^, le résultat obtenu s'applique encore. Il suffit pour le voir de diviser le contour d'intégration y en deux parties limitées au point M, ; sur l'une d'elles le raisonnement précédent s'applique et sur l'autre il suffit d'échanger les rôles des points A et B.

Pour obtenir l'expression de Dj^OgG* avec une erreur finie, on peut alors procéder de la manière suivante : pour chaque point M, de la courbe C on déterminera une courbe C ayant avec C un contact d'ordre p -\- q — i en M^, et dont on connaisse une représentation conforme sur le cercle. Puis, à chaque couple de points A et B, on fer^ correspondre un point M„ convenablement choisi sur la courbe C, par exemple le point pour lequel la somme des distances A M^ et M^ B est minima. R et R, étant les quantités définies comme ci-dessus dans la

lOO PAUL LKVY.

représentation conforme de CJ sur le cercle, l'expression chercliée sei a

En calculant cette expression, il faut observer que r^ log -^ dépend

de A et B, d'une part explicitement, d'autre part parce que la conrbe C dépend de A et R. Les dérivées doivent être prises en considérant la courbe comme fixe.

En particnlier, pour obtenir la partie infinie de W^, il faut que les coui'bes C etC/ aient entre elles un contact d'ordre trois. On ne pourra donc pas prendre un cercle pour C'.

On peut aussi dériver l'expression /-^log-jT^ en considérant la

courbe C comme variant avec les points A et B. Si les courbes CJ ont avec C un contact d'ordre/? H- ^, au lieu de p -\- q — i , deux courbes CJ infiniment voisines ont entre elles un contact d'onbe p -h q — i , et le résultat obtenu subsiste. Ce résultat est en (juelque sorte plus avantai^eux que le précédent, car on a une fonction bien déterminée des points A et B dont les dérivées jiiscju'à l'ordiey^-h^y représentent celles de Cr^^ avcc une erreur finie.

56. Etudions maintenant les solutions de l'équation ('a) qui sont de la forme Cj^-\-hl, h^ désignant toujours une fonction analytique dans le voisinai>e du contour.

En supposant que Ii^ soit analytique poiu' un contour C, sa variation est-elle analytique ? On a ici

^= ^(A,, G, A, hr, + A,, G« Am /4 + A, h^, A, /ifj |^ ds.

Les différents termes de cette intégrale sont analytiques, si l'on suppose la famille de courbes considérées analytique. Considérons, par exemple, le premier terme ; il représente une fonction bibarmO-

EQUATIONS INTEGRO-DIFFERENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. lOI

nique du point A s'annulant sur le contour, et dont la dérivée normale est analytique ; on sait qu'une telle fonction est analytique. Il en résulte que la variation de /i^ est analytique.

On peut encore ici former la fonction ^^ par une méthode d'approximations successives. Sans reprendre l'exposé complet de cette méthode, indiquons les difficultés nouvelles qui se présentent.

Xoiis considérerons toujours des réjçions réelles et imaginaires R, et A. liées entre elles comme dans le Chapitre précédent. Si nue fonction est biharmonique dans R,, elle l'est aussi dans A.. Cela se voit en appliquant dans R, la formule de Green relative au problème biharmonique à la fonction considérée et à r^ log;--

Pour avoir une limite supérieure des modules de cette fonction et de ses dérivées dans une réo^ion intérieure à cR, il ne suffit pas d'avoir une limite supérieure de son module sur le contour de R ; il faudrait aussi connaître une limite supérieure du module de sa dérivée normale. Il en résulte certaines difficultés qu'on peut éviter en supposant Qonnue une hmite supérieure commune .^Tl, des modules des fonctions //,, Aj^//,, \/t,, \^\/t-. Cette limite sera valable dans des conditions analogues à celles qui ont été indiquées au parag^raphe 51, à cela près qu'il faut remplacer le mot hannonUiue par le mot biharnionique.

Il faut alors chercher la valeur de la quantité ^T^^+^ jouant le même rôle pour l'approximation suivante 7/,^., . Toute la difficulté porte sur le terme

(7) f\^G^\^li^^-^ds

et dans l'étude de ce terme, la seule difficulté nouvelle se présente quand on forme la diflérence U entre les deux fonctions du point A que représente cette intégrale \\ l'intérieur et à l'extérieur du contour.

La partie non analytique de A„ (j^ est — z 7^' ^*^ désignant par c et/>>

les distances du point A au point M et à la tangente à la courbe C en M.

