AT

tend \ ers une limite quand les deux extrémités de l'arc A^ tendent vers un même point M, et que le maximum de on sur cet arc tend^ers zéro. Cette limite sera une fonction de la ligne C et de la valeur de s correspondant au point M. Nous l'appellerons la derme de la fonction $, et nous la désignerons par ^^[s).

Si maintenant la courbe C se déforme d'une manière quelconque, l'aiie comprise entre C et CJ sera une somme d'éléments de la forme on ds, et il est naturel d'admettre que la variation de $ est de la forme

(3) oi)=l ^h^{.s)o/lds.

Cette formule n'est évidemment pas générale. Si, par exemple, 0 représente la plus courte distance d'un point fixe O à la courbe C, o dépend seulement de la valeur de on au point de C le plus rapproché de O, et par conséquent n'est pas de la forme (3). Il ne peut donc pas être question de donner de cette formule une démonstration générale. Pour l'établir, M. Volterra suppose la continuité de la fonction <]> et l'existence de sa dérivée, et il suppose de plus que le rapport (2) tend vers cette limite avec uniformité .

Les notations qui précèdent et cjue nous conserverons dans la suite, ne sont pas tout à fait celles qu'il emploie. Il définit la position de la courbe C par rapport à la courbe C dans le voisinage du point M, non par un segment oa« normal à C, mais par un segment quelconque de composantes ox, oy suivant deux directions rectangulaires. Au lieu de la formule (3), on a alors

o<J) = / ((ï>'p ùx + (I>^ ^y)ds,

Équations intégro-diffébe.ntielles et fonctions de lignes. 5 $' et <P' étant deux fonctions de s liées par la relation

dans laquelle a, et fi sont les cosinus directeurs de la tanj^ente à C en M. On voit aisément que ^'^ et $' sont liées à la dérivée $, par les relations

si la direction positive choisie sur la normale pour mesurer on est celle» qui a pour cosinus directeurs — ^ et a. jNous ferons toujours cette hypothèse dans la suite, % et ^ étant les cosinus directeurs de la tangente correspondant à la direction des s croissants. Autrement dit, la direction positive de la normale sera placée par rapport à la direction des .V croissants comme la demi-droite Ojr par rapport à la demidroite Ojc.

5. Extension au cas de l'espace. — Considérons maintenant une courbe gauche fermée C et une fonction ^ de cette courbe. Remarquons d'abord que si C se déforme en restant sur une surface donnée ^, comme on peut représenter cette surface sur un plan, on est ramené à l'étude d'une fonction de lignes planes. On voit ainsi que, si un arc ds de C décrit un élément r/o* de ii, la variation de $ qui en résulte est proportionnelle 2idrs\ on peut donc la représenter par le flux d'un certain vecteur à travers r/o-. La composante de ce vecteur suivant la normale à drj est seule bien définie ; ses deux autres composantes sont arbitraires.

Supposons maintenant que l'élément de surface ^O" décrit parl'arc ds ait une orientation quelconque, et désignons par o// la normale à ds contenue dans d(s\, on peut être décomposée suivant deux directions o/?, et o/Zj perpendiculaires entre elles et à ds, et alors le déplacement faisant décrire à ds l'élément dG est décomposé en deux déplacements lui

faisant décrire des éléments d(J^ et da^ de deux surfaces déterminées S, etSj. Nous supposerons que la variation de <5, quand ds décrit Vêlement d(J, soit la somme des variations correspondantes à ces deux déplacements composants . Gela résulterait d'ailleurs d'une hypothèse analogue à celle faite précédemment que le rapport (2) tendait vers sa limite d'nne manière uniforme.

Aux surfaces S, et Sj, on peut faire correspondre, par le procédé indiqué ci-dessus, deux vecteurs V, et Vg . Mais la composante de V, , suivant la normale à S, , et celle de Vg, suivant la normale à S^, sont seules bien définies. On peut donc disposer de ce qui reste d'arbitraire dans ces deux vecteurs de manière qu'ils soient confondus. Nous désignerons ce vecteur unique par V; sa composante suivant r/^- reste encore arbitraire.

Le flux de V à travers d(j est évidemment la somme des flux de ce vecteur à travers d(J^ et d<j^. Il résidte alors de l'hypothèse faite sur la fonction ^ que ce flux représente la variation de <1> quand ds décrit l'élément d<j. On a ainsi une représentation simple, au moyen du vecteur V, de la variation de quand ds se déplace d'une manière quelconque.

La courbe G tout entière se déforme d'une manière quelconque, la variation de $ est alors de la forme

r>I)= rVsin(V, d^)d^= rVsin(V, d'7)rjl Je J 0

analogue à la forme (3).

