Cette équation est
L désignant la longueur de la courbe C ; la normale est toujours comptée positivement vers l'intérieur.
Formons d'abord la première condition d'intégrabilité relative à cette équation. Les quantités qui figurent dans le coefficient de ondset dont la variation introduit une intégrale, sont $^, , 4>p et L ; la variation de L est
SL = — / A-, ùn^ dsf.
Nous avons donc à écrire que la fonction
ds \ ds ds i dsi L ds
d<P^ fd^' d^^^ A-, r/<I)*j'
ds \dsdsi dsf L ds
k rd^t d^^.^
A[d^^ d^^^ k, ,^, ^,, , il l1 ds, ds, ^ L V^«.^^"^ L^J
est une fonction symétrique de M et de M,. Cette condition est identiquement vérifiée.
Formons maintenant la seconde condition d'intégrabilité. Les fonctions A, et A, du paragraphe 12 sont ici
ds dn ds dn ^
La condition d'intégrabilité en question s'écrit donc
/,x d^dn d^dn l(d^,dn\
^ '' ds dn ^ ds dn 'L\ ds ^ ds )'
Cette équation n'étant pas vérifiée identiquement, l'équation (j6)
n'est pas complètement intégrahle.
Cherchons les conditions pour qu'elle soit vérifiée et reste vérifiée
quand le contour se déforme. En la dérivant deux fois par rapport
à 0//, il vient
(,8) ^/d^d^ d^d^\^ ifd^d^
\dn dn ds ds ) \\ dn dn
et
(,o\ ,(dnd^d^d^\
^ ^^ '^yds dn ds dn )
I fd^ d^ ds ' ds
En comparant les équations (17) et (19), on voit que leurs deux membres sont nuls séparément; il en est donc de même pour l'équation (18).
En égalant à zéro les deux membres de l'équation (17;, on a deux
l^^ d^\ — -et — -
ds ds
équations en —r^ et -y^, qui donnent, ou
(20) Z =: îi
ds ds
ou
dn dn
et par suite, le second membre de l'équation (18) étant nul.
dnj dn
la
go PAUL LEVY.
Or les équations (20) et ( 2 1 ) se déduisent les unes des autres par une dérivation par rapporta on ; elles doivent donc être toutes vérifiées. En les dérivant par rapport à on, on voit que toutes les dérivées de la fonction $g sont nulles sur le contour. Si cette fonction est analytique, elle ne peut être qu'une constante $ indépendante des points A et B.
L'équation (16) devient alors
Z9^J^Çiâî-J-ynds,
OU, en appelant S l'aire intérieure à la courbe C,
2 fl> r
Cette équation aux différentielles totales est complètement intégrable, comme il fallait s'y attendre, et admet comme intégrale générale
CL désignant une constante arbitraire. Cette expression est done la seule fonction analytique dans le voisinage du contour qui vérifie l'équation intégro-différentielle (16).
54. Étudions maintenant les solutions de l'équation (16) de la forme xl~^^^h-> ^'^ désignant par y^ la fonction de Neumann et par k^ une fonction analytique dans le voisinage du contour.
La même question préliminaire se pose qu'au paragraphe 51. On a ici
d\ J \ ds cls ds ds
+ f'f + eW' + «)
dn ,
Cette expression est analytique si h^ et les contours considérés
sont analytiques. Pour le voir, considérons, par exemple, le premier terme. Il s'écrit
Il se comporte donc comme un potentiel de simple couche dont la densité est analytique, et est par suite prolono^eable analvtiquement à l'extérieur du contour. On en déduit que h^ reste analytique quand celui-ci se déforme en restant analytique.
On peut préciser ce résultat par une méthode d'approximations successives analogues à celle du paragraphe 31. La principale différence est dans la manière dont on effectue le prolongement analytique à l'extérieur du contour. La différence entre les fonctions du point A représentées par l'expression (22) à l'intérieur et à l'extérieur du contour est une fonction harmonique, nulle sur le contour, et dont la dérivée
normale a la valeur 2^/-^^ y On pourra raisonner comme au
dh ^ dh **
paragraphe 51, en remplaçant -^ par -^ dans la formation de/(w),
et l'expression (i3) par l'expression harmonique conjuguée
A[/(i.H-iV)-/(«-,V)].
A cela près, il n'y a pas de changement important dans la démonstration, et l'on peut établir la convergence des approximations.
Pour former dans le cas qui nous occupe la condition d'intégiabilité de l'équation (16), il faut former la variation de $^. Cette variation introduit l'intégrale
qui se comporte comme un potentiel de simple couche ; elle sera donc continue ainsi que sa dérivée par rapport à s quand M est voisin du
contour ( * ) . Il en résulte que la condition d'intégrabilité (17) s'applique
dn dn L
sans modification au cas actuel. En remarquant que ^ — ^ — -
on peut l'écrire ici
, ,. d^ dh}l c?4)*J dh^i
ds dn ds dn
La variation de -r^, si la fonction $ était analytique, serait
dn. d-^n^ , k, d^f,^\, , , d^n r/4>A. ,
1 i., ,7„ , ^^^ —-on.
