INTRODUCTION

1. Les fonctions d'une ou de plusieurs varial)les indépendantes ont été longtemps les seules étudiées en analyse. Actuellement, l'on considère aussi, d'une part, des fonctions d'une infinité de variables indépendantes, d'autre part, des fonctions qui dépendent de la. forme d'une autre fonction f{x). Ces dernières fonctions, qu'on nomme des fo}nctionnelles dej'{x) ne doivent pas être confondues avec les fonctions de fonctions, c'est-à-dire les expressions obtenues en remplaçant t par y*(j:) dans certaines fonctions de t. D'une manière précise, une fonctionnelle dey(.r) est une quantité ayant une valeur déterminée pour

(*) Celle lolroduclion, à laquelle j'ai donné un grand développement comparalivement à rimporlance du présent travail, est surtoul un résumé des travaux de MM. Volterra et Hadamard sur les fonctions de lignes.

chaque fonction /"(x). Ainsi, l'intë^^rale définie

(,) - f '^[x,f(x),f'{x)]cU-

est une fonctionnelle de/(.r).

Plus généralement, on peut considérer des fonctionnelles qui dépendent de plusieurs fonctions d'une ou de plusieurs variables indépendantes. On peut aussi se placer à un point de vue géométrique, et considérer des quantités qui dépendent d'une ligne, c'est-à-dire qui ont une valeur déterminée pour chaque ligne (du plan ou de l'espace) ; nous nommerons ces quantités des fonctionnelles de lignes ou, plus simplement, àe?>fonctions de lignes. Cette détermination ne risque pas de produire la confusion que produirait celle à^ fonctions de fonctions pour désigner une fonctionnelle. On peut considérer de même des fonctions de surfaces. Il existe évidemment un lien étroit entre les fonctionnelles ordinaires et les fonctions de lignes et de surfaces.

Le premier exemple de fonctionnelles a été celui des intégrales de la forme (i) et d'intégrales analogues contenant des dérivées d'ordre supérieur de la fonction /'(a;). Leur étude, commencée par Euler et surtout par Lagrange, a donné naissance au Calcul des variations.

Un exemple de fonctions de lignes, bien conrm en électricité, est le coefficient d'induction mutuelle de deux contours. Un autre exemple est Isifonction de Green. C'est une fonction de deux points d'un plan, dont la forme dépend d'une ligne plane fermée C ; c'est donc une fonction de deux points et de la ligne C. Elle est le type d'une famille de fonctions analogues qui jouent un rôle important en Physique mathématique.

Pour étudier d'une manière générale les fonctionnelles et les fonctions de lignes, il peut sembler naturel de les rapprocher des fonctions d'une infinité de variables indépendantes. Si, par exemple, on se borne au cas où la fonction f{x) est analytique dans le voisinage d'une certaine valeur o^j, de la variable, elle peut être définie par les coeffi-

EQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉrE.NTI ELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 3

cients de son développement suivant les puissances croissantes de ^v — x^. L'étude des fonctionnelles dej'{x) peut donc se ramener à l'étude des fonctions de ces coefficients. MM. Bourlet {* ) et Pincherle (') ont oi)tenu, par cette méthode, des résultats très intéressants. On peut, toutefois, lui reprocher de faire jouer à la valeur .i\ de la variable un rôle particulier que rien ne justifie. Quoi qu'il en soit de la valeur de cette objection, cette voie paraît devoir être moins féconde qu'une étude directe des fonctionnelles.

Cette étude repose sur l'introduction de la notion de dérivée dans le calcul fonctionnel. Cette notion est due à M. Volterra, dont nous allons d'abord exposer les principaux travaux sur ce 'sujet ('). Le présent travail étant consacré surtout à l'étude des fonctions de lignes planes, nous adopterons le point de vue géométrique, et nous traiterons à part le cas des lignes planes.

2. Lfi notion fie dérivée. — Considérons une courbe plane fermée C et une fonction $ de cette courbe, et demandons-nous de quelle manière varie $ quand la courbe C se déforme pour venir occuper une position infiniment voisine C. Si par un point M de C nous menons une normale à cette courbe, et si nous appelons on la distance de C et C, comptée sur cette normale, la donnée de on pour chaque point M définit la position de la courbe C par rapport à la courbe C. Le point M étant lui-même défini par la longueur s de l'arc de C ayant une origine déterminée et ce point pour extrémité, on est une fonction de s.

Supposons d'abord que on soit nul, sauf sur un arc très petit Ss. La variation de <1> dépendra en général de la longueur de cet arc ainsi que des valeurs de on sur cet arc, et // est naturel d admettre qu'elle

(') Annales de l'École normale, l. XIV el XVI.

(*) MatheniaLisclie Annalen, t. XLIX.

C) Rendiconti dell. Ace. dei Lincei (1887 à i^^o. passim). Les principaux résullals contenus dans les deux premiers Volumes indiqués ont été reproduits dans un Mémoire écrit en français {Acta matliematica, t. XII).

est proportionnelle à l'aire Acr comprise entre C et C^ autrement dit que le rapport