4. Les fonctions du premier degré. — 11 peut arriver qu'une fonction $ dépende non seulement de la ligne G, mais d'un sens de parcours choisi sur cette ligne ; cela ne change rien aux considérations qui précèdent. Appelons G et G, deux lignes ayant un arc commun parcouru dans un sens ou dans l'autre, suivant qu'on le considère comme appartenant à G ou à G, ; appelons G' la ligne obtenue en réunissant G et G, , et

supprimant cet arc commun ; son sens de parcours est bien déterminé. CI étant lié de cette manière à C et C,, il existe des fonctions pour lesquelles on aura toujours

M. f^olterra appelle ces fonctions des fonctions du premier degré.

Supposons, en particulier, queC, soit une ligne entourant un élément de surface très petit da; C et CI sont alors deux courbes très voisines, et ♦

représente le flux du vecteur V à travers l'élément d(j. Ce flux est donc indépendant de la ligne C et même de la tangente à cette ligne au point M, et ne dépend que de l'élément da.

Comment varie-t-il quand l'élément da prend différentes orientations autour du point M ."^ Considérons trois éléments de surface oc", , oo-j, OG-j se coupant deux à deux à angle droit. A ces éléments correspondent trois valeurs du flux qu'on peut supposer dues à un vecteur unique V. Considérons maintenant un élément de surface quelconque d<J entouré par une ligne C,. En le décomposant en trois éléments situés dans les plans de drs^, d<j^ et ^t,, et, en raisonnant comme au paragraphe 5, on voit que ^^ est égal au flux du vecteur \ ' à travers d(j. On peut donc prendre pour V ce vecteur V, indépendant de l'orientation de dn et fonction seulement du point M que l'on considère.

Les composantes V^., V^, V, du vecteur V ainsi déterminé ne sont d'ailleurs pas des fonctions quelconques du point M. Considérons, en effet, une ligne qui se déforme depuis une position initiale C, jusqu'à une position finale Cj en décrivant une surface S. La différence ^^ — $^. est égale au flux du vecteur A à travers la surface S. Or elle est indépendante delà surfaceS et ne dépend que des lignes C, et Cj qui la bordent. Il faut donc qu'on ait

8 PAUL lÉvY.

Nous appellerons cette équation la condition crintégrahilité relative au vecteur V .

Si cette condition est remplie, il correspond au vecteur V une fonction $ et une seule. La valeur de cette fonction pour la ligne C est égale au flux de V à travers une surface quelconque limitée à C, la face positive de cette surface dépendant du sens de parcours choisi sur C.

La condition (5) étant vérifiée, on sait qu'on peut déterminer un vecteur W, de composantes V^, V^, V^, tel qu'on ait

dy ^ dz

à dz ' "^ dx

Le théorème de Stokes montre alors que (6) $,.= r (Wa^dx -{-Wydy -^ W, (h.).

On a ainsi l'expression de $ à l'aide d'éléments qui ne dépendent que des points du contour C. Cette expression montre bien que vérifie la définition des fonctions du premier degré.

On sait qu'un vecteur quelconque peut être mis sous la forme

W = W, + XWo,

cette égalité étant écrite au sens géométrique, W, et Wj désignant des vecteurs qui dérivent chacun d'un potentiel, et X une fonction quelconque du point M. Portant cette expression dans la formule (6), on a

\ et [L étant deux fonctions du point M.

EQUATIONS INTEGRO-DIFFEREXTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. i)

On a ainsi une expression de la fonction à l'aide de deux fonctions arbitraires seulement. Mais cette expression a l'inconvénient de n'être pas unique de son espèce, et il vaut mieux considérer comme défini par la donnée du vecteur V, c'est-à-dire par la donnée des trois fonctions \\p, V^, V^, liées par la relation (5).

Si l'on a besoin seulement des valeurs de la fonction <ï> pour les lignes d'un plan, il suffit de connaître la composante V^ de \ pour les points de ce plan. V. est évidemment ce que nous avons appelé au paragraphe 2 dérivée de Injonction $ et désigné par ,. On obtient la valeur de $ en calculant l'intégrale double de $, dans la région du plan intérieure à C, et en la faisant précéder d'un signe qui dépend du sens de parcours choisi sur C. Les fonctions du premier degré des courbes planes, que nous aurons souvent à considérer dans la suite, dépendent donc d'une seule fonction ^\ de deux variables indépendantes.

d. La théorie de M. f^oLterra. — Grâce à la notion de dérivée, on peut appliquer à l'étude des fonctions de lignes les procédés ordinaires de l'analyse. On peut, par exemple, étendre aux fonctions de lignes quelconques les méthodes du calcul des variations qui, à l'origine, n'étaient appliquées qu'aux fonctions représentées par des intégrales définies. Nous allons nous arrêter quelques instants sur une Ye\ndiY^[iiih\Q généralisation de la théorie des fonctions dune Dariable imaginaire , due, comme tous les résultats qui précèdent, à M. \ olterra. Elle nous éloignera de l'objet principal de ce travail ; mais on ne saurait la passer sous silence dans un résumé, même rapide, des travaux faits sur les fonctions de lignes. Le mode d'exposition adopté dans ce qui suit est d'ailleurs un peu différent de celui de M. ^^olterra.

La théorie des fonctions d'une variable imaginaire repose tout entière sur la définition suivante : étant données quatre fonctions /*, , /j, 0, , cp, fie deux variables indépendantes x etjy, 9, + i^^ est wwe fonction analytique àef^ -f- if, si le rapport '-tt-^ — fr ne dépend pas des valeurs de dx et dy.

lO PAUL IJiVY.