Or, l'intégrale

(7') f'&fi-')^-'

intervient dans l'application de la méthode de Fredholm au problème biharmonique, et M. Hadamard a indiqué un procédé simple pour étudier la discontinuité de cette intégrale.

Désignons par,ï;etjy les coordonnées du point A, c. et y, celles du point M, et a. et ,6 les cosinus directeuis de la tangente à la courbe C en M. L'intégrale (y') peut s'écrire

Ji] ? Je. \ Je \

Elle est donc la somme de trois potentiels de double couche, dont la discontinuité est bien connue.

On obtient alois aisément une limite supérieure des modules des fonctions U et A^U. Pour la fonction IJ elle-même, .il suffit de raisonner sur chacun de ces termes comme on l'a fait au paragraphe 51. Quanta A^U, c'est une fonction harmonique du point A qui s'annule sur le contour, et dont la dérivée normale a la valeur

En faisant intervenir les mêmes coordonnées auxihaires, u et (', qu'au paragraphe 51, et en posant

il vient

AaU = A[///+/.)-/(«-/^)],

et l'on en déduit pour le module A^U une limite supérieure de la

r, k Ole,-

rorme —s —

Équations aNTÉGRO-DiFFÉR entieli.es et fonctions de lignes. io3

En remplaçant dans ce raisonnement h^ par Ag//g. on ol)tient une limite supérieure de la même forme pour les modules des fonctions Ag U et A^AgU. La méthode du paragraphe 51 s'applique alors sans difficulté.

Si Ton veut appliquer cette méthode pour former la fonction G^, il faut connaître une fonction qui diffère seulement de Gg par une fonction analytique. Nous avons vu que la fonction {r*^* jo»ïit de cette propriété. Donc, si le problème de Dirichlet ordinaire est supposé résolu, on peut résoudre le problème bi/iarmo nique par la méthode d'approximations successives indiquée.

Cherchons maintenant si la condition d'intégrabilité relative à l'équation (:i) est vérifiée pour les fonctions $g de la forme G^ -\- h^. Il faut former la variation de Aj,^^. Pour un point M intérieur, cette variation introduirait l'intégrale

•^M.*ji.^îi V(G3*-+ h^^)ùn,ds,.

Quand M est sur le contour, d'après l'inégalité (6) et d'après la formule 9) de l'Introduction, le premier terme de cette intégrale doit être remplacé par

l'"l / ^^' '^^' ^^ ^^' ^^' '"" tds,-r- Xo Am *m ^/« ~~^'^ (^^ *« '^'*) '

les nombres a„ et 7,, étant indépendants de la fonction //g. On en déduit que la condition d'intégrabilité cherchée est

lim a, Am <ï>i A^ 4>J — o.

Or cette condition est certainement vérifiée pour la fonction G^. Donc T., tend vers zéro, et l'équation (2) est complètement intégrable dans le cas considéré.

Au contraire 7,^ ne tend pas vers zéro, et même devient infini quand

I o4 PAUL I.ÉVY. ,

£ tend vers /.évo, ear aiitreinent l'expression (8) n'aurait pas de limite pour £==: o,

lies résultats obtenus s'étendent évidemment à l'équation (i) et aux solutions de la forme <l>f, =r= T^' -f-Z/^^. Rn particulier cette équation est complètement iutégrable pour les solutions de cette forme, et l'on a, si M est un point du contour,

(()) o'I^M^^ liivi

5/î, ds, 4- a,)<I),\8/?

dn

dn

Nous aurons dans la suite à appliquer cette formule dans le cas où on s'annule au point M. Elle se réduit alors à

(9') 6$;^,= liai / <ï)>\ <I>iJJ'ô/?, f/5,,

c'est-à-dire qu'elle s'écrit comme si la fonction ^^ était analytique, en remplaçant seulement une intéj>rale définie dépourvue de sens par sa valeur principale au sens de Cauchy.

57. Il résulte de ce qui précède qji'on ne peut déduire de l'éc^uation(i) aucune piopriété des fonctions $p qui sont, soit finies, soit de la forme Y,j -h ^J, //^ étant analytique dans le voisinage du contour. Plus exactement, on ne peut obtenir aucune propriété de ces fonctions considérées comme fonctions de points, pour im contour déterminé C. En effet, sous la condition d'être finie (ou analytique), la fonction <!>,; (ou //JJ) peut être choisie arbitrairement.

Nous allons voir ce qu'on peut déduire de l'hypotlièse suivante faite sur une fonction $,^ vérifiant l'équation (i) :

Si Ion remplace La figure constituée par la courbe C et les deux points A et \l par une figure semblable^ la fonction <1> se trouve multipliée par une puissance déterminée du rapport de similitude.