/ \^ t/ii t/5, dn L f/n y
r/i^^ ds
Dans le cas actuel, l'intégrale qui y figure, c'est-à-dire la dérivée normale de l'intégrale (aS), se comporte comme la dérivée normale d'un potentiel de simple couche. Cela conduit à ajouter à l'expression précédente les termes
■j- un H j^ an' H r-f un -\- k —r^ un.
L ds dt- dn
Il vient ainsi
ou, en introduisant la fonction Ag,
(24) l-^=\ [-^ -^ -\--^ -^\huds, + t,Ji^ùn-^k-^hn. dn J r\ dSi dst dn L dn j dn
En dérivant alors la condition d'intégrabilité (17') par rapport à o/z',
il vient
d^dK d,^l dlij dn dn dn dn '
c'est-à-dire
dk^dh^ i fdh^^ dh^\ dn dn L \ dn dn J
(*) Si l'on exprime cette dérivée en dérivant le signe d'intégration,, on obtient une intégrale qui n'a aucun sens, et qu'il faut remplacer par sa valeur principale au sens de Caucliy. Il n'en résulte aucune difficulté pour la suite du calcul.
Équations intégro-différentielles et fonctions de lignes. 98
Le coefficient de -r^ dans cette équation et le terme où ne figure
an *■ ^
pas A ne pouvant être nuls simultanément, -j^ est indépendant de A.
dlv*
De même -j^ est indépendant de B.
L'équation (17) nous conduit alors à distinguer plusieurs cas. Il
dh^ d^^ ( i . dh\ d^\ \ V .
peut arriver que -r^ = -j^ = o (^ ou bien -j— = -r— = o j? ou bien que
dh^ dh^, , ^ j ., dhi^ ^ dhl
—r= =—r^ = 0, ou qu enfin aucune des quantités —r- et —7— ne soit
nulle, et alors —7^ et —^^ sont indépendants de A et de B. ds ds T
Premier cas. — En dérivant -y-^= o par rapport à on', on trouve
d^M • • -ui dhà TA
—j^ = 0, ce qui est incompatible avec —j- = o. Donc ce cas est impossible.
Deuxième cas. — On a dans ce cas
, dh^ dh^
d'où, en tenant compte de la formule (24) et en dérivant par rapport
à on
Aji ^ji = Ay //g ^ o,
c'est-à-dire
(26) Am ^Ù = Aj, O^ = o.
La fonction y^ étant harmonique, les termes en y^* disparaissent quand on forme la variation de A^<1>^ ou celle de Aj,$g. Ces expressions se calculent donc comme dans le cas 011 la fonction $ est analytique. En dérivant alors les formules ( 26) un nombre quelconque de fois par rapport à o/i, on voit qu'elles doivent rester vérifiées quand le point M s'éloigne du contour. La fonction $g est donc une fonction harmonique des points A et B.
Si cette condition est réalisée pour un contour particulier C, l'équation intégro-différentielle (i6) montre qu'elie reste vérifiée quand le contour se déforme. Si, de plus, les égalités (a5) sont vérifiées pour le contour C, la formule (24) montre qu'elles restent vérifiées quand le contour se déforme, et par suite la condition d'intégrabilité (17') reste aussi vérifiée.
Troisième cas. — Dans ce cas nous savons seulement que —r^^j—r^y
* an an
—r^^ —7-^ sont indépendants de A et B. En raisonnant sur la première de
ces conditions comme nous venons de le faire sur la première équation (26), on trouve que Apî>,) est indépendant de A. Or $,^ est déterminé à
une constante près par la donnée de A,/î>,(, —r^ et -r^ (*) ; toutes ces
quantités étant indépendantes de A, 4^^ est la somme d'une fonction de A et d'une fonction de B, ce qui est impossible, puisque sa partie infinie est y^.
Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :
Etant donnée une fonction <l>p cjni soit la somme de la fonction de Neuinann relative à un contour C et d' une fonction h\ analytique dans le voisinage de ce contour, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction de lignes vérifiant l'équation intégro-différentielle (16) et prenant pour le contour C la valeur $g, est que hl soit une fonction harmonique vérifiant les conditions (26).
Si en particulier la fonction //^ n'a aucune singularité dans toute la région intérieure au contour, elle se réduit à une constante h indépendante des points A et B. L'équation ( 16) donne alors
(*) Ces conditions ne sont pas superflues, car nous supposons A^ analytique dans le voisinage du contour seulement. Nous sommes donc dans le cas du problème de Cauchy.
et, par suite,
CL désignant une constante indépendante du contour C.