Considérons de même quatre fonctions de lignes F,, Fg, ^I^,, i\. Leur variation, quand la déformation de la courbe C ne porte que sur un arc très petit, voisin d'un point M, dépend de deux infiniment petits distincts. Nous dirons, avec M. Volterra, que les fonctions Fj-f-tFj et

$,-hi^>2 sont isogenes, si le rapport ^^p n^rrr- ne dépend pas des

valeurs de ces deux infiniment petits, mais seulement du point M.

Appelons V,, Vg, W,, Wj les vecteurs correspondant aux fonctions F,, Fg, ^1\, ^l\ de la manière indiquée au paragraphe 5. Comme la composante de ces vecteurs suivant la direction de la tangente à la courbe C en jM est indéterminée, nous supposerons, pour fixer les idées, qu'ils sont dans le plan P normal à cette courbe. Il est alors facile de former les relations qui doivent exister entre ces quatre vecteurs pour que les fonctions F, -h iFj et ^1>, + i^l\ soient isogènes.

Appelons W'^ et Wj les composantes de W, suivant les directions de V, et Vj, et W', etW'', celles de W^. En considérant deux déplacements infiniment petits de l'arc r/.*, l'un dans un plan contenant V,, l'autre

1 1 AT ' • 1 0, + f8$2 1

dans un plan contenant V^, et en écrivant que le rapport ^^^ r^ a la

même valeur dans ces deux déplacements, il vient

Tvr~^- v; '"

Si V, et Vj sont égaux et rectangulaires, il faut donc qu'il en soit de même de W, et Wj. Dans le cas général, cette relation exprime que les ellipses décrites, l'une surV, et Vj, l'autre sur W, et W^, comme demidiamètres conjugués, sont liomotliétiques ; si l'on prend sur chacune de ces ellipses comme sens positif celui qui permet d'aller de l'extrémité du premier vecteur à celle du second sans décrire la moitié de la courbe, il faut de plus que les sens positifs des deux ellipses se correspondent par une homothétie directe. Nous exprimerons cette relation en disant que \V^ est conjugué de W, dans r ellipse ( V\ , Vj).

Dans le cas où les directions de V , et V^ sont confondues, il faut que W, et Wj aient aussi tous deux la direction de V, et \\.

Appliquons ces résultats aux fonctions du premier degré. Pour ces fonctions, les vecteurs V,, V,, W,, W^ ont une détermination unique, et la relation qui vient d'être obtenue est celle qui doit exister entre les projections de ces vecteurs sur le plan P. Comme elle doit être vérifiée, quel que soit ce plan, il faut que ces vecteurs eux-mêmes soient dans un même plan, et soient liés dans ce plan de la manière qu'on vient de voir dans le plan P.

Si F, , Fj et $, sont donnés, il n'existera pas, en général, de fonction $, telle que F,-|-/F2 et 5>, -h /$, soient isogènes. F, et F, étant seuls donnés, cherchons quelles conditions doit vérifier la fonction <5, pour qu'il existe une fonction ^^ vérifiant la condition précédente.

Traitons d'al)ord le cas où les vecteurs V, etV^ ont, en chaque point de l'espace, la même direction ; cela revient à dire que F, et F, sont isogènes. Dans ce cas, on trouve que '^ ^ et $, sont deux fonctions quelconques isogènes à F, et F,; il est facile de voir que chacune de ces fonctions dépend d'une fonction de trois variables indépendantes, vérifiant une équation aux dérivées partielles du premier ordre.

Considérons, maintenant, le cas général oiiV, et V, ont des directions différentes, sauf, peut-être, pour certains points particu'iers. Quelles sont les conditions qui doivent être vérifiées par la fonction <^, ou, ce qui revient au même, par le vecteur W? Il faut d'abord qu'il soit dans le plan déterminé par V, etV^. Le vecteur W, est alors déterminé d'une manière unique par la condition obtenue précédemment. Pour qu'il existe une fonction $,, il faut que la condition d'intégrabilité relative à Wj soit vérifiée. La condition d'intégrabilité relative à W, l'est évidemment aussi. On a donc en tout trois équations que doivent vérifier les composantes de W : une équation ordinaire et deux équations aux dérivées partielles du premier ordre ; ces trois équations sont linéaires et homogènes.

La solution d'un pareil svstème dépend de deux fonctions arbitraires de deux variables indépendantes. Les fonctions isogènes à F, H- /F., forment donc un ensemble beaucoup plus vaste que les fonc-

l'2 PAUL LEYY.

tioiis analytiques F^ -f- iF^. Cette remarque était nécessaire pour montrer l'intérêt efï'ectif de la théorie précédente.