Il est évident ({ue cette puissance a pour exposant — 2, autrement l'équation (i) ne serait pas homogène.

ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. lo5

Supposons qu'on fasse varier C infiniment peu, la courbe déformée étant semblable à l'ancienne, et qu'on donne aux points A et B un déplacement infiniment petit correspondant. La variation de la fonction # peut se calculer de deux manières différentes, soit d'après l'hypothèse qui vient d'être faite, soit à l'aide de l'équation (i). On obtient ainsi une équation fonctionnelle que doit vérifier la fonction $.

En considérant successivement une translation parallèle à CXr, une translation parallèle à O >", une rotation autour de l'origine et une homothétie par rapport à l'origine, on obtient quatre équations fonctionnelles distinctes, analogues à celles que M. Hadamard a formées pour la fonction de Green ('). En désignant par x, y, x^, }\ et x^, }\ les coordonnées des points M, A etB, ces équations sont

(lo)

-h / ^^fP^[y'cos(n, x) — xcos(nj y)]ds = o.

- I <ï>i<I>B [:pcos(/j, a;) + vcos(/i,^)]c^5 = o.

Ces quatre équations sont équivalentes à la propriété étudiée. En effet, si elles sont vérifiées, cette propriété est vérifiée pour toute déformation infiniment petite, et, par suite, pour toute déformation finie, remplaçant la courbe C par une courbe semblable.

58. Supposons que les points A et B soient sur le contour, et dé-

(') Calcul des variations, p. 3o6.

Io6 PAUL LÉVY.

terminés par les longueurs d'arc y, et -s^. Au lieu des dérivées de la fonction <1>,^ par rapport à x',, J,, -^^aî.'^? ^^^ pent faire intervenir les

1 / • / V 11/-/ 1 f^^u àft*^. „

dérivées par rapport a s\ et ,s\ et les dérivées normales ^ — et -^ — Kn

éliminant ces deux dernières dérivées entre les équations (lo), (i i) et (12), on obtient deux équations intégrales vérifiées par les valeurs de la fonction $„ sur le contour.

Ces équations sont faciles à écrire. Il suffît de considérer, d'une part, une rotation autour du point de concours N des normales en A et B, d'autre part, une homothétie par rapport au point de concours T des tangentes en A et B, et d'écrire les équations fonctionnelles exprimant pour ces déformations de la courbe C la propriété énoncée au paragraphe 57. Les dérivées normales seront évidemment éliminées.

Appelons p et «y les distances des points N et T à la tangente à la courbe en M, comptées positivement vers l'intérieur de la courbe, y>^ et g' les distances de ces points à la normale à la courbe en M, comptées positivement dans le sens des s croissants au point M, et désignons par les mêmes lettres affectées d'indices les valeurs de ces quantités quand M vient en A ou en B. IjCs équations intégrales en question sont

(i3) p, ^' +p,^^ -j nnp'ds = o,

(i4) q\ -^ + q'., -^l - 2 n +y H <I>^' q ds = o.

Au lieu de ces équations, on peut écrire celle qu'on obtiendrait en combinant une rotation autour du point A et une homothétie par rapport à ce point de manière que le point B se déplace tangentiellement à la courbe C, et l'équation analogue obtenue en échangeant les rôles des points A et B. (]es équations, qui sont une combinaison des équations (i3) et (1 4)? ont sur celles-ci l'avantage de rester distinctes lorsque les tangentes aux points A et B sont parallèles.

Les équations (i 3) et (ij) seront-elles modifiées lorsque la fonction $ sera de la forme f'^ -\- h^ ? Elles sont obtenues en considérant des

déformations de la courbe C pour lesquelles on s'annule en A et B. D'après la formule (9'), il n y a aucun terme correctif à ajouter. Mais les intéj^rales qui y fig^urent n'ont pas de sens dans le voisinage des points A et B, et il faut considérer leur valeur principale.

