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Introduction.

Les immortels travaux de Weierstrass sur la théorie des fonctions (‘) avaient ouvert la voie aux recherches si fécondes et si intéressantes de M. G. Cantor sur la théorie des ensembles. En effet, la notion du domaine d'existence d’une fonction analytique s’associait naturellement à la notion de point singulier de cette fonction, c’est-à-dire de point exclu de ce domaine d’existence. Il était indispensable de classer tout d’abord ces ensembles de points avant même d'étudier l'allure de la fonction au voisinage de l’un d’eux. Cette classification est fournie d’une manière aussi satisfaisante que possible par la théorie des ensembles.

(:) Zur Functionenlehre Monatsberichte, 1880. 2, I

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La plus simple de toutes ces singularités est le point essentiel isolé de Weierstrass. Au voisinage d’un tel point, la fonction est complètement indéterminée, c’est-à-dire s'approche autant qu'on veut de toute valeur donnée. On sait même qu'elle prend une infinité de fois toute valeur donnée sauf exception pour deux valeurs au plus (‘). Ces résultats ont été complétés par les travaux de MM. Poincaré, Hadamard, Borel et Boutroux (?).

Ces résultats entraînent une conséquence immédiate relative aux points limites de points singuliers isolés. Quelque compliquées que soient les singularités voisines du point étudié, qu'il appartienne même à une coupure ou à un ensemble parfait, pourvu qu'il existe dans son voisinage une infinité de points isolés tendant vers lui, les résultats précédents subsistent.

Deux cas ne rentrent pas dans celui-là. Le premier est celui où le point appartient à une coupure. Dans ce cas toutes les circonstances possibles peuvent se présenter, depuis l’indétermination complète jusqu’à la continuité de la fonction et de toutes ses dérivées (d’un côté de la coupure). Le seul cas qui reste en suspens est donc celui d’un ensemble parfait discontinu de points singuliers.

Tout ce que l’on peut affirmer dans ce cas c’est que, dans un cercle entourant le point étudié, il est impossible que la fonction soit conünue et ait une dérivée. Dire cela, c’est dire que la fonction n’est pas holomorphe dans le cercle ou, ce qui revient au même, c’est dire qu’elle y admet un point singulier. Mais la question reste entière. Doit-on penser qu'ici encore toutes les circonstances peuvent se présenter comme dans le cas de la coupure, ou au contraire peut-on espérer qu'il existe un théorème aussi précis que celui de Weïerstrass ou de M. Picard? L’indétermination est-elle complète ou incomplète? Peut-il y avoir, au contraire, continuité, la singularité ne se manifestant que sur la dérivée? Le seul fait qu’une telie question soit encore posée au début même de la théorie des fonctions indique assez combien la solution de ce problème doit présenter de difficultés.

(!) Picarb, Annales de l’École Normale, 1880.

(?) Poincaré, Bulletin de la Société mathématique, 1883. — Hapauar», Journal de Mathématiques, 1892-1893. — Borez, Fonctions entières. Gauthier- Villars, 1899. — Bourroux, Thèse, Acta, t. XX VIII.

Je suis parvenu dans cet ordre d'idées à un résultat qui, bien qu'incomplet encore, me paraît digne d'intérêt et susceptible d'applications : Étant donnée une fonction uniforme qui dans une aire A (st petite qu’elle soit) admet un ensemble discontinu de singularités, la fonction est certainement discontinue en quelque point de celte aire. Je n'ai pu, malgré tous mes efforts, démontrer que l’indétermination de la fonction est complète, quoique cette proposition paraisse bien vraisemblable.

La démonstration que j'ai donnée paraîtra bien compliquée au premier abord, mais il est facile de s'assurer que cette complication est dans la nature même de la question. La difficulté principale que l’on rencontre réside dans la distinction des ensembles continus et des ensembles parfaits discontinus. On se rendra compte en lisant la première Partie, consacrée à l’étude de ces ensembles, que leurs propriétés sont très voisines.

J'ajoute que, contrairement à ce qu'on pourrait penser, les fonctions affectées de telles singularités se présentent dans les questions les plus naturelles. Telles sont, par exemple, les fonctions fuchsiennes de la troisième famille, qui sont définies à la fois par des propriétés fonctionnelles très simples et par une équation différentielle algébrique du troisième ordre.

Mais un problème beaucoup plus simple encore où le théorème énoncé plus haut joue un rôle essentiel est un problème indiqué jadis par M. Painlevé concernant les équations différentielles du premier ordre.

Étant donnée une équation différentielle du premier ordre algébrique en y'et en y et analytique en x, M. Painlevé a élucidé le cas où l'intégrale générale y(x) est une fonction à un nombre déterminé n de branches, en entendant par là que, sauf peut-être pour une infinité dénombrable de valeurs de la constante, une intégrale quelconque a n branches. Il à démontré que l'intégrale dépend'alors algébriquement de la constante et se ramène à une équation de Riccati ou aux quadratures.

Il semble naturel de donner au problème une autre forme et d’étudier le cas où l'intégrale générale (x) est une fonction à r branches au plus. Si on ne fait aucune hypothèse sur les coefficients de l’équa-

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ion, l'intégrale ne rentre pas nécessairement dans la catégorie précédente; même dans le cas de x = 2, elle pourra être une fonction transcendante (à une infinité de déterminations) de la constante, et, suivant que cette constante sera dans telle ou telle région du plan, la fonction y(x) sera une fonction uniforme ou une fonction à deux branches.

Mais, si nous imposons aux coefficients la condition d’être algebriques en x, le deuxième problème rentre-t-l dans le premier? Autrement dit, la question qui se pose est la suivante : Etant donnée une équation du premier ordre algébrique en y', y, étudier le cas où toute intégrale y(x) est une fonction à n branches au plus. Tel est le problème posé par M. Painlevé et que je suis parvenu à résoudre complètement, en faisant jouer à mon théorème un rôle fondamental.

Je signale encore quelques autres applications et certaines questions non encore résolues se rattachant directement au problème traité dans ce Mémoire.

Ces applications suffiront, je pense, à montrer l'utilité de ce théorème et à appeler l'attention des chercheurs sur l'intérêt qu'il y aurait à le compléter.

Je ne veux pas terminer ce travail sans adresser mes remerciements à tous mes maîtres de l'École Normale dont la sollicitude à mon égard ne s’est jamais ralentie et dont les encouragements m'ont été si précieux. D'ailleurs, dans ce milieu normalien tout ce qui vous entoure est un enseignement, et je suis heureux de pouvoir dire le bénéfice que j'ai retiré des quelques années que j'y ai passées.