Après avoir formé les conditions que doit vérifier ,, M. Volterra introduit un paramètre difïérentiel, qui joue un i^rand rôle dans la suite de sa théorie, et qui est analogue au païamètre difïérentiel du premier ordre

dx ôx dy dj'

qui intervient dans la théorie des fonctions d'une variable imaij^inaire x-{-iy. Ce paramètre difïérentiel a une signification géométrique simple. Appelons ^>, et <1>'^ deux fonctions du premier degré dont les vecteurs représentatifs W, et W'^ soient situés dans le plan de V, et V2; appelons W, et W', les vecteurs conjugués de W, et W, dans l'ellipse (V^jVg). Le paramètre difïérentiel H^^,-, défini par M. Volterra, est le rapport des aires des parallélogrammes construits, l'un sur W, et W,,, l'autre sur V, et ¥3, ces aires étant naturellement considérées comme positives ou négatives, suivant la position respective de ces vecteurs. H^ .j,- est une fonction linéaire et homogène des coordonnées de chacun des vecteurs V, et V .

Si Wg et W[, correspondent à deux fonctions ^^ et î>' , on a

puisque les aires considérées ne changent pas si l'on remplace chaque vecteur par son conjugué, et que le conjugué de W., est le vecteur opposé à W'^ .

Si $, et '| sont confondus, H^ .j,» représente le carré du rapport des longueurs de W, et du demi-diamètre intercepté par W, dans l'ellipse ( \ , , Vg). C'est donc une quantité essentiellement positive.

M. Volterra utilise cet invariant pour établir une formule analogue à celle de Green. Nous ne reproduirons pas ses calculs, qui peuvent, d'ailleurs, être en grande partie remplacés par des raisonnements géométriques, analogues à ceux qui précèdent; mais, ici, la démonstration

Équations intégro-différentielles et fonctions de lignes. i3

géométrique est plutôt moins simple que la démonstration analytique. Indiquons seulement une remarquable conséquenee qu'il déduit de cette formule.

U ne fonction $, -|- t^,, isogène à une fonction donnée ¥ , -j- iF^ et sans singularité à l'intérieur d'une surface t, est déterminée, si l'on connaît les valeurs qu'elle prend pour les lignes de cette surface.

Il existe même un cas dans lequel il suffît de connaître les valeurs d une des fonctions $, et $2 pour les lignes de la surface (7. C'est le cas où les éléments de contact, définis en chaque point de l'espace par les vecteurs V, et \ , représentant F, et F,, enveloppent une famille de surfaces.

Les résultats précédents peuvent s'étendre à l'espace à 71 dimensions ('). Considérons, d'abord, les surfaces formées de points qui dépendent den — 2 paramètres. La théorie des fonctions de ces surfaces est identique à celle des fonctions de lignes dans l'espace. A toute fonction du premier degré de ces surfaces, on peut faire correspondre un vecteur, dont les composantes vérifient une condition d'intégrabilité facile à former. En répétant dans ce cas la théorie précédente et conservant les mêmes notations, on trouve que W, doit être situé dans le plan(') défini par V, et V,. En écrivant, en outre, les conditions d'intégrabilité relatives à W, et W,, on a n équations, dont deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, que doivent vérifier les composantes de W, . L'indétermination de ^^-\-i*^^ est donc analogue à celle qu'on a trouvée dans l'espace à trois dimensions; elle dépend de deux fonctions arbitraires de n — 1 variables indépendantes.

Considérons maintenant une surface formée de points qui dépendent de r — I paramètres. En recommençant une étude analogue à la pré-

(•) Les résultats exposés jusquici se trouvent dans le Mémoire cité des Acta malhematica (t. XII). Ceux qui suivent n'ont été publiés qu'en langue italienne.

(') Le mol plan est employé ici dans le même sens que dans l'espace ordinaire; c'est le lieu des points dont les coordonnées dépendent linéairement de deux paramètres.

l4 PAUL LEYY.

cédente, on rencontre, dès que r , pour qu'il existe une fonction $2 telle que F, -h i ¥^ et ^ ^ 4- /$2 soient isogènes, on est conduit à un système d'équations aux dérivées partielles en nombre supérieur au nombre de fonctions inconnues. Ce système admet évidemment des solutions, puisque les fonctions analytiques de F, +/ Fg sont des fonctions isogènes à F, -\-i¥ ^. Mais, en général, il n'en admet pas d'autres, et, si l'on considère le cas des fonctions de points, il n'en admet jamais d'autres. Il y a lieu de se demander dans quels cas il en admet d'autres.

M. Volterra a montré que la réponse à cette question dépend des fonctions F, et Fj. En prenant comme fonction inconnue la fonctiony définie par l'égalité

d^^ H- i d^., = /(^F, + i JFo ),

il écrit les conditions que doit remplir la fonction F pour que le second membre soit la différentielle exacte d'une fonction de lignes. Parmi les équations obtenues, il y en a toujours n — r qui sont indépendantes entre elles. M. Volterra a formé les conditions que doivent remplir les fonctions F, et Fj pour que toutes les équations ainsi obtenues constituent un système complet se réduisant à ces n — r équations. Dans ce cas, ce système admet r intégrales indépendantes, de sorte que la solution du problème proposé dépend d'une fonction de r variables indépendantes. Il s'agit ici d'une fonction imaginaire, qu'on peut considérer comme dépendant de deux fonctions réelles du même nombre de variables indépendantes. Ce résultat comprend donc bien comme cas particulier celui que nous avons obtenu pour r= /z — i .