Lorsque les points A et B sont confondus, parmi les déformations élémentaires considérées, il en existe trois pour lesquelles on est nul en A. On est donc conduit à remplacer les équations (i3) et (i4) par trois relations distinctes. Si elles ne sont pas vérifiées, les valeurs

de ^— î* et -r-^ deviendront infinies quand B tendra vers A. Or cela a lieu

o/if an. y ^

précisément pour la fonction Y^, de sorte que, poiu' l'étude de cette fonction, nous n'avons pas le droit d'écrire ces relations, mais seulement les relations (i3) et (I4)• 59. Supposons données les valeurs de ^^ sur le contour et cherchons à déterminer les dérivées successives de ^^ sur le contour, en tenant compte des équations (10) seulement, c'est-à-dire en supposant l'hypothèse du paragraphe 57 vérifiée pour les translations. Si la fonction $g est analytique, elle sera bien déterminée par les valeurs de ses dérivées sur le contour.

En remplaçant les translations parallèles aux axes de coordonnées par des translations parallèles aux tangentes à la courbe aux points A et B, les équations (lO; deviennent

l -j h ^— ^cos(5,, 5o) T-^ sin(5,, 5,) H- / <I*i<^B sin(A-, 5,) ds = o,

) ost ds2 ' orii 'Je

Si les tangentes aux points A et B ne sont pas parallèles, ces équa-

tions determnient y—

ont

En désignant par . S", et ^, des directions bien déterminées, ces équations conservent un sens quels que soient les points A et B. On peut

I o8 PAUL LÉVY.

donc les dériver en supposant que les points A et B se déplacent indépendamment l'un de l'autre normalement à la courbe. On détermine ainsi successivement toutes les dérivées de $g.

Ce calcul donne lieu toutefois à quelques difficultés. Considérons

par exemple la dérivée -^ — -^ — ; elle peut se calculer en dérivant la première équation (lo^) par rapport à n^ ou la seconde par rapport à ii^. Les deux valeurs ainsi obtenues sont-elles égales? On peut le vérifier facilement, mais il est plus simple de le démontrer de la manière suivante : "

Formons une fonction ^\^ dont les dérivées des deux premiers ordres sur le contour aient les valeurs calculées par le procédé indiqué,

en prenant pour - — - — la valeur déduite de la première équation (i o').

Donnons à la figure constituée par la courbe C et les points A et B une translation de composantes u et v suivant les directions des tangentes aux points A et B. Les dérivées de $ par rapport à u et v se calculent en tenant compte de l'équation (i), et l'on doit trouver une valeur

nulle pour -^ — r-^ puisque la fonction $ ne change pas par la translation

considérée. De même, si l'on donne à -r — ^ — la valeur calculée d'après

la seconde équation (lo^), on doit trouver une valeur nulle pour . , • Or, l'équation (i) étant complètement intégrable, on a

du dv dv du

Il en résulte évidemment que les deux valeurs de -^ — -^ — sont égales.

Il en sera de même pour les dérivées d'ordres supérieurs.

Il se présente une autre difficulté, moins aisée à résoudre. Si les

valeurs données de $3 sur le contour sont quelconques, -—- deviendra

infinie lorsque les tangentes aux points A et B deviendront parallèles.

La formule qui définit -^ n'aura alors aucun sens, et rien n'indique

a priori le sens qu'on doit lui attribuer.

Nous pouvons seulement affirmer que, s'il existe une fonction $„ analytique et sans singularité dans le voisinage du contour, elle pourra être définie sans difficulté par le procédé indiqué.

Il en est de même si ^^ est la somme d'une fonction connue et d'une fonction analytique et sans singularité dans le voisinage du contour. Il se présentera en effet dans le calcul des intégrales qui n'auront aucun sens, mais on saura ce qu'elles doivent représenter. Il suffit de supposer les points \ et B intérieurs au contour et de voir à la limite ce que deviennent les formules écrites. Les intégrales devront alors être remplacées par une expression de la forme de l'expression (9), paragraphe 7, les coefficients A,, A,,...,A^ ayant des valeurs bien déterminées, puisque la partie non analytique de $g est supposée connue.

On pourra par cette méthode déterminer les fonctions de la forme \"^ 4- /i^^ h"^ étant analytique dans le voisinage du contour, qui vérifient les conditions indiquées. Pour calculer les dérivées d'un ordre déterminé de cette fonction, il suffit de connaître la partie infinie des dérivées de Tg jusqu'à un certain ordre, et c'est un problème qu'on sait résoudre.

40. Supposons maintenant que les valeurs données de la fonction $B sur le contour vérifient les équations (i3) et (i4)) et formons la fonction ^l par le procédé qui vient d'être indiqué. Cette fonction vérifie évidemment les équations (10) quels que soient les points A et B et les équations (11) et (12) pour les points du contour. Je dis qu'elle vérifie aussi ces équations quels que soient les points A et B.

Démontrons-le par exemple pour l'équation (11), ce qui revient à démontrer que la fonction ^^ reste invariante par une rotation.

Désignons par C, une courbe déduite de C par une rotation infiniment petite autour de O, et par C et C, les courbes déduites de C et C, par une translation qui amène O en O'. La courbe C peut être amenée

I lO PAUL LKVY.

à coïncider avec C^ par une rotation autour de O'. On peut indifféremment supposer que la translation considérée est finie ou infiniment petite.

Considérons la fonction <I>,^ définie comme il vient d'êtie indiqué en partant de la courbe C. Des valeurs de cette fonction relatives à la courbe C, on déduit, en tenant compte de l'équation complètement intégrable (i), les valeurs <I>,, <!>' et <î>'^ de cette fonction pour les courbes C^, C^ et C^.

Les équations (lo) étant supposées vérifiées pour la fonction <I>, les fonctions $ et <F se déduisent l'une de l'autre par une translation. Or les opérations qui permettent de définir <1>^ en partant de $ sont identiques à celles qui permettent de définir $'^ en partant de i^\ Donc les fonctions <5, et ^\ se déduisent l'une de l'autre par une translation. La propriété exprimée par les équations (lo) subsiste donc quand on remplace la courbe C par la courbe C, .

Les valeurs de la fonction $, se déduisent donc de ses valeurs sur la courbe C, comme celles de la fonction $ de ses valeurs sur la courbe C. Or les valeurs de ces fonctions sur les courl)es C et C, se déduisent les unes des autres par une rotation, puisque les équations (ii) et (12) sont vérifiées sur le contour C. Doncleurs valeurs pour des points quelconques se déduiront les unes des autres par une rotation, ce que nous voulions démontrer.

Il faut remarquer dans le cas actuel que les valeurs trouvées pour les dérivées ne sont pas infinies lorsque les points A et B sont des points

distincts à tangentes parallèles. En effet, pour définir -^ par exemple,

on peut considérer, soit une rotation autour du point B, soit une homothétie par rapport à ce point. Mais la difficulté indiquée plus baut subsiste lorsque A et B sont confondus. C'est ce qui rend difficile la démonstration de la convergence de la série de Taylor définissant $^ pour les points qui ne sont pas sur le contour.

Nous pouvons toutefois obtenir un résultat sur la région dans laquelle

EQUATIONS IXTEGRO-DIFFERENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 1 I I

la fonction $ peut être bien définie. Supposons qu'on ait défini cette fonction pour une région R voisine de la courbe. Soient A et B deux points voisins de cette région, et A' et B\] eux points de la région R respectivement voisins de A et B. La figure constituée par les points A et B et la courbe C est semblable à la figure constituée par les points A' et B' et une courbe C voisine de C, et par suite située dans la région R. D'après riivpothèse du paragraphe 57, pour définir $3, il suffit de déterminer la fonction $'3. relative à la courbe C. Or, nous savons que ce résultat peut être obtenu par une méthode d'approximations successives.

Si la fonction ^^ est finie dans le voisinage du contour, la région R peut être étendue de cette manière jusqu'à comprendre tout le plan. Si elle est la somme de ^^ et d'une fonction analytique, d'après ce que nous avons vu à propos de la méthode d'approximations successives, la région R peut être étendue jusqu'à comprendre tout l'intérieur du contour, mais elle sera généralement limitée à l'extérieur.

41. D'après ce qui précède, si nous voulons former les fonctions de lignes vérifiant la condition du pai^graphe 57, il suffit de les former pour un contour particulier C. En efl'et, si nous formons une telle fonction ^l pour ce contour et qu'elle soit définie dans le voisinage du contour, elle sera bien définie pour tout l'intérieur de C, par suite, pour les courbes intérieures à C et pour les courbes semblables aux précédentes, c'est-à-dire toutes les courbes du plan.

Il suffit donc d'étudier les équations (i 3) et (i4) pour une courbe particulière. Nous prendrons un cercle de rayon égal à l'unité.

Dans ce cas l'équation (1 3 ), qui exprime que la fonction $ ne change pas par une rotation autour du centre du cercle, montre que

en désignant par 9 l'arc AB.