Dans le cas qui vient d'être indiqué, la fonction F, + iF^ est appelée, par M. Volterra, une fonction élémentaire. Il établit certaines propriétés fort curieuses de ces fonctions. Il étudie aussi les relations qui existent entre les fonctions que l'on obtient en donnant à r plusieurs valeurs

Équations intégro-diffÉrentielles et fonctions de lignes. i5

difTérentes, et est ainsi conduit à définir des opérations qui généralisent la dérivation et l'intégration.

Les limites de ce travail ne nous permettent pas d'insister davantage sur ces théories, et nous allons revenir à l'étude des fonctions de lignes planes.

6. Le théorème de M. Hadaniard. — Nous avons déjà remarqué que la formule (3) n'était valable qu'à condition de faire certaines hypothèses sur la fonction étudiée $. Dans une de ses Notes, M. Volterra avait d'ailleurs déjà considéré des fonctions pour lesquelles cette formule n'est pas applicable.

M. Hadaniard a cherché a obtenir une formule plus générale (*). Pour cela, il n'a fait sur la fonction étudiée aucune autre hypothèse que la suivante : la variation de la /onction ^ est une fonctionnelle linéaire de dn .

Ce que M. Hadaniard appelle une fonctionnelle linéaire n'a aucun rapport avec les fonctions du premier degré considérées tout à l'heure. La propriété caractéristique d'une telle fonctionnelle est la suivante : si trois valeurs de dn sont liées par la relation

<>n = A, on, -r- Ao OA?.

A, et Aj étant des constantes, les valeurs correspondantes de o sont liées par la relation

L'hypothèse que o4> soit une fonctionnelle linéaire de on paraît indispensable, si l'on veut étendre aux fonctions de lignes les méthodes du calcul infinitésimal.

M. Hadaniard a obtenu une expression analytique capable de représenter toutes les fonctionnelles linéaires . Cette expression, appliquée à

(') Noir ses Leçons sur le Calcul des variations (p. 281 el suivantes).

l() PAUL LEVY.

la variation o$ d'une fonction de lignes quelconque, donne la formule (•j) o<î> =: lim / (fa^(s)Zn ds,

9^(^*) étant, pour chaque ligne G, une fonction de^, dépendant en outre du paramètre a.

Si (Pgj {s) tend uniformément vers une fonction continue de s, quand CL devient infini, cette formule se réduit à celle de M. Volterra.

Le théorème de M. Hadamarda été le point de départ d'intéressantes recherches de MM. Riesz (') et Fréchet (^). M. Riesz a formé une autre expression capable de représenter toutes les fonctionnelles linéaires. M. Fréchet a donné une nouvelle démonstration de la formule (7). Il a étudié de?* fonctionnelles d'ordres entiers, définies par une propriété fonctionnelle qui généralise la propriété caractéristique des fonctionnelles linéaires, et a déduit de cette étude des expressions analytiques, capables de représenter une fonctionnelle continue quelconque.

7. Etude dUin cas particulier . — Appelons C^ un arc delà courbe G de longueur très petite 2£ ayant pour milieu un point fixe M^, et G, l'arc comprenant le reste de la courbe. Supposons que sur l'arc G,, quelque petit que soit £, la fonction ^J^s) qui figure dans la formule (7) tende uniformément vers une fonction continue 9(^) quand a augmente indéfiniment. Supposons de plus qu'il existe un entier positif/; et un nombre positif K, tels que l'on ait sur toute la courbe G

(8) l(5-5o)/'+'Oa(5)l<K,

s^ étant la valeur de s correspondant au point M„.

Si 0/2 admet, par rapport à s^ des dérivées jusqu'à l'ordre /^ -h i ,

(') Fr. Riesz, Comptes rendus^ 29 novembre 1909.

(^) M. FiiÉCHET, Comptes rendus (i""" février 1909, 3 mai 1909, 17 mai 1910); Transactions of American Math. Soc. (t. V et VI); Ann. de l'Ec. JVorm. (1910).

finies et continues, du moins au voisinage de M^, on peut écrire

on = orio-^ {s — So) on^^ . . .+ p— o/î/ -^ {s — s^)p^' 6, w,

o/(., on , .... ^n''' désio^nant les valeurs de ri/i et de ses dérivées au point Mo, et o, n une fonction de s qui reste finie an voisinage de ce point. La formule (7) donne alors

0^=1 ^{s)on ds -r-^ ^ ^^ liin / ■Çy,{s) (s — So)' ds -\- j '^(5) (5 — 5o)''+' 0, /? f/5,

0$ ayant un sens quelle que soit la fonction o/i, les coefficients des quantités Ort„, on'^, . . . , o/f^^ ont chacun une limite, et il vient, en faisant tendre £ vers zéro,

(9) o<ï)=lim / 5(5)8/l«/5 + Ao(£, *o)ô/Jo + A,(£,5o)ô/lô + ...-h A;,(£,5o)5«u''' .