Il reste à écrire l'équation (i 4) relative à une homothétie. En dési-

gnant par cl l'arc AM, elle s'écrit ici

fi fi /*^^ fi

(i5) cp(Q)cos- + a3'(8)sin- + / cp(a) cp(fi — a) sin - sir. ^'

Vérifions d'abord que la fonction ¥y nous donne bien une solution de cette équation. Delà valeur (3) de la fonction G^ dans le cas du cercle, on déduit celle de T,j, qui devient, lorsque le rayon du cercle est égal à l'unité et que A et B sont sur le cercle,

sin- -

Cette fonction annulant la somme des deux premiers termes de l'équation (i5), il reste à vérifier ([u'elle annule l'intégrale. Cette intégrale n'ayant pas de sens, il faut, comme nous l'avons déjà vu, considérer sa valeur principale. Cette intégrale s'écrit, à un facteur constant près,

cos —

Or, lorsque les pôles sont simples, ce qui est le cas ici, un changement de variable effectué sur une intégrale dont on a à calculer la valeur principale est légitime. En posant donc

e = ^; cos - =1 a^

l'intégrale considérée se ramène à l'intégrale

dz

z — 'laz -\-

prise dans le plan de la variable complexe z le long du cercle ayant l'origine pour centre et l'unité pour rayon. Les deux pôles de la fonction à intégrer sont sur le cercle, et la valeur principale que nous avons 'à

Équations intégro-différentielles et fonctions de lignes, i i 3

calculer est la moveiine arithmétique des intégrales prises, l'une le long d'un contour un peu plus petit, l'autre le long d'un contour un peu plus grand. Elle est donc bien nulle.

Le fait que les deux premiers termes de l'équation (i 5) et l'intégrale qui V figure sont nuls séparément pouvait être prévu a priori. En effet,

la fonction T* a la même valeur -—: pour tous les cercles passant par

les points A et B. La variation de cette fonction quand le cercle varie, variation représentée par l'intégrale de la formule ^i 5), est donc nulle. Il en résulte que l'équation (i 5} est également vérifiée par la fonction C'i/(Ô), C désignant une constante quelconque.

42. Cherchons toutes les solutions de l'équation (i5) qui soient de

la forme

sin- —

en désignant par//(Ô) une série de Fourier absolument et uniformé-

ment convergente

(i6) /i(Çi ) = «ûH- 2«, cosO +. . .-f- 2flrflCOs/i6 -+-...

L'équation (i 5) donne après réduction

(17) A(e)cos- -+-A'(Ô)sJn- -i- / /n^oi)/i{h — x)s\n-s\n dx

/îit siii îTz sin -

hih — a ) f/a -h C / // ( a ) -, dx = o. .a / •'.'} — X

sin — " sin

Dans cette intégrale, tous les termes, à l'exception peut-être du

terme en /''; Ô}, peuvent se mettre sous la forme de séries de Fourier L. i5

I l4 l'AUL LKVY.

en - absoliimeiit et uniformément converij:entes ; il en est donc de

même du terme en ///(9) de sorte que la série (16) peut être dérivée terme à terme. Nous n'avons donc qu'à écrire que l'équation (17) est identiquement vérifiée.

l^iCs deux dernières intégrales de la formule (17) se déduisent l'ime de l'autre parle changement de a en 9 — oc. Il suffit de calculer l'une d'elles, par exemple la premièie, ou plus exactement sa valeur principale. Elle s'éciit

r ' ^ r'^ 1 tu X ^ ^ r ^

Csm— / /«(y — a)col-aa — 27zLaoCO.s

Dans le développement de //(9 — oc), les termes pairs en oc donnent des intégrales dont la valein^ principale est nulle. Il reste donc

— 27rCaoCOs l-aCsin- ^ (a^isin/zO — 6„cos/^9) / sirina col - <r/a.

Or on a

,27T sin In 1 a 4- sin ( /i H la

Cf. \ r \ 2 / \ a / ,

SI n /? a co t — «a = - / ^ ^ — dy.

'h sin-

= / [1 4- 2 cosa H- 2cos2a +. . .+ 2C0s(w — i)aH- cos/«a] <ia

2Tt.

L'intégrale considérée a donc la valeur

— 27rC«oCOs — h4'^Gsin- ^ (<:/,/ sin «0 — 6„cosAi9), 2 2 .^

c'est-à-dire, en posant b^z=o^

2 7iG ^ («//+, — ««)cos (/i + 7jB4-27:C ^ (^„+, — 6,,) sinf « + - jO. D'autre part, on trouve aisément, pour la première intégrale de

ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. Il5

r équation ( 1 7 ) , la valeu r

— 2- V (a„+, — a„) {b„^, — b„) sin In + M ^,

et pour les deux premiers termes

A (8) cos - = V («« — ««+,) cos ('» + ^ ) ^ -^ ^ (^« ^ ^''+') ^'° ( " "^ î ) ^ et

A'(Ô)siii- = ^ [/ior„ — (n-f i)««+,]cosf /i + -jO

En égalant à zéro dans l'équation (i 7) lescoefficients de cos (^n-h^j^ et sin(// + - j9, on trouve

(n-i-i — ir.C)b„ — (n — i-C)b„+, — 27:(«„+, — a„){b„+t — b„) = o.