Si la fonction o(j) est continue pour s = s^, l'intégrale, et par suite chacun des autres termes, a une limite pour £ = 0, et il vient

(10) o= / 'f(s)ùnds -^ AQ(so)ono^ Ai{so)on--h...-^ \p{so)on^PK

[\ nous arrivera, dans la suite, de mettre la variation d'une fonction de lignes sous une des formes (9) ou (10), en vertu d'une inégalité de la forme (8).

Il résulte, des formules (9) et (10), que 0$ ne tend pas nécessaire- TTient vers zéro quand la courbe C tend versC. Si, en effet, nous supposons que On tende uniformément vers zéro, la courbe C'tend vers C ; il peut arriver qu'en même temps on'^ et les dérivées d'ordres plus élevés ne tendent pas vers zéro, et alors 0$ ne tend pas vers zéro en général.

Ceci nous amène à préciser la notion de voisinage des courbes C et C'(*). Nous dirons que ces deux courbes ont un voisinage cV ordre p.^

( ') Voir J. Hadamard, Leçons sur le Calcul des variations (p. 48 et suiv.).

l8 PAUL LEYY.

si on et ses dérivés jusqu'à l'oiclie p tendent uniformément vers zéro.

Nous dirons que la fonction $ a une continuité d'ord/e p, si sa variation entre les courbes C et C est infiniment petite toutes les fois que C et C ont un voisinage d'ordre p. Ainsi une fonction, dont la variation est de la forme (lo), a une continuité d'ordre/;. Les fonctions qui ont une continuité d'ordre p forment un ensemble d'autant plus vaste que y? est plus grand. La continuité la plus parfaite, c'est-à-dire celle qui impose le plus de restrictions à la fonction considérée, est la continuité d'ordre zéro.

Il sera nécessaire, dans la snite, de faire sur les fonctions étudiées des hypothèses assez restrictives. Toutes les fois que nous n'aurons aucune raison de supposer le contraire, nous admettrons que ces fonctions ont une continuité d'ordre zéro et que leur variation est de la forme (3).

Il peut arriver que, dans la définition d'une fonction de la ligne C, un point particulier delà courbe joue un rôle spécial. Lorsque cela se produira, nous admettrons que la fonction considérée a une continuité d'ordre fini et que sa variation est de la forme (lo).

11 peut arriver aussi qu'il y ait plusieurs points de la courbe mis en évidence dans la définition de la fonction étudiée; nous admettrons, dans ce cas, qu'il faut introduire, pour chacun des points, des termes analogues à ceux de la formule (lo).

9. Les équations intégro-différentieUes . — Dans la théorie des fonctions d'une variable, lanotionde dérivée conduit à étudier le problème de la détermination d'une fonction connaissant sa dérivée, ou, d'une manière plus générale, connaissant une relation quelconque entre cette fonction, sa dérivée, et la valeur correspondante de la variable, c'està-dire une équation différentielle vérifiée par cette fonction.

De même, la notion de dérivée des fonctions de lignes nous conduit à considérer les relations qui peuvent exister entre une fonction d'une

ligae C et sa dérivée. Comme cette dérivée dépend à la fois de la ligne C et d'un point M de cette courbe, la forme de cette relation dépendra en général de la ligne C et du point M. Nous pouvons donc écrire une telle relation sous la forme

*.(^)=/c(^,M), ou, en tenant compte de la formule (3), sous la forme équivalente

(il) • o ^ / /c(^, y\)onds.

•Je

Si la fonction $ dépend non seulement de la ligne C, mais de certains paramètres, par exemple de deux points A et B, la forme de la fonction /dépendra aussi des points A et B. Nous dirons, dans ce cas, que les points A et B figurent qoïmxïç paramètres ^dius l'équation (i i ).

Il peut arriver que la fonction^dépende aussi des dérivées de ^ par rapport aux coordonnées de A et B, ou bien encore des valeurs de <1> ou de ces dérivées, quand on remplace un des points A et B par M. La nature de l'équation (ii) est alors modifiée. Il n est plus possible d'étudier la fonction $ pour un système de détermination des points A et B indépendamment des autres. Nous dirons, dans ce cas, que A et B figurent essentiellement dans l'équation considérée.

Des équations de cette nature ont été rencontrées, pour la première fois, par M. Hadamard, qui leur a donné depuis le nom d'équations intégro-différentielles . Elles présentent, en effet, une grande analogie avec les équations auxquelles M. \ olterra a donné le même nom. Cette analogie se met bien en évidence en considérant, non pas l'ensemble de toutes les courbes du plan, mais une famille de courbes, telle que, par chaque point M d'une certaine région, il en passe une et une seule; $ peut être alors considéré comme une fonction du point M, et l'équation (Ti) devient identique à celles qu'a étudiées M. Volterra.

Nous avons déjà parlé de Xa fonction de Green gl, qui est une fonction de deux points A et B et du contour C. En appliquant la formule

de Green aux fonctions de Green relatives, l'une à une ligne C et un point A, l'autre à une ligne Cl très voisine de C et un point B, M. Hadamard a obtenu la formule (*)

(,2) og„=-l ——onds,

dans laquelle -j- désigne la dérivée prise suivant la normale à la

courbe C au point M.

Nous appellerons cette équation équation intégro-différentielle de la fonction de Green. Il faut remarquer qu'une fonction de lignes vérifie uue infiuité d'équations iatégro-différentielles, de même qu'une fonction d'une variable vérifie une infinité d'équations différentielles. Mais, une fonction d'une variable ne vérifie qu'une seule équation difïérentielle où ne figure pas la variable indépendante. De même une fonction de lignes vérifie rti^/?Ztf^^ une équation intégro-différentielle, dans laquelle le coefficient de 8/^ ds ne dépende pas de la forme de la courbe C en dehors du point M.

M. Hadamard a de même formé l'équation intégro-différentielle de la fonction de Neiimaun, que nous étudierons plus loin. Il a aussi formé celle de la fonction G^, aualogue à la fonction de Green, qui intervient dans le problème de l'équilibre des plaques élastiques encastrées (^). Gette équation est

(.3) aG,l=. ^A,,G^,AMGî,'3/^^.■,

Ajj désignant la somme des dérivées secondes par rapport aux coor-

(') Voir Comptes rendus (9 février iQoS) et Leçons sur le Calcul des variations (p, 3o3 et suiv.). — t^ar l'iiilroduction du facteur — - (ou -, — dans le cas de l'espace) dans la défl-

nltion usuelle de la fonction de Green, on peut faire disparaître le facteur 2 tt (ou [\t,) qui intervient dans la formule indiquée par M. Hadamard.

(-) Voir Mémoires présentés à l' Académie des Sciences (t. XXXIII).

EQUATIONS INTEGKO-DIFFERENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 2 1

données du point M. On déduit de cette équation

8A^ A„ G,^= / ^J, Aj, GjÎ A„ A„ G]l on ch.

La fonction A^ A^ G^ est donc une solution de l'équation intégro- différentielle très simple

(.4) o^t= fn^]i

ds.

M. Hadamard a déduit des fonctions de Green et de Neumann deux autres solutions de cette équation, qu'on rencontre ainsi dans des questions assez diverses de physique mathématique. Nous la rencontrerons plusieurs fois dans la suite de ce travail et nous l'appellerons l'équation de M . Hadamard.

9. La notion d'intégrabilité. — M. Hadamard n montré le parti qu'on peut tirer de l'équation (i |) pour l'étude des fonctions qui la vérifient. Considérons une famille de courbes dépendant d'un paramètre. Si la fonction $g est connue pour l'une d'elles, et si sa valeur est inférieure à un nombre fixe quels que soient les points A et B, on peut, par des approximations successives, obtenir cette fonction pour les autres courbes de la famille considérée.

Ce résultat peut être étendu à des équations intégro-différentielles quelconques La convergence des approximations n'est pas toujours certaine; mais la fonction vérifiant une équation intégro-différentielle donnée et prenant pour une ligne particidière une valeur donnée, est en général bien déterminée pour toutes les lignes de la famille considérée. Cela paraît du moins bien vraisemblable, puisqu'on peut représenter la fonction inconnue par une série de Taylor dont tous les coefficients sont connus.

Si, au lieu de considérer une famille de courbes dépendant d'un paramètre, nous considérons l'ensemble des courbes planes, il se présente une difficulté. Supposons toujours que nous connaissions la valeur de la fonction étudiée pour une ligne C^ et que nous cherchions

sa valeur pour une autre ligne C,. Il faut choisir une famille de courbes variant d'une manière continue entre C^ et C,. Ce choix peut être fait d'une infinité de manières, et le résultat obtenu peut dépendre du choix fait. S'il en dépend effectivement, c'est qu'il n'existe pas de fonction de lignes, vérifiant l'équation donnée quel que soit le mode de déformation de la ligne considérée, et prenant la valeur donnée pour la ligne Cj,.

Dans le cas considéré par M. Hadamard, cette difficulté ne se présentait pas, parce qu'il s'agissait d'étudier une fonction dont l'existence était connue a priori. Mais si l'on forme une équation intégro-difiérentielle d'une manière quelconque, et qu'on cherche une solution 4> de cette équation ayant une valeur initiale donnée, le problème n'aura pas toujours de solution.

La condition pour qu'il en ait est facile à former. Considérons, en effet, une famille de courbes C dépendant de deux paramètres \ et fx. Une fonction $ de ces courbes est une fonction de X et rx, et l'équation intégro-difï'érentielle étudiée donne le moyen de calculer ses dérivées par rapport à \ et |x. Il faut évidemment qu'on ait

et cela quelle que soit la famille de courbes considérée.

Réciproquement cette condition est suffisante. Si, en effet, deux familles de courbes distinctes variant d'une manière continue de C„ à C, nous conduisent à deux valeurs différentes de la fonction pour la courbe C,, il sera possible de trouver une famille de courbes dépendant de deux paramètres a et [x. d'une façon continue et contenant toutes les courbes des deux familles précédentes. Il n'existera pas de fonction de a et fx admettant les dérivées -^^ et -r- calculées d'après l'équation donnée, et alors la condition (i5) ne sera pas vérifiée.

Il y a deux cas à distinguer :

Il peut arriver que l'équation (i 5) soit vérifiée identiquement. Nous dirons dans ce cas que l'équation étudiée est complètement intégrable.