En posant alors

a„+ ibn ^ A „ . a„ — ibn = B„ ,

les quantités A,, et B„ sont deux systèmes de solutions des équations

(,8) (/i -M - 4-C) A„ - (/i - 4-CV\„+, - T.{ k\^, — A J2 = o

Si A, est connu, cette équation déterminera successivement A,, A,, . . . , A^. Mais il faut que la série (16) soit convergente. Or l'équa-

I l6 PAUL LÉVY.

tion (18), qu'on peut écrire

A«n n + 1 — 47tG + ^^(A,,^.) — Afl) A„ ~ n — 4TzC — Tz{A„^f — A,i)

montre que, si A„ est très petit sans être nul, le module de A„^, est supérieur à celui de A„. Il faut donc que A„ soit nul à partir d'une certaine valeur /? H- i de n, ce qui n'a lieu que pour une infinité dénomhrahle de valeurs de A^,. Pour déterminer les valeurs des quantités A, au lieu de donner à // dans la formule (18) des valeurs croissantes à partir de zéro, il vaut mieux lui donner des valeurs décroissantes à partir de /;. On a

et A^,,, A^2, . . . , A^sontdéterminés successivement par des équations du second dei»ré.

Toutes ces quantités sont réelles, si C est réel. En efl'et, si A„ et A„^, vérifient l'équation (18), cette équation est vérifiée si l'on remplace //, A„^, et A„ par // — i , A„ et 2 A„ — A,^^,. Une des valeurs de A„, est donc 3 A„ — A„^, , et est réelle si A„ et A„^, sont réels ; l'autre valeur de A,,, est donc aussi réelle. Or A^, et A^ sont bien réels; on voit donc successivement qu'il en est de même de A^, , . . . , A^.

Il faut remarquer qu'en se donnant A,, arbitrairement, on peut trouver pour A, des valeurs imaginaires. Mais dans ce cas la série (16) est certainement divergente.

Considérons maintenant deux systèmes de solutions A et B des équations (18). Les quantités a^ et b,, seront définies par les formules

Il faut que l\ soit nul, c'est-à-dire que A^^^ B^. Cette condition est-elle possible à réaliser sans qu'on ait A„ = B„ pour toutes les valeurs

de // ? Il suffît par exemple de prendre

Ao=Bo=;J;-4C, . A,=^-4C, B,=:A2=...==o

et h^ ne sera pas nul. On a ainsi des solutions qui donnent pour //(Ô) des valeurs imaginaires et qui contiennent des termes impairs en 6.

Si l'on cherche les solutions réelles, comme les quantités A^ et B^ sont réelles, il faut que A„ = B„, et par suite ^„ = o. La fonction /i(ô) est paire et conduit à former une fonction ^^ symétrique par rapport aux points A et B. Donc Les Jonctions de lignes réelles vérifiant V équation ( 1 ) et la condition du paragraphe 57 sont des fonctions symétriques des points \et^.

Les valeurs des quantités «„ sont alors celles des quantités A„. Parmi les différents systèmes de valeurs possibles, le plus remarquable est constitué par les valeurs en progression arithmétique

ap =

(fp-t =

qui

donne

la solution

sin

In cas particulier à signaler est le cas où C = o et /? = o. Dans ce cas, outre la solution cp (^Ô) = o, on trouve

qui conduit à la fonction de ligne ë? S désignant la surface intérieure à

la courbe C. Cette fonction vérifie Téquation (i) et la condition du paragraphe 57.

D'une manière générale il est probable que les fonctions qui vérifient ces conditions, en ajoutant même celles d'être réelles et symé-

I l8 PAUL LÉVY.

triques, constituent une infinité dénombrable de fonctions dépendant chacune d'une constante arbitraire C. Toutefois cela n'est pas rii»oureusenient établi, car, d'une part, le passade des fonctions de la valeur <I>,^ sur le contour aux valeurs de cette fonction en d'autres points n'a pas été fait d'une manière rigoureuse; d'autre part, nous n'avons pas établi que l'équation (17) n'a pas d'autres solutions que celles que nous avons obtenues.

45. De ce qui précède résulte un procédé ([u'on peut suivre pour résoudre le prol)lèine biharmonique. Il faut commencer par former la partie infinie de Yj^ sur le contour. Nous avons vu qu'on peut obtenir ce résultat par une représentation conforme du contour C sur le cercle, et l'on trouve

L^ sin- — ^^ — z

en désignant par J^ la longueur du contour. On peut alors représenter W^ sur le contour par la somme de cette expression et d'une série trigométrique doublement infinie, absolument et uniformément convergente (*) . .

En utilisant les équations (1 3) et (i4) , on déterminera les coefficients de cette série. La difficulté provenant de ce que certaines intégrales qui figurent dans les calculs n'ont pas de sens se résoudra par des procédés analogues à ceux que nous avons employés dans l'étude de l'équation (i5). On obtiendra alors des équations, plus compli- (|uées que les équations (18), mais qui pourront vraisemblablement se discuter d'une manière analogue. Il fnudra enfin, parmi les diflérentes solutions obtenues, distinguer celle qui convient; cela ne présentera pas de difficulté pour les contours différant peu du cercle, ou d'une courbe pour laquelle la fonction Y^ soit connue.

(') Si le contour est analytique et même sous des conditions beaucoup plus larges.

Il serait d'ailleurs désirable d'obtenir un procédé plus simple pour définir les valeurs de ^'^ surle contour. Ce résultat obtenu, le problème s'achève sans difficulté.

Déterminons d'abord la valeur de W^ lorsque le point A est quelconque et que le point B est sur le contour. La deuxième équation (i o')

définit -3 — L'intégrale qui y figure n a, il est vrai, aucun sens, mais nous

savons ce qu'elle représente. Il suffit d'utiliser la formule (9), dans laquelle 7-„ est une quantité qu'on peut calculer, puisque l'on connaît la partie infinie de Tg . On pourrait définir de même les autres dérivées de la fonction ^'. Il est plus simple de remarquer que Y^ est une fonction harmonique du point A, dont on connaît les valeurs sur le contour ainsi que celles de sa dérivée normale. La formule de (jieen appliquée à cette fonction et à logr nous donne sa valeur par une quadrature. La répétition du même procédé définit Y^ quand les points A et B sont quelconques.

La fonction Tg = A^A^G^ étant connue, on sait qu'on peut en déduire Gg par des quadratures (*). En effet A^ G^ est une fonction du point A qui s'annule sur le contour ainsi que sa dérivée normale, et dont la partie infinie, quand A est voisin de B, a la valeur connue

41og-- Connaissant T^, la formule de Green, appliquée à la fonction Ag Gg et à log -> définit cette fonction par une quadrature. La répétition du même procédé définit la fonction Gg. Le problème biharmonique se ramène donc à l'étude des équations intégrales ( i3) et ( i4)- Remarquons enfin que, pour faciliter la détermination des valeurs de la fonction Yg sur le contour, on peut former une autre équation intégrale que vérifient ces valeurs. En effet, si les valeurs de W^ sur le contour sont connues, nous venons de voir que les équations (10')

donnent -r — Elles donnent de même -^— r-- Comme la fonction T^ est

orii dn- "

(') Ce résultat a été démontré par M. Hadamard dans son Cours de 1909-1910, au Collèffe de France,

I20 PAUL LEVy.

harmonique, on doit avoir, en désignant par /■, la courbure de la courbe C au point A

On obtiendrait de même des relations entre les dérivées d'ordres supérieurs. Mais toutes ces équations sont vérifiées si les équations (i 3), (i4) et (19) le sont et si l'on détermine les dérivées successives de la fonction ^^ à l'aide des équations (10') . En effet, la seconde équation (10^) par exemple, donne

dSy

Si donc A^Y^ est nul sur le contour, — y^^ — î' est mil également. Il en est

de même des autres dérivées. Si TJ est symétrique par rapport aux points A etB, il en est de même aussi de Aj,T,^ et de ses dérivées.

Nous ol^tenons donc une seule équation intégrale nouvelle que vérifient les valeurs de la fonction Y\ sur le contour. Cette équation est d'apparence assez compliquée, d'autant plus que, pour l'écrire, il faut introduire des termes analogues au terme en oc^ de la formule (9). Elle peut peut-être rendre cependant des services dans l'étude du problème bibarmonique.

Vu et approuvé :

Paris, le 11 juillet 191 1 .

Le Doyen de la Faculté des Sciences, Paul APPELL.

Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 1 1 juillet 191 1.

Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris, L. LIARD.