Équations intégro-différentielles et fonctions de lignes. 2 3

On peut alors choisir comme valeur initiale de la fonction <5 une valeur quelconque. Si la fonction $ est simplement une fonction de la ligne C, les solutions de l'équation étudiée dépendent d'une constante arbitraire. Si cette fonction dépend en outre d'un certain nombre de paramètres, les solutions de l'équation étudiée dépendent d'une fonction arbitraire de ces paramètres.

Il peut arriver qu'en écrivant que l'équation (i5) est vérifiée, pour une courbe C, quelle que soit la manière dont cette courbe se déforme quand À et a varient, on obtienne une ou plusieurs relations que doive vérifier la fonction $. Les solutions de l'équation étudiée devront alors être cherchées parmi les valeurs de $, s'il en existe, qui vérifient ces relations. Mais une telle valeur ne donnera pas nécessairement une solution, car il peut arriver que ces relations, vérifiées pour une ligne C, ne le soient plus pour les lignes voisines. Une étude spéciale est nécessaire dans chaque cas.

Cette circonstance est analogue à celle qui se présente dans l'étude des équations aux différentielles totales. Si la condition d'intégrabilité d'une telle équation n'est pas vérifiée identiquement, elle définit une ou plusieurs fonctions, parmi lesquelles on devra chercher les solutions de l'équation proposée. Mais, en général, aucune d'elles ne vérifie cette équation.

10. Le présent travail a pour objet l'étude des équations intégrodifférentielles au point de vue de leur intégrabilité.

Le Chapitre 1 est consacré à l'étude des dérivées d'ordres supérieurs des fonctions de lignes, c'est-à-dire des fonctions qui figurent dans l'expression des variations seconde, troisième, . . . , etc. des fonctions de lignes. J'établis, entre ces dérivées, des relations qui jouent un rôle important dans l'étude des équations intégro-différentielles.

Le Chapitre II est consacré à l'étude des équations de la forme

0$^= r/(<l>3\$i,$«,A,B,M)ô/iû^5,

ai . PAUL LÉVY.

et à la recherche des équations complètement intëgrables de cette forme. Il y a trois cas à distinguer, suivant que les points A et 15 sont des paramètres dans cette équation, ou qu'un seul de ces points y figure essentiellement, ou qu'enfin tous les deux y figurent essentiellement. Dans le premier cas, les équations obtenues admettent comme solutions des fonctions de lignes représentables par des intégrales définies. Il en est sans doute de même dans le second cas, que je n'ai pas pu discuter complètement. Dans le troisième cas au contraire on trouve des équations définissant des fonctions de lignes nouvelles; ces équations se réduisent par un changement de fonction inconnue à une forme qui contient une fonction arbitraire de deux points.

Si l'on se borne aux équations dans lesquelles les points A et B jouent le même rôle, le second cas disparaît et le troisième conduit à une équation réduite unique, qui est celle de M. Hadamard. I^es équations obtenues sont, non seulement les seules pour lesquelles la condition d'intégrabilité soit vérifiée identiquement, mais même les seules pour lesquelles cette condition soit vérifiée par toutes les fonctions symétriques des points A et B.

Dans le Chapitre III, après quelques remarques générales, j'étudie l'équation intégro-différentielle de la fonction de Green. Cette équation n'est pas complètement intégrable. Je définis toutes ses solutions qui sont analytiques et sans singvdarité dans le voisinage du contour, et toutes celles qui ont la même singularité que la fonction de Green. Je montre comment on peut former ces fonctions par une méthode d'approximations successives généralisant une méthode due à M. Hadamard. Je fais ensuite une étude analogue pour l'équation intégrodifïérentielle de la fonction de Neumann (*).

Le Chapitre IV est consacré à l'étude de l'équation de M. Hadamard et de la solution Y* de cette équation que l'on rencontre dans l'étude

(') Les principaux résultats contenus dans ces trois premiers Chapitres ont été publiés dans les Comptes rendus (i"^'' août 1910, 28 novembre 1910 et aS janvier 191 1).

EQUATIONS I\TEGRO-DIFFERE>TIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 23

des plaques élastiques encastrées. Je montre comment on peut former la partie infinie de cette fonction et de ses dérivées, et comment on peut étendre, aux fonctions ayant la même singularité que W^ et vérifiant l'équation de M. Hadamard, la méthode d'approximations successives du Chapitre précédent.

J'étudie ensuite les solutions de cette équation qui jouissent de la propriété de se reproduire, à un facteur constant près, si l'on remplace la courbe C par une courbe semblable, et les points A et B par ceux qui leur correspondent dans la similitude considérée. Une telle fonction est bien définie par ses valeurs sur le contour, si sa partie non analytique dans le voisinage du contour est connue. Les valeurs sur le contour doivent vérifier deux équations intégrales non linéaires, que j'étudie dans le cas du cercle. Je montre qu'on peut déduire de cette étude un procédé de détermination de la fonction T*; les valeurs de cette fonction sur le contour vérifient, outre les deux équations déjà indiquées, une troisième équation intégrale qu'on déduit de ce que Yg est une fonction harmonique.